Основные критерии подобия

Название	Обозначение	Физический смысл
Критерий Фурье		Соответствие между темпами изменения температуры на поверхности тела и температурного поля внутри тела
Критерий Био		Мера отношения между внутренними и внешними тепловыми сопротивлениям
Критерий Рейнольдса		Мера соотношения в потоке сил инерции и сил вязкости
Критерий Фруда		Мера соотношения в потоке сил тяжести и сил инерции
Критерий Грасгофа		Мера соотношения подъемной силы и сил вязкостного трения
Критерий Прандтля		Соотношение толщин гидродинамического и теплового пограничных слоев
Критерий Нуссельта		Характеризует интенсивность теплообмена на границе стенка-жидкость
Критерий Эйлера		Мера отношения перепада статистического давления к динамическому напору в потоке
Критерий Пекле		Мера отношения интенсивности конвективного переноса теплоты к интенсивности переноса теплоты теплопроводностью

где: a — коэффициент температуропроводности, м²/с;

λ — коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К);

α — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²×К);

ν — коэффициент кинематической вязкости, м²/с;

β — коэффициент объемного расширения, 1/К; для идеальных газов
β = , а для капельных жидкостей ≈ ;

g — ускорение силы тяжести, м/с²;

w — скорость потока, м/с;

l — геометрический размер, м;

ρ — плотность среды, кг/м³.

При вычислении критериев за определяющий геометрический размер тела принимается тот линейный размер, который создает условия формирования пограничного слоя и, тем самым, предопределяет интенсивность теплообмена. Так при движении жидкости в круглых трубах определяющим размером является внутренний диаметр, а при поперечном обтекании — наружный диаметр. При движении в каналах произвольной формы за определяющий размер принимается эквивалентный диаметр:

,

где F — площадь поперечного сечения канала, м²;

P — периметр сечения, через который передается теплота («смоченный периметр»), м.

При свободной конвекции за определяющий размер принимается протяженность тела по высоте, а при нестационарной теплопроводности, например при двустороннем прогреве или охлаждении плит — половина толщины плиты.

Физические константы, входящие в критерии, зависят от температуры. Поэтому при обработке опытных данных необходимо выбрать определяющую температуру, к которой и относят все вычисляемые критерии. Такой температурой может быть температура стенки t_ст, температура потока t_пот, средняя температура пограничного слоя t_m. Индекс у критерия указывает на то, какая температура была принята за определяющую.

Определяемые критерии — это критерии, в которые входят искомые величины. При тепловом подобии искомое — коэффициент теплоотдачи α, а определяемым критерием будет критерий Нуссельта Nu. При гидромеханическом подобии искомой является величина перепада давления ∆p, а определяемым — критерий Эйлера.

Определяющие критерии — это критерии, составляемые целиком из независимых или постоянных величин, входящих в условия однозначности.

Зависимость между критериями представляется в виде критериальных уравнений.

Так для стационарных процессов гидромеханического и теплового подобий они запишутся в виде:

Eu= f(Re, Fr);

Nu= (Re, Gr, Pr).

Эти зависимости обычно представляют в виде степенных функций, например:

Nu = c Reⁿ Pr^m ,

где c, n, m — постоянные безразмерные числа.

В случае зависимости Nu = cReⁿ значения постоянных находят с помощью графического представления опытных данных в координатах ln Nu — ln Re. В логарифмической системе координат данное критериальное уравнение является уравнением прямой линии:

ln Nu = ln c +n ln Re.

Показатель степени «n» соответствует тангенсу угла наклона прямой к оси абцисс (рис 13-1), т.е. n = tgφ = а/b.

Рис. 13-1

Постоянная «с» определяется из уравнения:

lnc = ln Nu₁-n lnRe₁,

где: lnNu₁, lnRe₁ — снимаются с графика для любой точки, лежащей на прямой, на пример для точки 1.

В случае зависимости Nu= f(Re, Pr) на графике получается семейство прямых (см. рис. 13-2). Тогда по одной из прямых определяется показатель степени «n», а затем опытные данные представляют на новом графике в виде ln(Nu/Reⁿ) = f(ln Pr). Из этого графика определяют показатель степени «m» при критерии Pr, а затем по уравнению c = Nu/ (Reⁿ Pr^m) находят значение коэффициента «с».

Аналогичным путем можно получить и более сложные уравнения.

Пример. Стальная плита толщиной 2δ =200 мм нагревается в печи.

Определить распределение температур в плите через 3 ч после загрузки в печь. Коэффициенты теплопроводности, теплоотдачи и темпера-туропроводности, соответственно, равны λ = 40 Вт/(м×К),
α = 100 Вт/(м²×К), а = 1,2 10^-5 м²/с. Распределение температур в плите решено находить на модели, выполненной из легированной стали. Для модели λ_м = 20 Вт/(м×К), α_м = 160 Вт/(м²×К), а_м = 0,48 10^-5 м²/с.

Рис. 13-2

Определить толщину модельной плиты и интервал времени τ_м, через который необходимо начать измерения поля температур модели.

Решение. Считаем задачу одномерной, пренебрегая торцевыми потерями плиты. Подобие температурных полей плиты и модели будет иметь место при равенстве критериев подобия для плиты и модели:

Bi = Bi_м; Fo= Fo_м.

Поскольку нагрев осуществляется с обеих сторон равномерно, то за определяющий размер принимаем половину толщины плиты или модели.

Критерии Био и Фурье для плиты:

;

.

Из условия Bi = Bi_м находим толщину модели плиты:

м.

Из условия Fo =Fo_м находим искомый промежуток времени

Пример. Измерение расхода перегретого водяного пара в судовой паротурбинной установке производится по перепаду давлений до и после диафрагмы с концентрично расположенным цилиндрическим отверстием. Тарировка диафрагмы производилась по результатам испытаний на модели в ¼ натуральной величины, через которую пропускалась вода с температурой t_жм = 20 ^оС.

Значения перепадов давления на диафрагме при разных расходах воды приведены в таблице:

∆p, Па
G, кг/с	2,22	4,44	8,88	17,76	35,52

Найти зависимость G = f(∆p) для объекта в случае течения пара в автомодельной области, указать границы ее применимости. Давление пара p = 2,0 МПа, температура пара t_п = 300 ^оС, диаметр паропровода
d = 320 мм.

Решение. Обработку опытных данных произведем в критериях подобия, построив зависимость Eu = f(Re). Вследствие гидромеханического подобия явлений эта зависимость будет справедлива и для пара.

Критерий Эйлера определится из формулы:

Eu = .

Значение скорости воды найдем из выражения:

и тогда получим:

.

Аналогично получим выражение для критерия Рейнольдса:

.

Физические параметры воды при 20 ^оС: ρ_м = 998 кг/м³,
ν_м=1,006^.10^-6 м²/с, а диаметр модели

d_м = м.

Подставив известные значения, получим следующие выражения:

;

.

Используя полученные выражения и данные тарировки модели, рассчитаем величины критериев, а результаты поместим в таблицу:

∆pм, Па	Gм, кг/с	wм, м/с	Eu	Re
	2,22	0,443	2,44
	4,44	0,886	1,50
	8,88	1,772	1,44
	17,76	3,544	1,44
	35,52	7,086	1,44

Из таблицы (то же из графика) видно, что при Re > 1,42^.10⁵ критерий Eu не зависит от критерия Re (автомодельная область). Следовательно, и при течении пара на объекте при Re > 1,42^.10⁵ критерий Эйлера будет равен Eu = 1,44.

Тогда зависимость перепада давлений от расхода пара в трубопроводе может быть определена как: ∆p = Eu×ρw² = или, выразив скорость через расход (G, кг/с), получим:

.

При p = 2,0 МПа и t_п = 300 ^оС удельный объем v = 0,1255 м³/кг, откуда

при Re > 1,42^.10⁵.

Искомая зависимость запишется в виде:

G = 3600(∆p/280)^0,5= 215∆p^0,5, кг/ч.

Пример. При изучении теплообмена в судовом котельном воздухоподогревателе коэффициент теплоотдачи при течении в трубах определялся на модели с d_вн = 16 мм. Для различных скоростей воздуха были получены следующие значения коэффициенты теплоотдачи:

w, м/с	1,5	3,0	6,0	9,0
α, Вт/(м^2×К)	37,4	60,8	97,5	129,5

Средняя температура воздуха, продуваемого через модель, составила t_пот= = 20 ^оС. Найти формулу для расчета теплоотдачи конвекцией в виде зависимости Nu_пот = f(Re_пот).

Решение. В качестве определяющей принимаем температуру потока и требуемую зависимость ищем в виде Nu_пот = c Re_потⁿ.

При t_пот = 20 ^оС находим для воздуха λ_пот = 0,026 Вт/(м К) и
ν_пот = 15,06^.10^-6 м²/с. Подсчитав величины критериев

Nu_пот= и Re_пот= ,

результаты сведем в таблицу:

w, м/с	a, Вт/(м^2×К)	Re	lnRe	Nu	lnNu
1,5	37,4	1592	7,36	23,1	3,14
3,0	60,8	3184	8,05	37,4	3,61
6,0	97,5	6370	8,75	60,0	4,09
9,0	129,5	9550	9,16	79,7	4,38

По этим данным строим зависимость Nu = f(Re) в логарифмической системе координат (рис. 13-1). Экспериментальные точки аппроксимируем прямой линией, т.к. зависимость lnNu_пот = с + nlnRe_пот есть уравнение прямой в выбранной системе координат.

По тангенсу угла наклона прямой определяем показатель степени

.

Постоянная «с» находится из соотношения:

.

Получаем расчетную формулу:

Nu_пот= 0,15 Re_пот^0,685,

которая справедлива в пределах 1592 < Re_пот <9550.

ЗАДАЧИ

13-1. Для ремонта погнутого стального баллера руля диаметром 300 мм необходимо его предварительно нагреть в печи, а затем определить распределение температур через τ = 2 ч после загрузки в печь.

Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала баллера, соответственно, равны λ_ст= 48 Вт/(м×К) и а_ст =1,1^.10^-5 м²/с. Коэффициент теплоотдачи к баллеру в печи α = 110 Вт/(м²×К).

Распределение температур решено исследовать на геометрически подобной модели, выполненной из легированной стали. Для материала модели λ_м = 15 Вт/(м×К), а_м = 0,48^.10^-5, α_м = 175 Вт/(м² К).

Определить диаметр d_м модели баллера и промежуток времени, через который после загрузки модели в печь необходимо будет измерить распределение температур в модели.

Ответ: d_м= 59 мм; τ_м= 638 с.

13-2. Определить диаметр модели баллера d_м и необходимое значение коэффициента теплоотдачи α_м, при которых в условиях предыдущего задания подобие температурных полей наступит через τ= 25 мин после загрузки модели в печь.

Ответ: d_м= 90 мм; α_м= 114,5 Вт/(м²×К).

13-3. Время прогрева стенки камеры сгорания судовой газотурбинной установки определялось на геометрически подобной модели. Толщина стенки камеры сгорания 2 мм, стенка с одной стороны теплоизолирована. Коэффициенты теплопроводности, температуропроводности стенки и теплоотдачи от газов к стенке равны соответственно λ_ст = 17 Вт/(м×К),
а_ст = 0,5^.10^-5 м²/с, α = 250 Вт/(м²×К). Аналогичные коэффициенты для модели равны: λ_м = 30 Вт/(м×К), а_м = 1,78 ^. 10^-5 м²/с, α_м = 110 Вт/(м²×К). Определить толщину стенки модели камеры сгорания, а также время прогрева стенки натурной камеры, если время прогрева стенки модели составило τ_м = 4,5 мин.

Ответ: δ_м = 8 мм; τ = 60 с.

13-4. Для условий предыдущего задания определить время прогрева стенки камеры сгорания, если время прогрева стенки модели камеры составляет τ_м= 6 мин, а толщина стенки модели δ_м = 10 мм. Определить также необходимые условия организации испытаний — коэффициент теплоотдачи от газов к стенке модели — α_м.

Ответ: τ = 51,4 мин; α_м= 88,2 Вт/(м²×К).

13-5. В межтрубном пространстве маслоохладителя судового ДВС протекаетмасло со средней скоростью пространстве w = 0,2 м/с при средней температуре t = 60 ^оС. Гидравлическое сопротивление маслоохладителя определялось на модели с размерами в 5 раз меньше натуральной величины, в которой протекал воздух при температуре
t_м = 20 ^оС. Гидравлическое сопротивление модели ∆p = 230 Па. Определить среднюю скорость воздуха в модели и гидравлическое сопротивление маслоохладителя. Плотность и кинематическая вязкость масла при t = 60 ^оС равны ρ = 870 кг/м³ и ν = 91,9^.10^-6 м²/с.

Ответ: w_возд = 0,164 м/с; ∆p = 270 кПа.

13-6. На воздушной модели регенератора судовой газотурбинной установки производилось изучение теплоотдачи конвенцией. При различных скоростях воздуха были получены следующие значения коэффициентов теплоотдачи:

wм, м/с	2,0	3,14	4,65	8,8
αм, Вт/(м^2×К)	50,4	68,6	90,4	141

Средняя температура воздуха, проходящего через модель, t_м = 20 ^оС. Диаметр трубок модели d_м = 12,5 мм. Представить опытные данные в виде критериального уравнения Nu = f(Re).

Ответ: Nu_пот = 0,15Re_пот^0,685 при 1600 < Re < 7300.

13-7. Исследование тепловых потерь с поверхности горизонтального паропровода судовой паротурбинной установки в условиях естественной конвекции производилось на лабораторной установке, горизонтальная труба которой имеет диаметр d = 50 мм.

При различных температурах стенки трубы были получены следующие коэффициенты теплоотдачи:

tст, ^оС	60	80	120	180
α, Вт/(м^2×К)	7,4	8,1	8,95	9,95

Температура окружающего воздуха t_пот = 20 ^оС. Найти обобщенную зависимость для расчета теплоотдачи в условиях естественной конвекции, приняв в качестве определяющей температуру пограничного слоя. Зависимость искать в виде Nu_m= f(Gr, Pr).

Ответ: Nu_m = 0,54(Gr_m×Pr_m)^0,25 при 3,82×10⁵ < (Gr_m×Pr_m) < 6,8×10⁵.

13-8. Для условий предыдущего задания найти обобщенную зависимость, приняв в качестве определяющей температуры t_пот = 20 ^оС.

13-9. Изучение теплообмена конвекцией в трубах котельного воздухонагревателя производилось на лабораторной установке при движении воздуха в прямоугольном канале сечением 15×30 мм. Опыты производились при различных температурах и скоростях движения воздуха. При этом были получены следующие значения коэффициента теплоотдачи:

tпот = 0,5(t¢ + t¢¢)	10	60	70	80
w, м/с	8	10	15	20
α, Вт/(м^2×К)	37	43	58	72

Найти обобщенную зависимость для расчета теплоотдачи при вынужденной конвекции, приняв в качестве определяющей среднюю температуру потока воздуха t_пот.

Учитывая, что критерий Pr для воздуха практически не зависит от температуры, критериальное уравнение искать в виде Nu = f(Re).

Ответ: Nu_пот = 0,018Re_пот^0,8 при 9400 < Re < 19000.

13-10. Для ускорения разгрузки танкера производится предварительный подогрев вязких нефтепродуктов. Изучение процесса подогрева масла МС-20 в условиях естественной конвекции производилось на лабораторной установке с горизонтальной трубой диаметром 20 мм при различных температурах стенки трубы. При этом были получены следующие значения коэффициентов теплоотдачи:

tст, ^оС	60	100	120
α, Вт/(м^2×К)	63	94	117

Температура масла вдали от трубы t_пот = 20 ^оС. Найти обобщенную зависимость для расчета теплоотдачи в условиях естественной конвекции, принимая за определяющую среднюю температуру пограничного слоя.

Ответ: Nu_т = 0,54(Gr_mPr_т)^0,25 при 1,08×10⁵ < (Gr_mPr_т) < 2,39×10⁶.

13-11. Теплообмен в судовом подогревателе топлива исследовался на лабораторной установке, в которой воздухом производилось поперечное омывание одиночного цилиндра диаметром d = 20 мм. Температура воздуха оставалась неизменной t_пот = 20 ^оС. Значения коэффициентов теплоотдачи, полученные при различных скоростях набегающего потока, приведены в таблице:

w, м/с	2,0	5,0	10,0	20,0
α, Вт/(м^2×К)	31,2	55,6	83,4	123,0

Найти обобщенную зависимость для теплоотдачи конвекцией при поперечном омывании одиночной трубы.

Ответ: Nu_пот = 0,18Re_пот^0,62 при 2660 < Re < 26600.

13-12. Воздушный холодильник, устанавливаемый после турбонагнетателя на судовом дизеле, имеет коридорное расположение труб. Изучение теплоотдачи конвекцией при обтекании пучка труб воздухом производилось на модели, диаметр труб которой составлял
d = 6 мм. При различных скоростях воздуха получены следующие коэффициенты теплоотдачи:

w, м/с	3	5	10	20
α, Вт/(м^2×К	57	82	126	193
tпот= 0,5(tвх + tвых)	20	40	60	70

Поскольку для воздуха критерий Pr практически не зависит от температуры, обобщенную зависимость для теплоотдачи конвекцией при поперечном омывании коридорного пучка труб найти в виде Nu = f(Re).

Ответ: Nu_пот = 0,166Re_пот^0,64.

13-13. Найти обобщенную зависимость для теплоотдачи конвекцией при поперечном омывании шахматного пучка труб, если при испытании модели воздушного холодильника с шахматным расположением труб получены следующие результаты:

w, м/с	3	5	10	20
tпот, ^оС	20	40	60	70
α, Вт/(м^2×К	63,5	88	132	198

Остальные условия аналогичны предыдущей задаче.

Ответ: Nu_пот = 0,243Re_пот^0,6 при 1138 < Re < 8000.

Дата добавления: 2015-11-30