Читайте также:
|
Мы рассматриваем двумерный океан как показано в Рис. 1, состоящем из двух жидких областей Dt и D2 ограниченный выше свободным поверхностным Sf, ниже твердой граничной Сурьмой и связывающемся в жидко-жидком интерфейсе Св., Обе жидких области неограниченны в направлении x распространения волны. Верхние и более низкие жидкости имеют удельные веса pj и p2, соответственно, и гравитационно устойчивы (p^ <p2). Первоначально, эти две жидкости в покое с однородными глубинами A, и h2. Впоследствии (t> 0), твердой граничной Сурьме разрешают переместиться в предписанную манеру, данную y = -h2 + я (x, t), где я (x, t) дан (1). Получающееся движение свободной поверхности T? я (x, r) и интерфейс r) 2 (x, t) требуюсь. Так как оба движения, вероятно, линейны для цунами опытного образца, (линейное) описание первого порядка движения используется с самого начала.
(4a) (4b)
Принимая жидкости в каждой области быть несжимаемым и их безвихревое движение, скоростные потенциалы <j> 1 (x, y, t) и 4> 2 {x, y, t), существуют для D1 и D2, соответственно. Сохранение массы требует
V24>! = 0 в £>!, V2 </> 2 =0 в D2,
где V2 - оператор Laplacian. Предполагая, что жидкости находятся в вязком, кинематические граничные условия в каждой поверхности
(6a)
</> я, + gVi = 0 на y = hu
(Гидростатическое давление p^ghi было адсорбировано в <f> t.) Непрерывность давления через Св. требует
<K + gV2 = - (4> я, + gTh) на y = 0. (6b) Pt
Кинематическое условие в твердой границе
4> 2b = это на y = -h^\ (7)
где предполагается, что движение твердой границы не затронуто жидким движением.
Объединение кинематических и динамических граничных условий в 5/и 5; урожаи
<Ай„ + г <t> ia = 0 на y = hu (8)
4> 2„ + г <k, = - W \(+ г <kx) на y = 0. (9) Пи
Используя лапласовское преобразование в t и Фурье преобразовывают в x, Eqs. (4), (8), (9) и (7) становятся
4> lyy - *a0, = 0 в Dlt (10a)
j> 2 м. - k*4> 2 = 0 в D2, (10b)
s2^ + g$ly = 0 на y = hu (10c)
s2k+gK = - (**&' + *&„) на y = 0, (Лод)
P2
#2] / = си на y = -h2, (lOe), где тильда функции f {x, t), указывает
f (k, s) = f дуплекс f eikxe~stf {x, t) dt. (11)
Функция / (x, 0 восстановлен от (11), инвертируя лапласовское и Фурье, преобразовывает, то есть,
dk
2tt
ikxestf {k, s) ds
, (12)
] rn+ir
lim-------------- e ~
j-»«JM_ir на 2 м.
использование сложного интеграла инверсии для лапласовского преобразования. Преобразованные поверхностные и граничные волны
s
Th = - - 0! на y = ht, (13a)
г
</>!„ = Вай, на y = hu 4> 2„ = 172, на y = 0.
(5a) V2 =------ [{pJpiHi - <jy на y = 0. (13b)
K ' eg
(5b) Решение (10a, b) урожаи
Дальнейшей энергией поверхности пренебрежения в 5/, условие для постоянства давления через и вдоль свободной поверхности
^\(k, y, s) = Топор cosh&y + A2 sinhky, (14a) <j> 2 (k, y, s) = A3 cosh&y + A4 sinhty, (14b)
Сентябрь 1980 ДЖОЗЕФ L. HAMMACK 1459
(15a) (15b)
и коэффициенты A; = В (k, s) с / = 1, 4 найдены от Eqs. (10c) - (10e), чтобы быть
- £s3
Ай =
9 k coshkh2 s3l
(16b)
is4
Наконец, - преобразовал свободные поверхностные и внутренние волны, как, находят, от (13)
Вай =
6 coshkhi cosM/i2
Я
(17a)
V2
[s4 + s2gkT!]. (17b)
sinkb
6 coshkh2 преобразование движения кровати, данного (1),
&k,s) = 2 0£
s (s + a)
Занимая место (18) в (17), выполняя интеграцию вокруг контура Bromwich, принимая только реальное участие и отмечая, что подынтегральные выражения - даже функции k, свободные поверхностные и граничные волны, как находят,
_ w2.
(20f)
i> 6 = cosco2f "Я--- sinw2?,
a
и <w, 2 (/= 1, 2) корни отношения дисперсии
gkiT, + T2W
+ e {gkfTJ2
(я + r1r2p1/p2) a) 4
0, (21)
данный
(22)
w2,2 = греческий
(7\+ T2) ± [(7\ + T2f - 4e (l + TJipJfHiTJzVi*
2 (1 + r1r2Pl/p2)
(Отметьте, что co = - находится в вышеупомянутом анализе.) Eq. (21) известно за системы с двумя слоями с <a2 соответствие баротропным способам и w22, соответствующему baroclinic способам (см., например, Лэмба, 1932, p. 372).
Хотя решения для интеграла Фурье, данные (19), алгебраически сложны, и структуру волны трудно видеть, легко показано, что эти решения содержат более знакомые результаты. Например, в пределе Boussinesq небольших различий в плотности (e -» 0) мы находим
io
7} =
coskx sinkb (a2 k cosM/z \a2 4-to2
""' - coswt ----------- sinwf \dk, (23)
dk, (19b)
(20a) (20b)
i) я {x, t) =
V2 (x, t)
0> я / + ll-^Iil^s
u> 2
B1
-2 0£ sinkb coskx TTk [\+ (pJtoyrjd
B2 =
_______ a4________
(a2 +«! 2) (a2 + w22)
(24)
Wi2 ~ w2 = греческий tanM/i,
где rj - решение, найденное Hammack (1973) для баротропного океана. Следовательно, поверхностные волны в системе с двумя слоями не затронуты стратификацией в пределе Boussinesq. Так как различия в плотности являются типично небольшими для океанов (e = 0.002), предыдущие результаты для поверхностных волн в баротропном океане применимы к ведущему заказу.
Также полезно приблизить определенные свойства внутренних и поверхностных волн для длинных способов, таким образом что
e = ^L = 0 (khx) = 0 {kh2) < l. (25)
p2
При этих условиях известные скорости фазы поверхностных и внутренних волн найдены [от Eq. (22)], чтобы быть, соответственно,
1460 ЖУРНАЛ ФИЗИЧЕСКОЙ ОКЕАНОГРАФИИ Том 10
t (g/h)"
Рис. 2. Теоретическая волна представляет в x = b = 61 см для e = 0.05 и h =
(----) свободные поверхностные волны (весь h, люфтганза); пунктирные кривые представляют внутренний
(----) h,/h = 2/3; (----------) hjh = 1/2; (------------) h,/h = 1/3; (...........)
t, = 0.1, t2 = 0.01; (b) t, = 5.2, t2 = 0.5.
15 см:
волны: N2. (a)
, (26a)
l-e^ + O^)
C, 2 = (of/k2 = gh
hth2
САЙ = co/Zk2 = ge-^- [1 + 0 (e2)]. (26b)
h
Значительная разница в скоростях фазы для этих длинных волн, C2ICX = 0 (e "2), предполагает, что даже при том, что поверхностные и внутренние волны накладываются пространственно около области поколения, они отделятся быстро, и у нелинейных взаимодействий между этими двумя системами не будет времени, чтобы стать существенными.
В дополнение к скоростям фазы это имеет также интерес исследовать амплитуду движения, вызванного каждой системой волны в противоположном интерфейсе. После Keulegan (1953), анализ нормальных колебаний предлагает это
j82 =-p/VI, (27a)
h
(27b)
h
где/32 - двойное движение интерфейса из-за волны Nx в свободной поверхности и/^ является двойным движением свободной поверхности из-за внутренней волны N2. Здесь, волны N, и N2 представляют независимые способы в свободной поверхности и интерфейсе, соответственно. (Отметьте, что Nt = tji и N2 = 172, когда поверхностные и внутренние волны не накладываются пространственно.) Движение/32 является баротропным и существовало бы в местоположении интерфейса, даже если жидкость не была стратифицирована.
Чтобы видеть структуру волны в (19), числовые решения в x = b и для баротропного и для волны baro-клиники, размножающиеся из исходной области, показывают в Рис. 2. Результаты представлены для импульсивного ответа в свободной поверхности и интерфейсе (Рис. 2a) и для импульсивного граничного ответа с ползающим свободным поверхностным ответом (Рис. 2b). Величины безразмерных параметров поколения, используемых в вычислениях для Рис. 2a, выбраны, чтобы быть асимптотически представительными для явлений опытного образца; размерные количества соответствуют экспериментам, которые будут обсуждены в Разделе 5.
Как ожидалось поверхностные волны, кажется, не меняются в зависимости от отношения глубины слоя в Рис. 2. Фактически эти результаты идентичны тем для гомогенного океана, вычисленного (23) за исключением маленького остаточного понижения водного уровня, который сохраняется до внутренних проходов волны. Нужно подчеркнуть, что поверхностные и внутренние волны накладываются пространственно в регионе поколения; следовательно, эти результаты представляют линейную комбинацию обоих независимый политик (A0 и вызванные движения (/3) в интерфейсе и свободной поверхности. Остаточное понижение свободной поверхности - O (e), движение j8j [см. Eq. (27b)] вызванный внутренней волной. Фактически, это вызванное движение отличается для каждого отношения глубины; однако, небольшие различия не discernable в масштабе числа. Воздействие поверхностной волны в интерфейсе,/32, является более явным и ясно очевидным в Рис. 2a. Это вызванное движение легко оценено от (27a) использование свободного поверхностного решения [так как Ni = r] l + O (e)]. Когда/3r устранен из внутренних вычислений волны, результатов N2 и также показан в Рис. 2a. Ведущие волны независимого политика
Сентябрь 1980
ДЖОЗЕФ L. HAMMACK
Рис. 3. Теоретическое изменение максимальных амплитуд волны с исходным размером измеряет blh в x = b для импульсивного ответа: (твердая линия), ('Vi^ax/^; расплющенная линия,
• (30)
внутренние и поверхностные способы подобны постоянной деформации морского дна. Максимальная амплитуда поверхностной волны - половина подъема морского дна, то есть, (Ni) max = £0/2, как найдено ранее для гомогенного океана. Максимальная амплитуда независимых внутренних волн (N2) max для этих импульсивных движений, кажется, меняется в зависимости от отношения глубины слоя согласно
(N2)„
(AitfOWUx = iU2) (hJh). (28)
Этот важный результат и дальнейшее разъяснение влияний, оказанных, изменяя размер, измеряют blh, так же как относительная толщина верхнего слоя может быть установлена в следующей манере. Ограничивая внимание к (математически) импульсивным движениям кровати, начальная буква (t = 0 +) амплитуды at* = b могут быть оценены в закрытой форме, чтобы уступить в пределе Boussinesq
t, (b, 0 +) = - arctan f tanh - - я, (29)
tt \ 2 h
*h (М. +)
- arctan sinh (7rfe//i)/cosl---- -
Результат для поверхностной волны (29) идентичен этому для гомогенного океана (Продает, 1965), и ясно показывает что tjj ~ Nj ~ ij ~ £0/2 для b/h> 1. Eqs. (29) и (30) показаны в Рис. 3 как функция blh и hjh. [Отметьте, что (29) и (30) эквивалентны когда hjh - * 0.] Результаты для внутренней волны идентичны поверхностной волне для b/h > 1 независимо от отношения глубины слоя. Для blh < 1,
N2 (6,0 +) = я»
TT
внутренняя амплитуда волны превышает это в свободной поверхности как hjh увеличения (например, hjh > 0.25). Во всех случаях амплитуды становятся обратно пропорционально пропорциональными масштабу размера как b/h уменьшения. Замечание, что N2 (b, 0 +) = 7j2 (Z>, 0 +)-/32 (М. +), где/32 дан (27a), Eqs. (29) и (30) может использоваться, чтобы определить поведение внутреннего способа с масштабом размера; результат
arctan
sinh (7rb/h)
TT hx
ПОТОМУ ЧТО (
2 h
TT b
~2~h
(31)
tanh (
2 - | arctan h
Для blh > 1, Eq. (31) урожаи, в закрытой форме, числовые результаты, найденные ранее для внутренней амплитуды волны, данной (28). Следовательно, даже при том, что свободная поверхность и интерфейс сняты (понизил) то же самое количество импульсивным движением кровати с blh> 1, часть потенциальной энергии, полученной в интерфейсе, связана с баротропным движением/32-Следовательно, амплитуда внутренней волны - меньше (фактором hjh) чем та из поверхностной волны, где вся полученная потенциальная энергия, к O (e), доступна баротропному способу.
5. Экспериментальное оборудование и процедура
Ряд экспериментов проводился в лабораторном резервуаре волны, который приблизительно 32 м. длиной, 60 см глубиной и 40 см шириной. Резервуар оборудован
1462 ЖУРНАЛ ФИЗИЧЕСКОЙ ОКЕАНОГРАФИИ Том 10
Рис. 4. Экспериментальная плотность представляет для футов, = 5 см и ft2 = 10 см: линия с открытыми кругами, начальным профилем; линия с закрытыми кругами, заключительным профилем, (a) x = b, Площадь = 205 минут; (b) x = b + 120/; В = 185 минут 5, указывает на возвышение Наблюдаемого (окрашенного) интерфейса.
в одной оконечности с генератором волны, состоящим из подвижной секции кровати (поршень), историей смещения времени которого управляет система электро-гидравлического сервомотора. Генератор волны может точно смоделировать движение кровати, описанное (1). И генератор волны и резервуар были описаны подробно Hammack (1972).
Чтобы смоделировать стратификацию плотности Рис. 1, пресноводный и морская вода используются. Смешиваемость этих жидкостей производит конечную pycnocline толщину 8; таким образом эта стратификация обеспечивает лучший тест модели с двумя слоями как полезное приближение для тонких pycnocline областей. Резервуар стратифицирован первым представлением слоя пресноводных с глубиной hx. Морская вода тогда введена ниже пресноводного в портах, распределенных вдоль кровати резервуара, пока полная глубина h не достигнута. Объем резервуара имел обыкновение смешиваться, морская вода ограничивает глубину h2 максимумом 10 см. Для экспериментов, представленных здесь, полная глубина h установлена в 15 см, в то время как в зависимости от глубины морской воды меняются в зависимости от h2 = 5, 7.5 и 10 см. Различие в плотности - 5 % используется во всех экспериментах. Это различие - suf: ficiently, большой, чтобы обеспечить стабильность стратификации во время заполнения все же достаточно маленький, чтобы обеспечить соответствующий тест аналитических результатов, основанных на небольших различиях в плотности. Длина b подвижной секции кровати является постоянной (61 см) для всех экспериментов. Следовательно, экспериментальный масштаб размера, blh = 4.07, является достаточно большим для результатов быть типичным для tsunamigenic случая. Стратификации плотности измерены, используя исследование проводимости в двух местоположениях прежде и после каждого ряда экспериментов; типичные результаты представлены в Рис. 4 где hx = 5 см
и h2 = 10 см. Подобие начальных стратификаций в обоих местоположениях демонстрирует однородность этой стратификации вдоль резервуара волны. Толщина 8 для pycnocline области вычислена основанная на определении
8 =
(32)
\dy /max
приведение к начальным значениям 80 = 0.9 и 1.0 см и заключительным ценностям 8X = 2.1 и 1.8 см для вверх по течению и расположенные вниз по течению положения, соответственно. Фактические стратификации качественно подобны теоретическим решениям уравнения распространения для начального профиля плотности с простой неоднородностью на одном уровне. Используя это решение {p = p, + Ap erfc [v/ (4Dt) v '2]} с начальной неоднородностью, происходящей в y = 0, характерная толщина 8 определенный (32) связана с коэффициентом распространения D
(33)
8 = (4irDt) l':
1/(Св.) 2 - (Так) 2
Следовательно, очевидный коэффициент распространения может быть вычислен для временного интервала экспериментов
(34)
D =
В
4lT
Очевидные коэффициенты распространения для измерений Рис. 4 - D = 2.3 x 10~5 cm2 s_1 во вверх по течению положение и D = 1.7 x 10~5cm2 s^atthe расположенное вниз по течению положение. Более интенсивное смешивание в x = b следует из потери вихря на краю секции кровати во время ее движения (см. Hammack, 1972). Смешивание интерфейса в этом положении было визуально обнаружено, добавляя синюю краску к
Сентябрь 1980
ДЖОЗЕФ L. HAMMACK
B
*1
*1.
A
A-J
Лазерный fo^g£ (fo> ^j ||
J
См см ^24^22^
B
Секция
A-A B-B
_ Поперечное сечение луча
Я мм
Мм |24.5cm
-Jl ~
Стеклянные Боковые стены
Я
.stS
Сигнал в Рекордер
Интерфейс?! Морская вода Pyed
ИК 10 Фотодиодов J
Wf/t/fiH/mm
crrr
Фокусное расстояние
| Линза | (см) |
| 22.2 | |
Рис. 5. Схематический рисунок внутреннего датчика волны.
морская вода. В расположенном вниз по течению положении очевидный коэффициент распространения только немного больше чем молекулярный коэффициент распространения (D„, = 1.5 x 10~5 cm2 s_1) для соли в воде. Следовательно, постричь слой, развитый во время прохода внутренних волн, является пластинчатым и не смешивает жидкостей заметно. Каждый ряд экспериментов был остановлен, когда граничная толщина в x = b достигла ~2 см.
Чтобы количественно измерить внутренние волны, система датчика лазерной оптики используется. Схематический рисунок внутреннего датчика волны показывают в Рис. 5. Луч света от неонового гелием газового лазера (длина волны = 632.8 нм с продукцией на 0.5 мВт) выровнен перпендикуляр к стеклянным боковым стенам резервуара волны. Система цилиндрических линз преобразовывает круглый луч в лист света с постоянным вертикальным измерением 4.5 см, которое направлено горизонтально через резервуар волны. После пересечения резервуара свет сосредоточен на фотодиод, который обеспечивает выходное напряжение, пропорциональное интенсивности падающего света. Умирая при темно-синей морской воде и при разрешении интерфейса перехватить легкий лист, когда жидкости - неподвижные, последующие движения интерфейса, вызывают изменения в выходном сигнале фотодиода, которые показаны на рекордере осциллографа. Нужно отметить, что окрашенный интерфейс, замеченный внутренним датчиком волны, появляется в верхней области разбросанного интерфейса солености как обозначено в Рис. 4. Лазер, оптика и система датчика установлены на непрерывной структуре, сформированной в перевернутом U по резервуару волны; следовательно, датчик волны калиброван, поднимая и понижая структуру, отличающуюся количество во время неподвижного жидкого условия. Кривые калибровки неотъемлемо нелинейны для этой системы измерения. Внутренние волны с максимальными высотами <4.5
см легко измерен; однако, движений большой амплитуды вообще избегают во время измерений волны в x = b из-за вызванного вихрем смешивания в положении. Вихрь производит высокочастотный сигнал в фотодиоде, который суперизложен на сигнале, соответствующем внутренней волне. Кроме того, второстепенный сигнал для неподвижных условий может измениться заметно прежде и после эксперимента. Поверхностные волны с помощью электроники зарегистрированы, используя обычные параллельно-проводные исследования сопротивления и рекордер осциллографа.
Дата добавления: 2015-11-30; просмотров: 22 | Нарушение авторских прав