Общая теория цилиндрических проекций

Общее уравнение цилиндрических проекций в соответствии с (4.11) будет

где -расстояние параллелей от экватора или от параллели сечения, -расстояние от начального меридиана до данного, -коэффициент пропорциональности.

Найдём выражение для масштабов вдоль меридиана и вдоль параллели, принимая землю за шар (рис.5.1). Полагая бесконечно малыми отрезками, найдём частные масштабы по меридиану и параллели. По определению масштаб вдоль меридиана будет

Рис.5.1

, (5.1)

а вдоль параллелей, принимая во внимание (4.11)

, (5.2)

где: r – радиус параллели.

Увеличение масштабов вдоль меридиана и параллели будут соответственно равны

(5.3)

где - главный масштаб карты.

Для определения коэффициента пропорциональности задаём широту параллели касания или сечения, где частный масштаб равен главному т.е.

.

Откуда . Подставив во второе уравнение выражений (4.11) и (5.3), найдём

, (5.4)

. (5.5)

Так как меридианы и параллели пересекаются под прямым углом, т.е. , то полуоси эллипса искажений на основании (3.24) будут равны увеличению по меридиану и параллели. Следовательно и .

Если Землю принять за эллипсоид, формулы для увеличения принимают вид

(5.6)

где - радиус параллели сечения или касания.

Из (4.11) и (5.5) следует, что для задания цилиндрической проекции необходимо на основании тех или иных дополнительных условий задать в явном виде функцию и коэффициент пропорциональности .

5.2 Простая равнопромежуточная цилиндрическая проекция

Предложена в 1438г. португальским принцем Генрихом Мореплавателем.

В этой проекции (рис. 5.2) расстояние между меридианами равно выпрямленной дуге экватора, а расстояние между параллелями - выпрямленной дуге меридиана. Если принять Землю за шар радиусом R, то и определятся из уравнений

Рис. 5.2

(5.7)

Сетка меридианов и параллелей - квадраты. Увеличение по меридиану и параллели будут

Соответственно полуоси эллипса искажений будут равны

Увеличение площадей

.

Наибольшее искажение направлений

.

Эта проекция может быть применена для территорий, расположенных вблизи экватора. В средних широтах, в т.ч. в Украине, эта проекция неприменима из-за больших искажений.

5.3 Прямоугольная равнопромежуточная цилиндрическая проекция

В целях уменьшения искажений вместо касательного по экватору цилиндра берётся секущий цилиндр с параллелями сечения .

Расстояние между меридианами (рис.5.3) равно выпрямленной дуге параллели сечения, а расстояние между параллелями выпрямленной дуге меридиана. Сетка меридианов и параллелей прямоугольная.

Рис.5.3

Если принять Землю за шар, и определяются по формулам

(5.8)

Увеличение по меридиану и параллели будет

между параллелями сечения , на параллели сечения , вне этого интервала .

Увеличение площадей

.

Максимальное искажение направлений

Для территории Украины самая южная точка Форос в Крыму имеет широту , а самая северная точка пос. Знобь Новгородская в Черниговской области .

Если за параллель сечения принять среднюю параллель , искажения по территории Украины распределятся, как это показано в таблице 5.1

44°	1,000	0,930	4°08'
45°	1,000	0,946	3°09'
46°	1,000	0,963	2°08'
47°	1,000	0,981	1°05'
48°	1,000	1,000	0°
49°	1,000	1,020	–1º08'
50°	1,000	1,041	–2º18'
51°	1,000	1,063	–3º31'
52°	1,000	1,087	–4º46

Таблица 5.1

На основании данных, приведённых в таблице 5.1 можно заключить:

· Наибольшие искажения вдоль параллели и искажение площадей в этой проекции составляют 7% на юге и около 9% на севере

· Искажения углов по краям территории превышают 4°

· Искажения к северу от параллели сечения возрастают быстрее, чем к югу от неё.

5.4 Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора

Предложена в 1569 году фламандским картографом Г. Меркатором.

Рассмотрим сначала эту проекцию для шара.

В рассмотренной нами ранее простой цилиндрической проекции увеличение масштаба по меридиану равно единице, а по параллели . Таким образом кружок, взятый на глобусе, изображается в этой проекции эллипсом, вытянутым по параллели.

Чтобы проекция была равноугольной, как это следует из выражения (3.7), необходимо и достаточно обеспечить равенство

.

Следовательно, чтобы сделать цилиндрическую проекцию равноугольной, нужно меридианы, также как и параллели, вытянуть в раз. Как это осуществить практически? Разделим меридианы, начиная от экватора, на бесконечно малые отрезки , как это оказано на рис.5.4. Середине каждого такого отрезка соответствует своя широта . Тогда длина отрезка меридиана от экватора до некоторой точки с широтой будет равна

Рис.5.4

. (5.9)

В свою очередь, как это следует из рис.5.1

(5.10)

Подставляя значение из (5.10) в подынтегральное выражение (5.9) и выполнив интегрирование, найдём

. (5.11)

Ордината сохранит своё значение, т.е.

. (5.12)

Сетка меридианов и параллелей прямоугольная (рис.5.5). Увеличение по меридиану и параллели будет

.

Рис.5.5

Эллипсы искажений представляют собой окружности радиусом .

Если касательной по экватору цилиндр заменить секущим по параллели , то выражение (5.11) принимает вид

, (5.13)

а второе выражение (5.8) остаётся без изменений.

Увеличение по меридиану и параллели

.

Увеличение площадей

.

Для территории Украины, если принять , увеличение площадей составит, как это следует из табл.5.2, до на юге до на севере.

Таблица 5.2

	44°	45°	46°	47°	48°	49°	50°	51°	52°
	0,865	0,895	0,927	0,962		1,04	1,084	1,13	1,182

До сих пор мы рассматривали проекцию Меркатора на шаре. Если за модель Земли принять эллипсоид вращения, формулы для вычисления и принимают вид

(5.14)

где - радиус параллели касания или сечения

,

, - первый эксцентриситет земного эллипсоида, определяемый выражением (2.2).

5.5 Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта

Предложена в 18 веке немецким математиком и астрономом Йоганном Ламбертом.

Если пересечь плоскость цилиндра, касательного к шару по экватору, плоскостями меридианов и параллелей так, как это показано на Рис.5.6, а затем развернуть цилиндр на плоскость, мы получим проекцию Ламберта.

Чтобы доказать равенство площадей на шаре и на плоскости рассмотрим шаровой пояс и его отображение на плоскости – прямоугольник KMNL.

Рис.5.6

Поверхность шарового пояса равна

где: - радиус большого круга, - высота пояса.

Площадь прямоугольника

.

Но отрезок KL равен длине окружности экватора, т.е.

,

а KM равен высоте шарового пояса . Сделав подстановку найдём

, (5.15)

что и доказывает равновеликость проекции.

Как это следует из чертежа, уравнение проекции будет

(5.16)

Для определения искажений найдём увеличение по меридиану и параллели и . Обратимся к рис.5.7, где показаны бесконечно малые отрезки на глобусе

.

Рис.5.7

и на карте . Из треугольника найдём

.

Следовательно, увеличение по меридиану будет равно

. (5.17)

Увеличение по параллели, как и в других цилиндрических проекциях определяется ввыражением

. (5.18)

Увеличение площадей равно

.

Наибольшее искажение направлений

или , (5.19)

так как .

Эта проекция искажает контуры территории больше чем другие цилиндрические проекции, сохраняя при этом неискаженными их площади. Поэтому карты в проекции Ламберта можно использовать для определения площадей различных территориальных объектов и акваторий при помощи планиметра, палетки или каких-либо другим способом. Чтобы уменшить искажение, применяют равновеликую цилиндрическую проекцию на секущем цилиндре.

Уравнение такой проекции будет

(5.20)

Для вычисления увеличений служат формулы

(5.21)

для наибольшего искажения направлений формула (5.19). Для территории Украины, если принять , значения приведены в таблице 5.3.

44°	1,075	0,930	8°17'
45°	1,057	0,946	6°21'
46°	1,038	0,963	4°17'
47°	1,019	0,981	2°10'
48°	1,000	1,000	0°
49°	0,980	1,020	2º17'
50°	0,961	1,041	4º35'
51°	0,941	1,063	6º58'
52°	0,920	1,087	9º32'

Таблица 5.3

Как видим для этой проекции при относительно небольших искажениях по меридиану и параллели (порядка 7-8% на крайнем юге и севере) характерны большие искажения направлений и углов.

5.6 Цилиндрическая стереографическая проекция на секущем цилиндре (проекция Голла)

Представим себе цилиндр, пересекающий глобус по параллели (рис.5.8). Спроектируем точки пересечения меридианов и параллелей на поверхности цилиндра лучами, исходящими из точки зрения Е₁, перемещающейся по экватору. Из каждого положения точки Е₁ проектируются на цилиндр точки, расположенные на противоположном меридиане, т.е. имеющие долготу отличную от точки Е₁ на 180˚.

Рис.5.8

Для проектирования точки М₀ продолжим луч Е₁М₀ до пересечения с поверхностью цилиндра в точке М. Спроектировав таким образом точки пересечения меридианов и параллелей, развернём цилиндр на плоскость. В результате получим прямоугольную сетку.

Выведем формулы для этой проекции. Из рис.5.8 имеем

,

откуда

(5.22)

Так как сетка прямоугольная, . Увеличение по меридиану и параллели определяется из выражений

(5.23)

Соответственно

,

если и (5.24)

если .

Как это следует из (5.23) и (5.24), проекция Голла - произвольная проекция.

Тем не менее, как это видно из табл.5.4 если принять , для территории Украины искажения (особенно углов) в этой проекции меньше чем у других цилиндрических проекций.

До сих пор мы рассматривали разные виды нормальных цилиндрических проекций, у которых ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли или ей параллельна.

Таблица 5.4

44°	0,971	0,930	0,903	2°28'
45°	0,978	0,946	0,925	1°54'
46°	0,985	0,963	0,948	1°17'
47°	0,992	0,981	0,973	0°38'
48°	1,000	1,000	1,000	0°
49°	1,008	1,019	1,027	0º37'
50°	1,016	1,041	1,058	1º23'
51°	1,024	1,063	1,089	2º08'
52°	1,033	1,087	1,123	2º54'

Рассмотрим теперь поперечно-цилиндрические проекции, у которых ось цилиндра лежит в плоскости экватора.

Дата добавления: 2015-12-01