Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с n_{B -}ветями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо ре­шить систему из п_в уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют методы контурных токов и узловых напряжений.

Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров, определяемых равен­ством (1.15). В его основе лежит введение в каждый контур ус­ловного контурного тока I k, направление которого обычно выби­рают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Поясним суть метода контурных токов на примере резистивной цепи, схема которой изображена на рис. 2.5, а. Для контурных токов Iк₁ и I_К2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде

Перенесем U_T\ и U_r2 в правую часть системы и получим так на­зываемую каноническую форму записи уравнений по методу кон­турных токов:

Слагаемые в уравнении (2.11) берутся со знаком «+», если ток I_кl и I _кп обтекают R l_n в одном направлении и со знаком «—» в противном случае. Контурное задающее напряжение U_K равно ал­гебраической сумме задающих напряжений источников, входящих в каждый контур. Со знаком «+» суммируются источники, задающее напряжение которых направлено навстречу контурному току, и со знаком «—», если направление напряжения и контурного тока совпадают.

Решая систему уравнений (2.11), найдем значения контурных токов

Как следует из уравнений (2.14) и (2.15), контурный ток может быть получен алгебраическим суммированием частичных токов от воздействия каждого контурного задающего напряжения в отдель­ности. Таким образом, полученный результат отражает рас­смотренный в § 1.6 принцип наложения.

Если в схеме кроме источ­ников напряжения содержится п- ветвей с источниками тока, то не­зависимые контуры выбираются так, чтобы источник тока входил только в один контур. Это можно сделать, если выбрать дерево гра­фа цепи таким, чтобы источник тока входил в одну из хорд.

Число контурных уравнений при этом уменьшается до

Напряжения от задающих токов этих источников учитываются в левой части системы (2.11) на взаимных сопротивлениях, которые эти токи обтекают. Например, для схемы, изображенной на рис. 2.6, а, составляется только одно уравнение для II контура:

Сформулированные выше правила составления уравнений по методу контурных токов справедливы и в случае зависимых ис­точников напряжения ИНУН и ИНУТ.

Пример. Найдем токн в цепи содержащей ИНУТ с задающим нап­ряжением U_г2 = HRI₁ (рис. 2.7) по методу контурных токов.

Учитывая, что цепь содержит ветвь с идеальным независимым источником тока J согласно (2.15) составим всего одно уравнение для контурного тока I_к. При этом задающий ток источника тока J замыкаем по ветви с R₁ и U_Г1, в ре­зультате получим

где I_К — матрица-столбец контурных токов. Подставляя (2.19) в (2.18), получаем:

BR_BB^TI_K =BU_ГB. (2.21)

Если учесть, что

BR_BB^T=R_K, Ви_ГВ=U_к, (2.22)

где R_K — квадратная матрица контурных сопротивлений; U_K — мат­рица-столбец контурных задающих напряжений, то в соответствии с (2.20) получим матричное уравнение контурных токов

R_KI_K=U_K. (2.23)

Пример. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.8, а. В соответствии с направлением токов строим направленный граф цепи (рис. 2.8, б) и дерево графа (рис. 2.8, в). Подсоединяя к дереву хорды (на рис. 2.8, г обозначены пунктиром), получаем три независимых контура. Выбрав направление обхода контуров I, II и III, в соответствии с правилом, изложенным в § 1,3, строим контурную матрицу

Для линейных электрических цепей важную роль играет прин­цип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если ис­точник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь I пассив­ной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток определенного значения, то этот же источник, будучи по­мещенный в ветвь k, вызывает в ветви l ток с тем же значени­ем. Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений (2.14) и (2.15) с учетом того, чтоΔ lk = Δ kl.

Дата добавления: 2015-12-01