III. Выполнение

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков математического моделирования процесса распространения тепла в сферическом теле и аналитического решения этой задачи.

II. ЗАДАНИЕ

1. Построить модель процесса распространения тепла в сферическом теле.

2. Провести подробные преобразования и получить решение поставленной задачи.

3. Построить кривые распространения относительной избыточной температуры в шаре по относительному радиусу при постоянном числе Фурье . При расчетах взять следующие значения числа Фурье:

Где - номер студента в списке группы;

- пятый индекс группы.

4. Рассчитать и построить графики зависимости функции от числа Фурье, изменяющегося от 0.05 до 1 с шагом 0.05 для следующих значений :

III. ВЫПОЛНЕНИЕ

Процесс распространения тепла в изотропной среде описывается уравнением теплопроводности

Где - температура;

- плотность;

- удельная массовая теплоемкость;

- коэффициент теплопроводности;

- мощность внутренних источников теплоты;

- время.

Для однородного тела величины , , постоянны и уравнение теплопроводности принимает вид

,

Где

При решении конкретных задач теории теплопроводности начальные и граничные условия обеспечивают получение однозначного решения уравнения теплопроводности.

Таким образом, математическая модель процесса распространения тепла представляет собой уравнение теплопроводности и уравнения, описывающие начальные и граничные условия.

Рассмотрим следующую краевую задачу теории теплопроводности.

Дано сферическое тело радиуса с известным начальным распределением температуры . В начальный момент времени поверхность шара мгновенно охлаждается до некоторой температуры, равной , которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Требуется найти распределение температуры внутри шара в любой момент времени.

Охлаждение происходит равномерно, так что изотермы внутри шара представляют собой концентрические сферы(см. рис.), т.е. температура зависит только от радиус-вектора и времени .

Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии источников тепла имеет вид:

Уравнение теплопроводности для рассматриваемой симметричной задачи в сферической системе координат записывается в виде:

(1)

Необходимо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим условиям:

(2)

(3)

(4)

(5)

Таким образом, будем искать решение первой краевой задачи.

Условие (4) означает, что температура в центре сферы на протяжении всего процесса теплообмена должна быть конечной. Условие (5) есть условие симметрии.

Дифференциальное уравнение (1) можно записать в виде:

(6)

Будем решать поставленную задачу методом интегральных преобразований, используя преобразование Лапласа. Применим преобразование Лапласа к уравнению (6) относительно переменной . Положив

Учитывая, что

,

Получим

(7)

Таким образом, вместо дифференциального уравнения в частных производных (6) получим обыкновенное дифференциальное уравнение (7) относительно изображения .

Решение уравнения (7) имеет вид

. (8)

Так как в центре шара () температура и ее преобразование Лапласа согласно условию (4) не могут быть величинами бесконечно большими, т.е. должно быть , то следует положить .

Таким образом, имеем

(9)

Постоянную определим из граничного условия для изображения

, (3’) которое получаем в результате применения преобразования Лапласа к условию (3).

Удовлетворим решение (9) условию (3’):

Найдем :

Тогда решение (9) примет вид

(10)

Теперь, зная преобразование Лапласа температуры, можем найти распределение температуры в теле, осуществив обратное преобразование Лапласа. Для этого воспользуемся теоремой разложения, которая формулируется следующим образом.

Если изображение представляет собой дробную функцию

(11)

То

Где - простые корни функции .

Правая часть равенства (10), являющаяся отношением функций и может быть представлена в виде (11), так как

(12)

Найдем корни функции , для чего необходимо положить

Отсюда получим следующие корни:

1)

2)

Откуда или

Для нулевого корня воспользуемся соотношением (12):

Тогда

Для корней будем иметь

В результате обратного преобразования Лапласа равенства (10) с помощью теоремы разложения дает окончательное решение задачи

(13)

N:=5:k:=7:M:=100:

theta:=(r1,F)->evalf(sum(2*(-1)^(n+1)*1/r1*sin(Pi*n*r1)/(Pi*n)*exp(-(Pi*n)^2*F), n=1..M));

F[1]:=(N+k)/10: F[2]:=(N+k)/20: F[3]:=(N+k)/30:

with(plots): s:=plot([theta(r1,F[1]),theta(r1,F[2]),theta(r1,F[3])],r1=0..1,linestyle=[1,2,3],color=black,title="Распределение относительной избыточной температуры в шаре по относительному радиусу при постоянном числе Фурье",thickness=[3,1,1]):

s1:=textplot([0.5,0.03,'theta(r1,0.4)']):

s2:=textplot([0.4,0.006,'theta(r1,0.6)']):

s3:=textplot([0.4,0.0009,'theta(r1,1.2)']): display([s,s1,s2,s3]);

r1[1]:=(N+k)/25:r1[2]:=(N+k)/50:r1[3]:=(N+k)/100:

p:=plot([theta(r1[1],f),theta(r1[2],f),theta(r1[3],f)],f=0..1,numpoints=20,linestyle=[2,1,3],color=black,title="Зависимость функции theta от числа Фурье",thickness=[2,1,1],legend=["theta(0.48,f)","theta(0.24,f)","theta(0.12,f)"]):

Display(p);

Дата добавления: 2015-12-01