Теоретичні відомості

Якщо деяка коливальна система з’єднана деяким чином з суцільним середовищем, тоді внаслідок механічного зв’язку цієї системи з середовищем і в силу того, що окремі ділянки суцільного середовища пружньо з’єднані одна з одною, коливальний процес, що виникає в одному місці, буде розповсюджуватися у просторі у вигляді пружньої хвилі. Розглянемо процес розповсюдження повздовжніх пружніх хвиль у ізотропному твердому тілі.

Рис. 1.

Розташуємо один кінець достатньо довгого (напівнескінченного) металевого стержня у початок координат. Вісь Х напрямлено вздовж стержня. Якщо зовнішнім пристроєм привести цей кінець стержня (х=0) у коливальний рух вздовж осі Х, тоді вздовж стержня буде розповсюджуватися пружня повздовжня хвиля (див. рис. 1).

Розглянемо ділянку стержня, що розташована між перерізами з координатою х і х+Dх. При проходженні хвилі лівий з цих перерізів буде відчувати зміщення , а правий -

У загальному випадку ділянка, що розглядається, відчуває деформацію, так як . Ця деформація дорівнює

,

або якщо , тоді

, (1)

і якщо e>0, тоді на ділянці стержня відбувається деформація розтягу, а якщо e<0, тоді деформація стиску.

При зміщенні як лівого, так і правого кінця ділянки стержня за рахунок міжатомної взаємодії виникають сили, що діють на ділянку стержня. Відношення цих сил до початкової площі перерізу стержня S₀ прийнято називати напругою

. (2)

При малих деформаціях виконується закон Гука

s=E e, (3)

де Е – модуль Юнга для повздовжнього стержня.

Тепер запишемо рівняння руху для ділянки нашого стержня. Маса ділянки дорівнює rS₀Dx. Якщо x - зміщення її центра тяжіння, тоді

, (4)

де справа записано результуючу силу.

Поділимо обидві частини рівняння (4) на S₀Dx і вважаємо, що , тоді

, (5)

або врахувавши рівняння (3) і (1)

, (6)

або

, (7)

де - фазова швидкість хвилі.

Вираз (6) прийнято називати хвильовим рівнянням. Розв’язок хвильового рівняння має вигляд

f₁(x-ut)+ f₂(x+ut),

де f₁ і f₂ - довільні функції.

Для гармонічних хвиль кінець стержня х=0 буде виконувати гармонічні коливання. Для цього випадку можна записати

. (8)

Підставивши (8) у (6) і скоротивши на , отримаємо

або

(9)

де .

Загальний розв’язок цього рівняння буде

. (10)

Тоді підставивши (10) у (8), отримаємо

. (11)

Вираз

або його реальна частина

(12)

є рівнянням біжучої хвилі зміщення, що розповсюджується вздовж напрямку ”х”. Відповідно

(13)

є біжуча хвиля, що розповсюджується у протилежному напрямку “-х”.

Це видно з того, що точка постійної фази

(14)

у першому випадку рухається у напрямку зростання х, тобто при збільшенні t також зростає, у другому випадку – навпаки. При цьому швидкість руху точки постійної фази, або, що те ж саме, фазова швидкість хвилі, знаходиться диференціюванням по часу, звідки, див. (9) і (7)

. (15)

Довжина хвилі l, тобто найближча відстань між двома точками хвилі, що знаходяться у однаковій фазі, буде

, (16)

де Т – період хвилі, а к – хвильове число.

Фазову швидкість розповсюдження хвилі u, яка визначається (15) і не залежить від частоти w, слід відрізняти від швидкості частинок стержня, що коливаються, , яку отримаємо диференцюючи по t зміщення x(x,t) (12):

. (17)

Враховуючи (1) і (3) для біжучих хвиль деформації і напруги, отримаємо

(18)

Якщо стержень має кінцеву довжину, тоді від правого кінця стержня біжуча хвиля відбивається і рухається у протилежну сторону. У цьому випадку виникає суперпозиція двох хвиль (12) і (13).

Розглянемо стержень довжиною l. Нехай правий кінець цього стержня вільний (не закріплений). У цьому випадку біжуча хвиля відбивається від вільного кінця без зміни фази. Якщо знехтувати згасанням, тоді розподіл зміщень вздовж стержня буде визначатися суперпозицією біжучої x₁(x,t) і відбитої x₂(x,t) хвиль, які утворюють так звану стоячу хвилю

(19)

Така хвиля утворюється тільки в тому випадку, якщо зміщення, яке визване відбитою біжучою хвилею x₂(x,t) у точці закріплення стержня (лівий кінець стержня, коли х=0), буде дорівнювати нулю.

У противному випаду у x(x,t) слід враховувати вторинне відбиття біжучої хвилі від лівого та правого кінців стержня, тобто розподіл зміщень вздовж стержня буде значно складнішим.

Таким чином умовою резонансу стержня буде

Перейшовши від k до l, отримаємо, що резонанс буде спостерігатися тоді, коли виконується умова, що на довжині стержня вкладається непарна кількість четвертей довжин хвиль:

де(20)

Такі коливання будуть зберігатися у стержні досить довго (при відсутності згасання) і без допомоги збуджуючої сили, тому їх (коливання) ще часто називають власними коливаннями стержня, закріпленого на одному кінці.

Власні коливання стержня залежать від способу закріплення стержня.

Для стержня закріпленого з обох кінців, розрахунок приведе до співвідношення

(21)

Для стержня закріпленого посередині, вузол стоячих хвиль також буде знаходитися посередині стержня. Найбільші коливання стержня будуть мати місце при резонансі, коли на його довжині l вкладається рівно половина довжини повздовжньої пружньої хвилі, що розповсюджується вздовж стержня, тобто при . У цьому випадку на кінцях стержня будуть пучності зміщення.

Пучності зміщення на кінцях стержня будуть і тоді, коли вздовж стержня вкладається непарне число півхвиль

(22)

Тобто резонанс виникає всякий раз, коли виконується умова (22).

Як правило, довжина стержня задана і змінюють довжину хвилі l, а значить і частоту w для того, щоб добитися умови резонансу (20), (21), (22).

Скористаємося співвідношенням u=ln, де l - довжина хвилі, n - частота коливань. Тоді резонансна частота пружніх коливань у стержні

. (23)

Резонансну частоту при n₃=0 і яка дорівнює , прийнято називати основною частотою, а відповідну їй звукову хвилю основним тоном.

Звукову хвилю, що відповідає резонансним частотам при інших значеннях цілого числа n, називають обертоном.

Таким чином, для визначення швидкості розповсюдження повздовжніх звукових хвиль у металевому стержні, що закріплений посередині, потрібно виміряти резонансну частоту і довжину стержня.

За отриманими даними обраховують швидкість звуку . Знаючи швидкість звуку і густину матеріалу, визначають модуль Юнга .

Дата добавления: 2015-11-30