Производные обратной и сложной функций.

Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть -- фиксированная точка и -- точка, ей соответствующая. Тогда .

Теорема 4.5 Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

(4.14)

Доказательство. Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, ; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать. Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

(4.15)

если -- функция, обратная к .

Замечание 4.10 Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная , то разностное отношение стремится к при , что соответствует вертикальной касательной к графику при (если считать, что ось расположена горизонтально, а ось -- вертикально).

Рис.4.7.Графики функций и и касательные к ним при

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции , так и обратной функции изображается на координатной плоскости одной и той же линией, состоящей из точек , где или, что то же самое, . Поэтому, если в точке график функции имеет касательную, образующую угол с осью , то угол той же касательной с осью будет, очевидно, равен . Тогда

поскольку для обратной функции производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси , на которой меняется аргумент функции .

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны и , дополняют друг друга до

Если u = f(x₁,x₂,x₃….x_n), то в случае, когда x₁,x₂,x₃….x_n зависят только от одной переменной t, производная по t сложной функции(обыкновенная) вычисляется по формуле

а если f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид:

то есть совпадает с формулой для одномерного случая.

Дата добавления: 2015-11-30