Применение матриц к расчету четырехполюсников

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матрич­ной форме. В частности, для системы уравнений в Y -параметрах (12.2)

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехпо­люсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четы­рехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении Длякаждого из четы­рехполюсников можно составить матричные равенства:

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных мат­риц соединенных четырехполюсников: А = А'А". Это правило рас­пространяется на любое число каскадно соединенных четырех­полюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не под­чиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюс­ников в результирующем четырехполюснике складываются. За­писывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехпо­люсника

При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z' + Z".

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где и матрица Y результирующего четырехполюсника рав­на сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y' + Y".

Матрицы F удобно применять при смешанном — последова­тельно-параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом Н = Н' + Н".

Матрицы F удобно применять при параллельно-последователь­ном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = F' + F".

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассив­ным четырехполюсникам относят Г-, Т-, П- образные схемы (см. рис. 12.2, б —г), мостовые (см. рис. 12.2, а) и Т- перекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных ме­тодах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рас­сматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из со­единений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изобра­женные на рис. 12.8, а и 6. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: и

I ₁= I _2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями в А -параметрах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехпо­люсника:

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) име­ем и поэтому

Другие матрицы — Z, Y и Н — могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюс­ника не существует Z -параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего че­тырехполюсника не существует Y -параметров.

На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещен­ное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению со­ответствует матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсни­ков, изображенных на рис. 12.2. Г- образный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица

А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц простейших четырехполюсников:

Для Т- образного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу A можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение Г образной схемы с элементами Z ₁, и Z ₂ и простейшей схемы с элементом Z ₃ в продольном плече (рис. 12.8, а):

Для П- образной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изобра­женного на рис. 12.8, б и Г- образного четырехполюсника с элемен­тами Z ₂ в продольном плече и Z ₃в поперечном плече, матрица

Зная А -параметры Г-, Т- и П- образных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметров-коэффи­циентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно предста­вить как параллельное соединение двух простейших четырехпо­люсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехпо­люсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры Т- перекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, Э), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с со­противлением Z ₄ в продольном плече и Т- образного четырехпо­люсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y - naраметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким об­разом, Y -матрица идеального ИТУНа равна

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в Н -параметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми

источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая

переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид

Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, F -матрица ИНУН записывается в виде:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, рабо­тающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в Н - или Y -параметрах. Иногда используются также Z -параметры. Усредненные значения Y-, Z - и Н -параметров транзисторов при­водятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от то­го, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, кол­лектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и Н -параметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора п-р-п типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, я). Его схема замеще­ния в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица бипо­лярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характе­ризуется Y - или А- параметрами. Для электронной лампы с общим катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учи­тывать паразитные емкости, имеем:

где S— крутизна электронной лампы (скорость изменения анод­ного тока с изменением сеточного напряжения); R_i — внутреннее сопротивление лампы; μ — коэффициент усиления лампы (см. §1.2).

При перечисленных выше условиях Z- и Н -параметров для электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влия­нием между электродами лампы через паразитные элементы при­ходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее пара­зитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник может характеризоваться любой системой параметров.

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе слож­ного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответ­ствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения Н- параметров каскада усили­теля на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и П- образного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для П- образной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y П- образного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y -параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y П- образного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.

Дата добавления: 2015-12-01