Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте

Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.

А. Точечная оценка. В качестве точечной оценки не­известной вероятности р принимают относительную частоту

,

где m - число появлений события А; п — число испыта­ний ^*).

Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожи­дание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М(т) = пр (см. гл. VII, § 5), получим

M (W) = M [ m/n ] = M (m)/ n = np/n=p.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D (m) = npq (см. гл. VII, § б):

D (W) = D [ m/n ] = D (m)/ n² = npq/n² = pq/n.

Отсюда среднее квадратическое отклонение;

Б. Интервальная оценка. Найдем доверительный ин­тервал для оценки вероятности по относительной частоте. Напомним, что ранее (см. гл. XII, § 6) была выведена формула, позволяющая найти вероятность того, что аб­солютная величина отклонения не превысит положитель­ного числа d:

P(½ X - a ½< d) = 2Ф(d/s), (*)

где Х - нормальная случайная величина с математи­ческим ожиданием М(Х)=а.

Если n достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать, что от­носительная частота распределена приближенно нор­мально, причем, как показано в п. A, M(W)=p.

^*) Напомним, что случайные величины обозначают прописными, а их возможные значения — строчными буквами. В различных опытах число т появлений события будет изменяться и поэтому является случайной величиной М. Однако, поскольку через М уже обозначено математическое ожидание, мы сохраним для случайного числа появ­лений события обозначение т.

Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину Х и ее математическое ожидание а

соответ­ственно случайной величиной W и её математическим ожиданием р, получим приближенное (так как относи­тельная частота распределена приближенно нормально) равенство

P(½ W - p ½< d) = 2Ф(d/s_W), (**)

Приступим к построению доверительного интервала (p₁,p₂) который с надежностью g покрывает оцениваемый параметр р, для чего используем рассуждения, с помощью которых был построен доверительный интервал в гл. XVI, § 15. Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение (**):

P(½ W - p ½< d) = 2Ф(d/s_W)= g.

Заменив s_Wчерез (см. п. А), получим

где .

Отсюда

и, следовательно,

Таким образом, с надежностью g выполняется нера­венство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относи­тельной частотой w и подставим 1 - р вместо q):

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

[(t²/n) + 1] p² - 2[ w + (t²/n)] p + w² < 0.

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому его корни действительные и различные:

меньший корень

(***)

больший корень

(****)

Итак, искомый доверительный интервал р₁ < p < p₂, где р₁ и p₂ находятся по формулам (***) и (****).

При выводе мы предположили, что w < p; тот же результат получим при w < p.

Пример. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях события А появилось 16 раз.

Решение. По условию, n =80, m =16, g=0,95. Найдем относительную частоту появления события А:

w = m/n = 16/80 = 0,2.

Найдем t из соотношения Ф(t) = g/2 = 0,95/2 = 0,475; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим t=1,96

Подставив n =80, w =0,2, t=1,96 в формулы (***) и (****), получим соответственно р₁ = 0,128, p₂ =0,299

Итак, искомый доверительный интервал 0,128 < p < 0,299.

Замечание 1. При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые t ²/(2 n) и (t ²/(2 n))² очень малы и множитель n/ (t ²+ n) » 1, поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

и .

Замечание 2. Чтобы избежать расчетов концов доверительных интервалов, можно использовать табл. 28 книги: Янко Я. Математико-статистические таблицы. М., Госстатиздат, 1961.

Дата добавления: 2015-07-19