Однофакторный дисперсионный анализ

Сведения о количестве голосов Y, отданных за кандидата в трех одно­типных случайно выбранных избирательных округах, в которых использо­вались разные виды агитации (A(1) — личные встречи кандидата с избирателями, A(2) — раздача листовок с программой кандидата, A(3) выступление кандидата по телевидению), приведены в табл.:

Номер избирательного участка

Задание 1

Записать детерминированную модель дисперсионного анализа количества

голосов, поданных за кандидата в избирательном округе, и предъявляемые к ней требования.На 5%номуровне значимости проверить гипотезу о равенстве групповых генеральных дисперсий количества голосов, используя критерий Бартлетта.

Детерминированння модель однофакторного дисперсионного анализа количества голосов, поданных за кандидата в избирательном округе, имеет следующий вид:

где , - неслучайный эффект влияния фактора А на наблюдение , - случайный эффект влияния прочих неконтролируемых факторов.

К этой модели предъявляются следующие требования:

· все случайные величины или, иначе, все случайные величины должны быть независимыми;

· или, иначе, , т.е. при каждом уровне фактора наблюдения должны проводиться в одинаковых («нормальных») вероятностных условиях с дисперсией, не изменяющейся при переходе от одного уровня фактора к другому;

· .

В однофакторном дисперсионном анализе проверяют гипотезу , состоящую в том, что эффекты влияния зафиксированных уровней фактора А равны нулю – количество голосов, отданных за кандидата при каждом виде агитации, не зависит от вида агитации.

Выполнение первого требования, предъявляемого к результатам наблюдений, определяется организацией выборов (число голосов, отданных за кандидата на любом избирательном участке при правильной организации выборов, очевидно, не зависит от числа голосов, отданных за того же кандидата на двух оставшихся участках).

Окно показывающее работу программы «однофакторный дисперсионный анализ».

Ниже приведена таблица, с резульататыми работы прогрмаммы «Однофакторный дисперсионный анализ»

Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу о равенстве групповых генеральных дисперсий количества голосов, предположив нормальность распределения случайных величин и их независимость. Для этого применим критерий Бартлетта.

Число наблюдений на каждом уровне («Счет»), несмещенные оценки групповых средних («Средние») и групповых дисперсий («Дисперсии») рассчитаны программой

Для расчета числового значения статистики Бартлетта

где - число уровней фактора,

q= 0.896

S_ост² = 4,588

Тогда числовое значение статистики Бартлетта будет равно

Ф_v-1 = 4,251

Статистика Бартлетта в предположении справедливости гипотезы о равенстве групповых генеральных дисперсий имеет распределение, близкое к . При критическая точка . Поскольку наблюдаемое числовое значение статистики Бартлетта оказалось меньше критической точки, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу. Таким образом, второе требование, предъявляемое к результатам наблюдений, выполнено.

Задание 2

Построить дисперсионную таблицу; на 5%ном уровне значимости проверить гипотезу об отсутствии влияния видов агитации на количество голосов, поданных за кандидата.

Дисперсионный анализ
Источник вариации результативного признака Y	Показатель вариации (SS)	Число степеней свободы (df)	Оценка дисперсии (MS)		P-Значение	F критическое
Фактор А	291,883333		145,9417	31,81289737	1,59613E-05	3,885293835
Остаточные факторы	55,05		4,5875
Итого	346,93333

Проверка гипотезы производится на основе анализа статистики , имеющей (в предположении справедливости ) распределение Фишера-Снедекора с и степенями свободы. В данном случае наблюдаемое значение этой статистики оказалось равным 31,813, и оно больше критической точки f _0.05;2;12=3.89, из чего следует, что гипотеза Н₀ отвергается на 5%-ном уровне значимости.

Задание 3

В случае, если эта гипотеза отвергается:

a) оценить влияние видов агитации на количество голосов, используя

коэффициент детерминации;

б) на 5%ном уровне значимости провести попарное сравнение влияния

видов агитации.

А) Таким образом, вид агитации существенно влияет на количество голосов, отданных за кандидата. Оценим силу этого влияния с помощью коэффициента детерминации

ή² = 0.84=84%

такова (84%) доля общей вариации наблюдаемого числа голосов, отданных за

кандидата, обусловленная изменчивостью фактора A — вида агитации. Влиянием неконтролируемых факторов обусловлено 16% вариации числа голосов. Нетрудно убедиться в том, что

Б) Попарное сравнение видов агитации по влиянию на количество

поданных голосов проведем при помощи проверки гипотез H^(i;j)₀: Өⁱ=Ө^j

при альтернативах H^(i;j)₁: Өⁱ≠Ө^j [(i;j)= (1;2) (1;3), (2;3)]. Вычислим значения

имеющей (в предположении справедливости H^(i;j)₀) распределение Стьюдента с n – n = 12 степенями свободы (здесь S_ост= =2.14)

В условиях данного примера оказалось, что наблюдаемое значение

статистики

T₁₂^(1;2) =2,71

T₁₂^(1;3) =7,69

T₁₂^(2;3) =5,63

критическая точка распределения Стьюдента на 5%-ном уровне значимости равен 2,18.

Гипотезы H^(1;2)₀: Өⁱ=Ө^j, H^(1;3)₀: Өⁱ=Ө^j, H^(2;3)₀: Өⁱ=Ө^j

отвергаются (так как значение статистики больше значения критической точки), т. е. при переходе с первого (личные встречи кандидата с избирателями) и второго уровня (раздача листовок с программой кандидата) на третий (выступление кандидата по телевидению) и с первого (личные встречи кандидата с избирателями) на второй уровень (раздача листовок с программой кандидата) эффект влияния изменяется.

Задание 4

Оценить параметры модели

Оценим параметры детерминированной модели однофакторного дисперсионного анализа. Оценка параметра равна общему среднему

Оценка эффекта влияния i -го уровня фактора равна , т.е. , , .Оценка параметра равна S _ост = 2.14.

Тема 3

Дата добавления: 2015-12-01