Властивості монотонних функцій

Нехай функції f(x) і g(x) – фунуції, задані на одній множині Х, що належить областям визначення цих функцій, тоді

1. Якщо f(x) зростає(спадає) на X і с – константа, то

a) f(x)+с зростає(спадає) на X;

b) с f(x) зростає(спадає) на X, якщо с>0;

c) c f(x) спадає(зростає) на X, якщо c<0.

2. Якщо f(x) і g(x) зростають(спадають) на множині Х, то f(x)+g(x) також зростає(спадає) на Х.

3. Якщо f(x) і g(x) – невід’ємні на Х і зростають (спадають) на Х, то f(x) g(x) також зростає (спадає) на Х.

4. Якщо f(x) і g(x) – від’ємні на Х і зростають (спадають) на Х, то f(x) g(x) спадає (зростає) на Х.

5. Якщо f(x) зростає (спадає) на Х (f(x) 0 на Х), то спадає (зростає) на Х.

6. Якщо f(x) зростає (спадає) на Х і f(x)≥0 на Х, то зростає (спадає) на Х.

7. Якщо f(x) зростає (спадає) на Х, то

a) y = a^f(x) при a>1 зростає (спадає) на Х;

b) y =a^f(x) при 0<a<1 спадає (зростає) на Х;

c) y = log_a f(x) при a>1 зростає (спадає) на Х, якщо f(x)>0;

d) y = log_a f(x) при 0<a<1спадає (зростає) на Х, якщо f(x)>0.

Останні твердження узагальнимо наступним чином

Теорема. Складена функція зростає, якщо функції і мають однаковий характер монотонності, і спадає, якщо вони мають різний характер монотонності

Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції .

; маємо складну функцію, де зростає, на , а функція спадає на області визначення.

Приклад 2. Знайти інтервали монотонності функції .

. Функція .

Якщо , то , функція зростає.

Якщо , то , функція спадає.

Функція зростає, тому складна функція спадає на інтервалі , і зростає на інтервалі .

Дата добавления: 2015-12-01