Определение определителя квадратной матрицы

Определители

Определение 10.6. Каждой квадратной матрице -го порядка поставим в соответствие число, которое назовем ее определителем или детерминантом и будем обозначать , следующим образом:

а) если , то (определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу);

б) если , то

(определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей);

в) если известно, как найти определитель матрицы -го порядка, то определитель матрицы -го порядка задается так:

(10.2)

где − определитель матрицы -го порядка, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и -го столбца.

Определитель квадратной матрицы -го порядка будем просто называть определителем -го порядка.

В развернутом виде определитель -го порядка записывается как таблица, ограниченная с обеих сторон вертикальными чертами (по одной с каждой стороны):

Приведенное выше определение называется определением по индукции или определением с помощью разложения по первой строке. Частный случай этого определения вы использовали в аналитической геометрии для вычисления определителей третьего порядка.

Пусть – некоторая матрица, не обязательно квадратная. Выделим в ней строк и столбцов. Элементы, расположенные на пересечениях выделенных строк и столбцов, образуют определитель -гo порядка, который называется минором -гo порядка матрицы (или определителя) и обозначается

, (10.3)

где – номера выделенных строк, – номера выделенных столбцов.

Если – квадратная матрица -го порядка или определитель, то элементы, оставшиеся после вычеркивания выделенных строк и столбцов, также образуют определитель, порядок которого равен . Его называют минором, дополнительным к минору (10.3), и обозначают . Алгебраическим дополнением к минору (10.3) называется число

.

Каждый элемент матрицы (или определителя) является ее минором первого порядка, и поэтому для него определяется как дополнительный минор, так и алгебраическое дополнение. В алгебраическом дополнении к одному элементу оба индекса станем писать снизу, считая, как обычно, первый индекс номером вычеркиваемой строки, а второй – столбца.

Используя введенные обозначения, равенство (10.2) запишется так:

.

Таким образом, согласно определению определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Для вычисления определителей третьего порядка, кроме того, можно применять так называемое правило треугольников, которое заключается в следующем: определитель равен алгебраической сумме шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов определителя. При этом при произведениях элементов, расположенных на главной диагонали или в вершинах треугольников с основаниями, ей параллельными, знак не меняется, а при произведениях элементов, расположенных на побочной диагонали или в вершинах треугольников с основаниями, ей параллельными, знак меняется на противоположный:

Правило треугольников схематично можно изобразить следующим образом:

Слева изображено положение элементов, произведения которых при вычислении определителя берутся с тем же знаком, который получится. Справа – положение элементов, произведения которых при вычислении определителя берутся с противоположным знаком.

Определение 10.7. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если же определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то она называется невырожденной.

Пример 10. 14. Проверить, является ли невырожденной матрица:

.

∆ Вычислим определитель заданной матрицы по правилу треугольников, следуя приведенной схеме:

.

Так как , то матрица невырождена. ▲

Пример 10. 15. Для определителя

выписать минор , дополнительный к нему минор и алгебраическое дополнение .

∆ Верхние индексы в записи минора указывают номера выделенных строк, а нижние – номера выделенных столбцов. Вычеркиваем у определителя вторую и третью строки, а также первый и пятый столбцы:

.

Элементы, расположенных на их пересечениях, образуют минор , а оставшиеся после вычеркивания – дополнительный минор:

, , . ▲

Дата добавления: 2015-07-19