Определение передаточных отношений в составных редукторах

Лекция 2

Теорема об общем передаточном отношении при последовательном соеди­нении

Механизмов передачи вращательного движения

Nbsp; Мы рассмотрели простые механизмы передачи вращательного движе­ния – трёхзвенные. Применение таких механизмов ограничено в связи с малым передаточным отношением. Для получения больших передаточных отношений на практике используют последовательное соединение нескольких простых ме­ханизмов – передач. Такие механизмы (редукторы) называют многоступенча­тыми. Последовательно соединённые передачи называют ступенями.

Определим общее передаточное отношение механизма, изображён­ного на рисунке 1. Обозначим валы римскими цифрами а зубчатые колёса – арабскими. Механизм содержит три простые ступени, 4 вала и 6 зубчатых колёс. 1-2 – зубчатая цилиндрическая передача внешнего зацепления, 3-4 – зубчатая цилиндрическая передача внутреннего зацепления, 5-6 – коническая зубчатая передача.

Общее передаточное отношение механизма равно отношению угловых скоростей входного (I) и выходного (IV) звеньев:

.

Определим передаточное отношение каждой ступени:

; ; .

Перемножим левые и правые части полученных равенств:

.

Следовательно:

.

Общее передаточное отношение при последовательном соединении механизмов передачи вращательного движения равно произведению передаточных отношений всех последовательно соединённых передач.

При этом необходимо учитывать, что если оси вращения входного и выходного звеньев не параллельны, то передаточное отношение определяется только по модулю.

Определим общее передаточное отношение механизма через количество зубьев каждой пары зубчатых колёс:

; ; ; .

Зубчатый механизм, у которого вращение передаётся от ступени к ступени (редуктор) называется ступенчатым.

Рассмотрим другой вид редуктора – однорядный редуктор (рисунок 2). Числа зубьев колёс заданы: z₁, z₂, z₃,z₄, z₅. Передачи соединены последовательно и расположены в один ряд.

Определим общее передаточное отношение однорядного редуктора:

.

Из полученного результата видно, что общее передаточное отношение в рядном редукторе не зависит от чисел зубьев промежуточных колёс. Колёса, не оказывающие влияния на модуль передаточного отношения, называют паразитными. В передачах они применяются с целью увеличения межосевого расстояния входного и выходного звеньев и для изменения направления вращения выходного (ведомого) вала.

Рассмотренные нами механизмы, это механизмы у которых все звенья совершают вращательное движение (за исключением неподвижной стойки). В технике часто встречаются механизмы передачи вращательного движения, которые содержат звенья, совершающие сложное движение, например плоскопараллельное.

Планетарные и дифференциальные передачи

Различают зубчатые механизмы передачи вращательного движения простые и эпициклические.

Простыми называются зубчатые механизмы, у которых геометрические оси вращения всех колёс в процессе нормальной работы механизма друг относительно друга остаются неподвижными.

К эпициклическим относятся механизмы, у которых некоторые звенья совершают сложное движение и точки звеньев описывают траектории – эпи и гипоциклоиды. К этим механизмам относятся планетарные и дифференциальные механизмы.

Планетарными и дифференциальными называются передачи, у которых геометрические оси вращения некоторых звеньев перемещаются в пространстве, т. е. зубчатые колёса совершают сложное движение, в частном случае – плоскопараллельное.

Рассмотрим планетарные механизмы, изображенные на рисунке 3. Это эпициклические механизмы, имеющие степень подвижности равную 1. Если эпициклический механизм имеет степень подвижности больше 1, он называется дифференциальным.

На рисунке 3 изображены основные типы планетарных механизмов. Во всех трёх схемах (а, б, в) содержатся одинаковые звенья. Зубчатые колёса, оси которых неподвижны, называются центральными (звенья 1,3). Зубчатые колёса, которые полностью неподвижны (закреплены), называются солнечными (звенья 3). Зубчатые колёса с подвижными геометрическими осями вращения называются сателлитами (звенья 2- 2’). Звено, переносящее ось сателлита, называется водилом (звено Н).

Работа механизма заключается в следующем: колесо 1, вращаясь вокруг оси О₁, приводит в движение колесо 2, которое жестко связано с колесом 2’. Колесо 2’, обкатываясь по неподвижному колесу 3, увлекает водило Н во вращательное движение.

Определим степень подвижности механизмов по формуле Чебышева. Количество звеньев n=4. Количество кинематических пар 2 ^го класса Р₂=3 (одноподвижные шарнирные соединения). Количество кинематических пар 1 ^го класса Р₁=2 (двухподвижные кинематические пары – зубчатое зацепление).

W=3×(n-1)-2Р₂-Р₁=3×(4-1)-2×3-2=1.

Любой из изображенных планетарных механизмов можно преобразовать в дифференциальный, освободив солнечное колесо 3. Для этого необходимо свободный конец рукояти (водила) Н связать через подвижное соединение со станиной и установить солнечное колесо на станине через подвижное соединение (рисунок 4). Определим степень подвижности полученного механизма:

n=5, P₂=4, P₁=2,

W=3×(n-1)-2Р₂-Р₁=3×(5-1)-2×4-2=2.

В планетарном механизме достаточно задать одну обобщённую координату (например закон движения звена 1), чтобы определить положения всех остальных звеньев. В дифференциальном механизме, изображенном на рисунке 4, необходимо задаться двумя обобщёнными координатами (например звена 1 и звена 3), чтобы можно было определить положения всех остальных звеньев.

Исследование планетарных и дифференциальных передач

Существует два метода исследования планетарных и дифференциальных передач:

аналитический – метод Виллиса,

графический – метод диаграмм Смирнова – Кутцбаха.

Аналитический метод исследования планетарных и дифференциальных передач

Аналитический метод основан на принципе обращения движения звеньев и состоит в том, что исследуется относительное движение звеньев механизма, которое они совершают по отношению к водилу.

Поскольку планетарные и дифференциальные механизмы содержат звенья с подвижными геометрическими осями вращения, то воспользоваться формулой для определения передаточных отношений между звеньями механизма через числа зубьев не представляется возможным. Метод обращения движения – искусственный приём, позволяющий рассматривать планетарный или дифференциальный механизм, как механизм с неподвижными геометрическими осями вращения.

Всем звеньям механизма сообщаем дополнительную угловую скорость, равную по модулю угловой скорости водила w_н, но противоположную по направлению. Тогда все звенья будут иметь иную угловую скорость, отличающуюся от действительной на - w_н. Водило Н будет неподвижно. Но при этом все звенья будут совершать только вращательное движение. Этот прием равносилен тому, что мы водило превращаем в стойку (рисунок 5). Если часы с центральной секундной стрелкой вращать против хода секундной стрелки, так чтобы она была неподвижной, тогда угловые скорости: секундной стрелки w_с-w_с=0, минутной стрелки w_м-w_с, часовой стрелки w_ч-w_с, корпуса часов 0-w_с=-w_с.

В планетарном механизме (рисунок 3б) закрепляем водило Н и раскрепляем солнечное колесо 3. В обращённом редукторе (рисунок 5) все звенья совершают вращательное движение. Анализ обращённого планетарного механизма ничем не будет отличаться от анализа простого ступенчатого редуктора. Составим таблицу угловых скоростей звеньев в планетарном и обращённом механизмах (таблица 1).

Таблица 1

Звенья	Планетарный механизм	Обращённый механизм
вид движения	угловая скорость	вид движения	угловая скорость
	вращение	w1	вращение	w1-wн
2-2’	плоскопар.	w2-2’	вращение	w2-2’-wн
	неподвижно		вращение	-wн
Н	вращение	wн	неподвижно

Определим передаточное отношение в обращённом механизме от звена 1 к звену 3:

.

Полученная формула впервые была получена Виллисом для планетарных и дифференциальных механизмов. Поскольку в реальном планетарном редукторе w₃=0, то получим следующие выражение:

.

Здесь - передаточное отношение от звена 1 к водилу .

Следовательно:

.

Это частный случай формулы Виллиса для определения передаточного отношения планетарного механизма.

Если заданы числа зубьев всех колёс в планетарных редукторах (рисунок 3а, 3б, 3в), то передаточное отношение в обращённых механизмах легко определить:

а) ;

б) ;

в) .

При подстановке полученных значений в формулу, для определения передаточных отношений в планетарном редукторе получим:

а) ;

б) ;

в) .

Проанализируем дифференциальный редуктор, изображённый на рисунке 4. Рассмотрим движение звеньев в дифференциальном и обращённом механизмах. Составим таблицу угловых скоростей звеньев (таблица 2).

Таблица 2

Звенья	Дифференциальный механизм	Обращённый механизм
вид движения	угловая скорость	вид движения	угловая скорость
	вращение	w1	вращение	w1-wн
2-2’	плоскопар.	w2-2’	вращение	w2-2’-wн
	вращение	w3	вращение	w3-wн
Н	вращение	wн	неподвижно

В дифференциальном механизме колесо 3 не закреплено и имеет свою угловую скорость w₃ ¹ 0. Если водило Н в обращённом дифференциальном механизме неподвижно, то дифференциальный редуктор превращается в простой, и анализ его тогда ничем не отличается от анализа простых редукторов. При этом необходимо учитывать, что угловые скорости звеньев в обращенном механизме отличаются от угловых скоростей в реальном механизме на - w_н.

Предположим, что нам заданы числа зубьев всех колёс z₁, z₂, z_2’, z₃ и угловые скорости w₁ и w₃. Необходимо определить угловую скорость водила w_н.

Определяем передаточное отношение от звена 1 к звену 3 в обращённом механизме:

.

Определяем это передаточное отношение через числа зубьев:

;

Подставляем полученное значение в предыдущее выражение:

и определяем w_н.

Если нам необходимо определить передаточное отношение от любого звена к любому в планетарном или дифференциальном механизмах, то необходимо рассматривать такие механизмы в обращённом движении (с закреплённым водилом) и определять передаточное отношение между звеньями в обращённом движении. Передаточное отношение, выраженное в угловых скоростях, в обращённом механизме в общем виде от звена «» к звену «» будет иметь следующий вид:

.

Если звено «» неподвижно ( =0), то формула приобретает вид:

.

Пользуясь методом Виллиса можно определить угловые скорости любых звеньев планетарных и дифференциальных механизмов а также передаточное отношение между любыми звеньями этих механизмов.

Определение передаточных отношений в составных редукторах

Составными или сложными будем называть механизмы передачи вращательного движения, включающие в свой состав помимо простых передач планетарные или дифференциальные передачи.

При определении передаточных отношений в составных редукторах общее передаточное отношение определяется как произведение передаточных отношений всех последовательно соединённых передач. При этом планетарная (или дифференциальная) передача рассматривается как одна промежуточная передача.

Определим общее передаточное отношение составного редуктора, приведённого на рисунке 6. Редуктор состоит из последовательно соединённых передач: 1-2 – простая передача, 3-Н – планетарная передача, 7-8 – простая передача. Из кинематической схемы редуктора видно, что w₂=w₃, w_н=w₇.

Таким образом общее передаточное отношение запишется в виде:

.

Для определения передаточного отношения планетарного механизма необходимо воспользоваться методом Виллиса.

Для определения количества элементов планетарной (или дифференциальной) передачи необходимо руководствоваться следующим правилом.

Планетарный (или дифференциальный) механизм включает в себя водило; звенья, которые переносит водило (сателлиты) и колеса, которые входят в непосредственное зацепление с сателлитами.

В нашем примере это водило Н, сателлит 4-5 и колёса 3 и 6.

Рассмотрим ещё одну особенность при определении передаточных отношений в планетарных механизмах. Предположим, что нам необходимо определить передаточное отношение от звена 8 к звену 1. В общем виде запишем:

.

При определении методом обращения, получим:

.

Полученное выражение неудобно для преобразования. Поэтому в этом случае нужно воспользоваться величиной, обратной :

; .

Формула для определения общего передаточного отношения принимает вид:

.

Дальше задача решается известными методами.

По сравнению с простыми передачами планетарные механизмы имеют ряд преимуществ. В основном они используются в тех отраслях промышленности, где необходимо при небольших габаритах передачи получить большие передаточные отношения. При этом планетарные передачи имеют значительно меньшие весо-габаритные показатели по сравнению с обычными передачами.

Рассмотрим конкретный пример. Определим передаточное отношение планетарной передачи, изображенной на рисунке 3а (редуктор Девида). Этот пример характеризует одно из преимуществ планетарного механизма – получение большого передаточного отношения при малом числе зубчатых колёс и малых размерах колёс.

Примем количества зубьев: z₁=20, z₂=19, z_2’=20, z₃=21.

Определим передаточное отношение в обращённом механизме от звена 1 к звену 3:

.

В обычном редукторе скорость выходного вала изменилась бы на незначительную величину .

Воспользуемся формулой Виллиса для планетарных механизмов и определим передаточное отношение от звена 1 к водилу Н:

.

Введя дополнительный элемент (водило) в редуктор мы изменим скорость выходного звена редуктора в 400 раз.

Дата добавления: 2015-07-19