Кинетическая энергия твердого тела, совершающего вращательное и поступательное движения.

Любое произвольное движение твердого тела можно представить в виде суммы поступательного движения центра масс тела и вращательного движения в СО, связанной с этим центром масс. Проанализируем движение тела относительно двух таких систем: СО, связанной с центром масс тела - точкой С, и инерциальной СО - системой XY, относительно которой перемещается центр масс (см. рис. 6.7). Любая точка тела участвует в двух движениях: поступательном, происходящим в данный момент времени со скоростью V _c, и вращательном, происходящим с угловой скоростью w' = v _i'/R_i, относительно точки С.

Скорости тела в этих системах связаны между собой известным соотношением:

v _i = V _c + v _i', где
v _i - скорость i ^ой части в ИСО;
V _c - скорость движения центра масс тела;
v _i' - скорость i ^ой части в СО, связанной с центром масс.

Можно показать, что

кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' = I·w²/2 относительно СО, связанной с центром масс тела.
Это утверждение называется теоремой Кёнига.
E_к = E' + M·V_c²/2.

Теорема Кёнига справедлива для любого плоского движения при котором центр масс перемещается в некоторой фиксированной плоскости, а вектор угловой скорости все время перпендикулярен к этой плоскости. Примером плоского движения является качение.

Теорема Штейнера.

Рассмотрим вращение стержня вокруг некоторой оси Z (см. рис. 6.8). Кинетическую энергию стержня можно представить в виде:

E_к = I·w²/2.
где I - момент инерции стержня относительно оси Z.

С другой стороны, согласно теореме Кёнига, эту энергию можно найти как сумму кинетических энергий поступательного движения по окружности радиуса d центра масс тела (точки С) и вращательного движения стержня относительно оси Z':

E_к = m·V_c²/2 + I_c·w²/2,
где I_c - момент инерции стержня относительно оси Z'.

Учитывая, что для случая движения по окружности справедливо соотношение V_c = d·w, и приравнивая приведенные выше выражения для кинетической энергии стержня, получим уравнение, которое является выражением теоремы Штейнера:

I = I_c + m·d²/2.

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен его моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы на квадрат расстояния между этими осями.

Пример. Тонкий стержень, вращающийся вокруг оси, направленной перпендикулярно к его длине.

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

В табл. 4.2 сопоставлены основные физические величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение.

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса m	Момент инерции Jz
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Сила	Момент силы
Импульс	Момент импульса
Основное уравнение динамики:	Основное уравнение динамики:
Работа	Работа вращения
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия вращения

Дата добавления: 2015-07-19