Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

1. Показательное уравнение равносильно уравнению:

,

которое получается логарифмированием исходного уравнения по какому-либо основанию , . В частности, уравнение равносильно уравнению: .

2. Корнями уравнения считаются только решения смешанной системы:

3. Логарифмическое уравнение: равносильно уравнению: .

4. Логарифмическое уравнение: равносильно каждой из следующих систем:

или

Для решения исходного уравнения переходят только к одной из этих систем (той, которая проще), либо решают уравнение , которое может иметь корни, посторонние для исходного уравнения, и проверяют каждый из них подстановкой в исходное уравнение.

5. Показательное неравенство: , равносильно неравенству:

при	при

6. Логарифмическое неравенство:

равносильно системе неравенств

при	при

Примеры решения задач

1. Решить уравнение:

.

Решение. Сначала преобразуем исходное уравнение. Уравнение примет вид: .

Это квадратное уравнение относительно величины: :

или .

Находим его корни: .

Поскольку величина , как показательная функция, положительна при любом значении , то второй корень отбрасываем, как посторонний.

Итак, , откуда .

Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат, получим:

,

,

откуда: .

2. Решить неравенство:

.

Решение. Заметив, что и , приведем обе части неравенства к одному основанию:

.

Так как основание степени , то имеем:

.

Функция определена при , поэтому: . Полагая, , приходим к неравенству:

,

откуда вытекает, что и .

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

или поскольку основание логарифма >1, то

Итак, получаем ответ: .

3. Решить неравенство:

.

Решение. Согласно свойствам логарифмов, имеем . Поскольку основание логарифма , получаем равносильное неравенство: (при этом выполняется автоматически).

Далее, имеем и так как , то получаем равносильную данному неравенству систему:

т.е.

Из второго неравенства системы следует, что ; значит, и задача сводится к решению равносильной системы:

т.е.

Откуда имеем, что . Итак, получаем ответ: .

4. Найти область определения функции:

.

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

Так как основание логарифма , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе:

т.е.

Последняя система равносильна неравенству:

,

которое решается методом интервалов (причем и ). С помощью рис. 9 получаем ответ: .

Дата добавления: 2015-07-19