Выпуклость и точки перегиба

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3 1-ый семестр

Лекция № 12. Исследование поведения функции и их графики 2012-13 уч.г.

Краткое содержание лекции.

Функция называется строго возрастающей (убывающей) в интервале (a,b), если выполняется (или ).

Точка x₀, в которой f(x₀) непрерывна, а производная функции y=f(x) равна нулю или не существует, называется критической точкой этой функции.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности U(x₀) критической точки x₀ и дифференцируема в U(x₀) кроме быть может самой точке x₀. Тогда

1) если в U(x₀) f ' (x)>0 при х<x₀ и f '(x)<0 при x>x₀, то x₀ ¾ точка максимума;

2) если в U(x₀) f ' (x)<0 при х<x₀ и f '(x)>0 при x>x₀, то x₀ ¾ точка минимума;

3) если в U(x₀) f ' (x)>0 или f '(x)<0 при x¹ x₀, то в x₀ ¾ экстремума нет.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и f''(x₀) существует. Тогда, если f ''(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f ''(x₀)<0, то x₀ - точка максимума.

Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в (a,b).

Функция y=f (x) называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x₀Î(a,b) значение функции в "хÎ(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)³0

(f ''(x) 0) "xÎ(a,b).

Определение. Точка х₀ называется точкой перегиба для функции y = f (x), если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точке х₀, т.е. для х>x₀, y_ф-y_k ³ 0, а для х < x₀, y_ф-y_k £ 0 или наоборот. Точку х₀, в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от х₀ противоположны

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в х_0. Тогда если точка перегиба, то или не существует.

Такие точки х₀, в которых f (x₀) непрерывна, а f "(x₀)=0 или не существует, называются критическими точками второго порядка.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ®¥) Теорема (о вертикальной асимптоте). Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой функции y=f (x) только в том случае, когда при х х₀ – или х х₀+ эта функция является бесконечно большой.

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и .

Дата добавления: 2015-12-01