Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Сущность метода состоит в том, что для упрощения расчета цепей синусоидального тока переходят от уравнений для мгновенных значений, являющихся по сути интегро-дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям в комплексной форме. Расчет цепи удобнее вести для комплексных действующих величин синусоидальных токов и напряжений.

Для схемы (рис. 1) c входным напряжением заданы следующие параметры:

r₁ = 4,5 Ом; r₂ = 5 Ом; r₃ = 2,7 Ом; x₁ = 3 Ом;

x₂ = 1,5 Ом; x₃ = 4,5 Ом; x₄ = 3,5 Ом;

U = 14,76 В; j_U = 54,4°.

Рис. 1

Для заданной схемы определить токи в ветвях, падения напряжений на каждом элементе цепи, рассчитать баланс активных и реактивных мощностей и построить в масштабе векторно-топографическую диаграмму.

Порядок расчета:

1. Определяем комплексные сопротивления каждой ветви

Ом,

Ом,

Ом.

2. Определяем комплексное сопротивление разветвленного участка Z _ac:

3. Определяем комплексное сопротивление всей цепи Z _Σ:

Z _Σ = Z ₁ + Z _ac = 4,5 + j 3 + 3,29 – j 1,13 = 7,79 + j 1,87 = 7,95e ^{j 13,6} Ом.

4. Записываем напряжение источника в комплексной форме U и определяем ток I ₁в неразветвленной части цепи:

A.

5. Определяем напряжение на разветвленном участке «ас»:

U _ac= I ₁× Z _ac= ×3,48e ^{-j 19°} =6,46e ^{j 21,8°} =(6+ j 2,4) В.

6. Определяем токи в остальных ветвях:

A;

A.

7. Мгновенное значение тока i₃ по его комплексному действующему значению I ₃ =1,23e ^j80,8ْ А.

Комплексная амплитуда тока I _{m 3} = = ×1,23e ^j80,8ْ B,

А.

8. Комплексную мощность всей цепи определяем как = P ± jQ,

где U =14,76e ^j54,4ْ В, I ₁ =1,85e ^-j40,8 А, =14.76e ^j54,4ْ ×1,85e ^-j40,8ْ =27,3e ^{j 13,6} = (26,5+ j 6,4)ВА.

9. По закону сохранения энергии активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей всех n активных сопротивлений, входящих в цепь: =4,5×1,85²+5×1,2²+2,7×1,23²=26,52 Вт.

10. По закону сохранения энергии реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме мощностей всех m реактивных сопротивлений, входящих в цепь (X_k>0, если сопротивление индуктивное и X_k<0, если емкостное): =3×1,85²+(3,5-1,5)×1,2²+(-4,5)×1,23²= 6,43 ВAp.

Баланс активных и реактивных мощностей сходится:

P = 26,5 ≈ 26,52Вт; Q = 6,4 ≈ 6,43 ВAp.

11. Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма цепи, в которой каждой точке электрической схемы соответствует точка на топо­графической диаграмме (рис. 2).

Это достигается тем, что векторы напряжений на отдельных элемента х схемы строятся в той последовательности, в которой они расположены в схеме (обходим схему в направлении тока).

Для построения топографической диаграммы определяем напряжения на всех элементах цепи.

U_r1 = I₁ R₁ = 1,85 × 4,5 = 8,34 В U_r3 = I₃ r₃ = 1,23 × 2,7 = 3,32 В

U_X1 = I₁ X₁ = 1,85 × 3 = 5,55 В U_X3 = I₃ X₃ = 1,23 × 4,5 =5,54 В

U_r2 = I₂ R₂ = 1,2 ×5 = 6 В I₁ = 1,85 А

U_X2 = I₂ X₂ = 1,2 × 1,5 = 1,8 В I₂ = 1,2 А

U_X4 = I₂ X₄ = 1,2 ×3,5 = 4,2 В I₃ = 1,23 А.

12. Выбираем масштабы по току и напряжению μ_I = 0,25 А/см, μ_U = 1 В/см. Построение топографической диаграммы начинаем с разветвленного участка цепи, а именно ее второй ветви, содержащей большее число элементов. Из т. «а», отложив в произвольном направлении ток I₂, строим векторы _X2, _r2, _X4, ориентируя их соответствующим образом относительно тока I₂. Векторная сумма этих трех напряжений даст величину вектора _ас. Аналогичным образом строим напряжение _ас по току третьей ветви I₃. Совместим эти две диаграммы с помощью циркуля и линейки (по общему для них вектору _ас).

Отсюда определим положение векторов тока I₂ и I₃ относительно друг друга. Определяем ток в неразветвленной цепи по уравнению ₁= ₂+ ₃. Затем из т. «c», ориентируя вектора напряжений _X1 и _r1 относительно вектора тока ₁, строим вектор напряжения _ab, равный в масштабе величине приложенного напряжения:

U = ab×μ_u = 14,9 см×1В/см=14,9 В≈14,76 В.

Построенную топографическую диаграмму помещаем на комплексную плос­кость, отложив под углом –Ψ_u = -54,4° от вектора приложенного напряжения источника положительную ось вещественных чисел (при –Ψ_u<0 – угол откладываем по часовой стрелке, при -Ψ>0 - против). Если величины углов между векторами токов и положительной осью вещественных чисел равны соответственно аргументам комплексных действующих значений токов I₁, I₂, и I₃, то расчет цепи и построение топографической диаграммы верны.

Рис. 2

Дата добавления: 2015-07-19