Логические функции

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Методические указания к лабораторно-практическим занятиям

по дисциплине «Типовые элементы систем автоматического управления»

Составитель: Гудинов В.Н.

Омск 2011

Логические функции

Устройства управления автоматизированным технологическим оборудованием обеспечивают определённую функционаьную зависимость между входными и выходными управляющими сигналами, которые могут иметь непрерывный или дискретный характер. Для описания дискретных устройств используют модель конечного автомата, что относится к важнейшим понятиям информатики. В основе такой модели лежит предположение, что автомат работает в пошаговом (дискретном) режиме и за каждый шаг воспринимает некий “вход” или порождает некий “выход”, находясь до и после каждого шага в совершенно определённом состоянии. Автомат может иметь одно из конечного множества состояний, и его входы и выходы могут быть описаны символами некоторого конечного алфавита. В дальнейшем будем рассматривають конечные автоматы, в которых входные и выходные переменные могут принимать лишь одно из двух логических значений - “ложь” или “истина”, обозначаемых как «0» и «1».

Входные и выходные дискретные переменные, а также функции, их связывающие, называются соответственно логическими переменными и логическими функциями (функциями алгебры логики) [1]. Логические функции в зависимости от числа входных переменных, делятся на функции одной, двух и многих переменных. Различные комбинации значений входных переменных в логических функциях называют наборами (переменных). Для одной входной переменной возможны два набора: 0 и 1. Для двух - четыре: 00, 01, 10, 11. Для трех - восемь: 000, 001, 010, 011, 111, 110, 101, 100. Для N входных переменных число различных наборов конечно и равно 2^N. Приписывая каждому набору значение функции, равное 0 или 1, можно получить табличное значение данной функции. Число различных логических функций от переменных конечно и равно 2^(2^N).

Функции двух переменных F(X₁,X₂) являются основными функциями алгебры логики. Четырем наборам двух входных переменных соответствует 16 возможных логических функций, приведенных в табл. 1.

Рассмотрим эти функции.

Функции F₀ = 0 (нулевая) и F₁₅ = 1 (единичная) не зависят от значений входных переменных и, следовательно, являются постоянными или функциями-константами. Эти функции не имеют логического значения.

Функция F₁ = X₁ × X₂ называется конъюнкцией (произведением, логическим умножением, функцией «И»). Конъюнкция принимает значение единица тогда и только тогда, когда и вход X₁ и выход X₂ имеют значение единица.

Функция F₂ = X₁ X₂ носит название запрета X₂. Иногда ее называют инверсией импликации. Функция принимает значение 0, если вход X₂ равен 1, каким бы при этом ни был вход X₁. Значения функции совпадают со значением входа X₁, если вход X₂ равен нулю.

Функция F₄ = X₂ X₁ носит название запрета X₁. Она не является самостоятельной, так как отличается от функции F₂ лишь порядком расположения входных переменных.

Функции F₃ = X₁ и F₅ = X₂ являются функциями повторения. Каждая зависит только от одной из двух переменных, независимо от значения другого входа.

Функция F₆ = X₁ Å X₂ называется неравнозначностью (исключающим ИЛИ, неэквивалентностью, альтернативой, функцией сложения по модулю два, функцией «разноименности»). Функция принимает значение единица тогда и только тогда, когда, либо вход X₁, либо вход X₂ равен единице (но не оба вместе).

Функция F₇ = X₁ + X₂ называется дизъюнкцией (суммой, логическим сложением, функцией «ИЛИ», объединением). Функция принимает значение нуля тогда и только тогда, когда оба входа имеют значение нуль. Функция принимает значение единицы, когда или вход X₁, или вход X₂, или оба вместе имеют значение единицы.

Функция F₈ = X₁ ¯ X₂ называется стрелкой Пироса (инверсией суммы, функцией «ИЛИ-НЕ», функцией «НИ...НИ...», функцией Вебба). Функция принимает значение единицы тогда и только тогда, когда оба входа равны нулю.

Функция F₉ = X₁ º X₂ называется эквивалентностью (а также равнозначностью). Функция принимает значение единицы тогда и только тогда, кода оба входа одновременно имеют одинаковое значение, и значение нуль, когда входы имеют разные значения.

Функции и представляют собой инверсии одной из переменных, т.е. являются фактически функциями только одной переменной и не зависят от значения другой входной переменной.

Функция F₁₁ = X₂ ® X₁ называется импликацией от X₂ к X₁ (иногда «включением»). Функция принимает значение 0 тогда и только тогда, когда вход X₂ имеет значение единица, а вход X₁ - значение нуль.

Функция F₁₃ = X₁ ® X₂ называется импликацией от X1 к X2. Она отличается от функции F₁₁ лишь порядком расположения входных переменных.

Функция F₁₄ = X₁ / X₂ называется штрихом Шеффера (инверсией произведения, функцией «И-НЕ», несовместимостью). Функция принимает значение 0 тогда и только тогда, когда оба входа имеют значение единицы.

Каждая элементарная функция реализуется схемно в виде отдельного логического элемента, и возникает естественный вопрос, сколькими типами различных элементов должен располагать проектировщик, чтобы иметь возможность построить любую логическую схему дискретной автоматики.

Схематическая реализация устройств дискретной (релейной) автоматики осуществляется чаще всего на основе следующих пяти функционально полных систем (базисов):

1. НЕ; И; ИЛИ (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция);

2. НЕ; И (инверсия, конъюнкция);

3. НЕ; ИЛИ (инверсия, дизъюнкция);

4. И-НЕ (штрих Шеффера);

Дата добавления: 2015-07-19