Очевидно, что если в последовательные моменты времени

t ₀, t ₀ + 1,..., t ₀ + k,...

на вход автомата A поступают символы a _{i 1},..., a _{i k}, то с помощью уравнений (1) - (3) можно определить последовательность символов на выходе автомата в процессе переработки указанных входных символов, а также последовательность состояний автомата в процессе работы.

ФУНКЦИИ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ

Пусть A = { a ₁,..., a _m } - некоторый алфавит. Словом в этом алфавите называется всякая конечная последовательность: a _{i 1},..., a _ik, все элементы которой являются символами из A.

Введем в рассмотрение пустое слово, которое не содержит символов, и обозначается как L.

Длиной произвольного слова называется количество символов в нем. Длина произвольного слова обозначается как | |.

Для обозначения множества слов в алфавите A применяется обозначение A ^*.

Пусть , Î A ^*. Тогда запись обозначает слово, получаемое последовательным выписыванием сначала символов слова , а затем символов . Слово называется сцеплением слов и .

Если Â = (A, B, Q, j, y) - это некоторый автомат, то всякое слово A ^* называется входным словом для Â.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть A и B являются алфавитами. Тогда отображение f: A ^* ® B ^* называется словарной функцией.

Возьмем произвольное непустое входное слово = a _{i 1},..., a _ik. Пусть в начальный момент времени t ₀ автомат Â находится в состоянии q_r и в моменты времени t ₀, t ₀+ 1,..., t ₀+ k - 1 на его вход поступают символы a _{i 1},..., a _{i k}.

В процессе работы автомата в эти же моменты времени на выходе Â появляются символы выходного алфавита b _{j 1},..., b _{j k}, образующие слово , которое называется выходным словом автомата.

Будем говорить, что Â из начального состояния q_r перерабатывает слово в слово .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Словарная функция f: A ^* B ^* вычисляется автоматом Â = (A, B, Q, j, y) из начального состояния q_r, если для любого слова A ^* выполняется соотношение:

" Î A ^* (f () = Û Â из начального состояния q_r перерабатывает в ).

Для функции, которая вычисляется автоматом Â из состояния q_r, применяется обозначение .

Пример. Рассмотрим словарную функцию f: A ^* ® B ^*, где A = { a, b }, B = { a, b }, которая заменяет в произвольном входном слове A ^* каждое третье вхождение символа b на символ a, а все остальные символы входного слова функция оставляет без изменения.

Диаграмма переходов автомата, который из начального состояния q ₀ вычисляет эту функцию, приведена на рис. 7.2.

b (b)

q ₀ q ₁

a (a) a (a)

b (a) b (b)

a (a) q ₂

Рис. 7.2

Уточним понятие функций, вычисляемых конечными автоматами, для числовых функций.

Пусть входным и выходным алфавитами автомата является множество { 0, 1 }. Тогда входные и выходные слова этого автомата можно интерпретировать как двоичные записи целых неотрицательных чисел в двоичной системе. Возможно, что такие записи имеют незначащие нули.

Для конечных автоматов естественно подавать на вход записи чисел в двоичной системе справа налево, поскольку многие традиционные схемы арифметических вычислений предполагают обработку цифр записей чисел, начиная с младших разрядов записей чисел.

Поскольку входные слова конечных автоматов, в том числе и такие, которые представляют числа, по определению поступают на вход автоматов в противоположном порядке, то будем представлять числа, подаваемые на входы автоматов в виде слов, являющихся инвертированными записями таких чисел.

Пусть n - произвольное целое неотрицательное число. Обозначим как - всякую инвертированную двоичную запись этого числа, в которой допускается существование незначащих нулей.

Незначащие нули приходится использовать из-за того, что реальные арифметические функции могут отображать числа одной длины в числа, записи которых имеют другую длину (большую или меньшую). Поскольку длины входных слов и выходных слов автоматов всегда совпадают, то в дальнейшем двоичные числа всегда будут представляться с точности до необходимого числа незначащих нулей в них, что позволяет вычислять числовые функции с помощью автоматов и тогда, когда длина записи числа результата больше длины числа, исходного данного.

Если числовая функция f отображает N^k в N, то всякий набор чисел, принадлежащий области определения этой функции, будем представлять словом, символами которого являются последовательности значений одноименных разрядов чисел этого набора.

Пусть n ₁,..., n _k это числа из N, представленные записями равной длины, получаемыми добавлением произвольного количества незначащих нулей.

Запись обозначает слово в алфавите
{ 0, 1 } ^k, первый символ которого представляет значения самого младшего разряда всех чисел n ₁,..., n _k, второй - значения следующего разряда этих чисел и так далее. Заметим, что { 0, 1 } ^k это все k -символьные последовательности из нулей и единиц.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Числовая функция f: N^k ® N вычисляется конечным автоматом Â из состояния q_r, если:

" n ₁,..., n _k Î N (f (n ₁,..., n _k) = m Û = ).

Для числовых функций, вычисляемых автоматами, будем использовать те же обозначения, что и для словарных функций: .

Пример. На рис. 7.3 изображена диаграмма переходов автомата, который из начального состояния q ₀ вычисляет функцию f (x) = 2 x.

1 (0)

0 (0) q ₀ q ₁ 1 (1)

0 (1)

Рис. 7.3

При этом достаточно достаточно потребовать, чтобы входное слово, представляющее произвольное число, всегда имело один незначащий нуль.

Последнее предположение требуется для того, чтобы длина результата равнялась длине входного слова.

Состояния q ₀ и q ₁ приведенного автомата необходимы для запоминания значения переноса в старший разряд при поразрядном умножении входного числа на 2.

На диаграммах автоматов наборы значений одноименных разрядов чисел n ₁,..., n _k будем представлять горизонтальными последовательностями.

Пример. На рис. 7.4 изображена диаграмма переходов автомата, который из начального состояния q ₀ вычисляет функцию f (x, y) = 2x + y.

Входным алфавитом этого автоматаявляется множество: { 00, 01, 10, 11 }.

01 (1) 10 (0) 01 (0)

q ₀ q₁ 10 (1)

00 (0) 00 (1)

11 (1)

11 (0) 00 (0)

q ₂ 01 (1)

10 (0), 11 (1) Рис. 7.4

Состояния q ₀, q ₁ и q ₂ приведенного автомата соответствуют запоминанию значений переноса в старшие разряды значений 0, 1 и 10. В последнем случае имеет место перенос в два последующих разряда входных чисел: в первый из последующих разрядов ничего не добавляется, а во второй добавляется 1.

ТЕОРЕМА 7. 1

Множество функций, вычисляемых конечными автоматами, замкнуто относительно операции суперпозиции.

Доказательство

Пусть f: A ^* ® B ^* и g: B ^* ® C ^* - словарные функции, вычисляемые автоматами Â и Á из состояний и соответственно.

Рассмотрим устройство, получаемое подключением выхода автомата Â к входу автомата Á, как это изображено на рис. 7.5

 Á

C

Рис. 7.5

Это устройство называется суперпозицией автоматов Â и Á. Входным и выходным алфавитами автомата C являются множества A и C. Множество состояний автомата C состоит из всевозможных пар (, ), где - состояние Â, а - состояние Á. Работа автомата C в каждый момент времени связана с переработкой очередного входного символа a Î A из текущего состояния (, ), при котором сначала автомат Â перерабатывает a во входной символ автомата Á, который перерабатывает его в выходной символ, автомата C. Измененение состояния C состоит в изменении состояний Â и Á под действием входных символов автоматов Â и Á.

Тогда C является автоматом, который вычисляет функцию g f из начального состояния (, ).

Дата добавления: 2015-11-30