Атом водорода по квантовой механике. Понятие о кв. числах

Результаты в квантовой механике получены без привлечения постулатов Бора. Решение задачи в этом случае сводится к рассмотрению движения электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

(8.1), где r - расстояние между электроном и ядром.

Потенц.энергия U (r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (7.21), учитывающему значение (8.1): , (8.2) где m - масса электрона; E - полная энергия электрона на орбите. Т.к. поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (8.2) обычно используют сферич. систему корд.: r, ϴ, ϕ. Рассмотрим важнейшие результаты, которые следуют из решения уравнения (8.2), пояснив их физический смысл.

1.Энергия.

(n= 1, 2, 3, …), (8.3)

Реш-е ур-я Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетич. уровней. Самый нижний уровень E ₁, отвечающий минимально возможной энергии, является основным уровнем, тогда как все остальные (, n = 2, 3, …) возбужденные уровни. По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее.

Энергия ионизации атома водорода равна .

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (8.2) удовлетворяют собственные функции Эти собственные функции определяются тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным m_l. Гл.квант число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме (n = 1, 2, 3, …). Из реш-я ур-я Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой , (8.4) где l - орбитальное квант.число, которое для заданного n принимает значения l = 0, 1, …, (n - 1), т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме. Из реш-я ур-я Шредингера также следует, что вектор Ll момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция Llz на направление z внеш. маг.поля принимает квант.значения, кратные h: , где m_l – маг.квант. число т.е. всего 2 l + 1 значений. Т.о., ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l + 1 ориентаций. Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2 l + 1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено голландским физиком Зееманом и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка.

Хотя энергия электрона (8.3) и зависит только от главного квантового числа n, но каждому собственному значению En (кроме E ₁) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями l и ml. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном значении n орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n - 1, а каждому значению l соответствует 2 l + 1 различных значений ml, то число различных состояний, соответствующих данному n, равно . (8.6) Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функции. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

Дата добавления: 2015-11-30