R - карта. Карта размахов и др. 3 страница

Таблица 5.8 – Результаты деятельности организации по видам услуг

Виды услуг	Себестоимость оказания услуги, руб.	Общие затраты на оказание услуги, тыс. руб.
		120,0
		140,0
		123,0
		129,0

Определение средней себестоимости производим по следующей формуле:

Соотношение между отдельными видами средних может быть представлено в виде неравенства:

, (5.20)

Исходя из опыта применения средних можно сделать вывод, что когда вычисляется средний документооборот, объем обрабатываемой информации, средняя скорость обработки документов управленческого процесса, то пользуются средней арифметической. Для определения темпов роста пользуются средней геометрической. Для определения среднего времени оборота капитала, средней выработки и т.п. используют среднюю гармоническую.

Медианой случайной величины ()называют такое её значе­ние, для которого функция распределения равна 1/2. Это означает, что вероятность случайной величины принять значение меньше медианы, в точности равно вероятности этой величины принять значение больше медианы.

Для непрерывной случайной величины это можно выразить следующим образом:

, (5.21)

или графически на рисунке 5.8, где площади под кривой плотности вероятности левее и правее значения , равного , соответственно и равны.

Рисунок 5.8 — Графическое определение положения медианы

Для дискретной случайной величины в качестве принимают такое значение и чтобы удовлетворялось условие:

, (5.22)

Таким же образом, только через относительные частоты определяется медиана для эмпирического ряда.

Т.о. для эмпирического ряда медиана – это такой замер в упорядоченном ряду, который как бы делит совокупность на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньше, другая – больше, чем средний замер.

Пользуясь медианой в практике управленческой работы можно быстро определить средний объем выполняемых подразделениями работ, средний процент выполнения норм и т.д.

Когда в упорядоченном ряду нет повторяющихся значений, то медиана, при нечетном количестве членов группы (), равна среднему члену.

т.е. ,

где .

Например, заработная плата сотрудников представлена следующим упорядоченным рядом (в рублях): 7800, 8000, 8100, 8500, 9000, 9600, 10500, 10800, 11000.

Срединное место занимает цифра 9000 – это и есть медиана.

При четном количестве членов упорядоченного ряда медиана равна полусумме средних членов:

,

где .

Например, если в нашем примере добавить десятый член ряда 11500, то медиана будет равна:

руб.

Медиану в качестве средней величины следует применять в тех случаях, когда нет полной уверенности в однозначности изучаемой совокупности. В случаях очень больших колебаний варьирующего признака средняя арифметическая будет находиться под сильным влиянием крайних величин. Так, если в нашем примере добавить заработную плату одиннадцатого сотрудника, равную 100000 руб., то значение средней арифметической будет равно 16664 руб., что совершенно не отражает фактическое состояние дел. В то же время величина медианы составит 9600, что полностью характеризует среднюю величину зарплаты для большинства сотрудников.

Мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение, т.е. это абсцисса точки максимума кривой распределения ( на рисунке 5.9).

Рисунок 5.9 – Графическое определение положения моды

Статистический смысл моды:

− для дискретных рядов – значение признака, которое чаще всего встречается;

− для интервальных рядов – значение признака, на которое приходится наибольшая плотность распределения.

Для дискретных рядов мода соответствует максимальному значению ординаты, а для интервальных рядов она исчисляется по формуле:

, (5.23)

где – начало модального интервала;

– длина интервала;

– разность частот модального и домодального интервала;

– разность частот модального и послемодального интервала.

Мода позволяет судить о преобладающем в данный момент уровне изучаемых признаков.

Рассмотрим набор данных, полученных в результате опыта и состоящий из отдельных цифр:

Определим для этих данных средние характеристики: полусумму крайних значений, среднюю арифметическую, медиану и моду. Для этого данные надо представить в виде упорядоченного ряда. Выполнить это целесообразно с использованием контрольного листка, представленного на рисунке 5.10, который позволит избежать случайной ошибки.

Показатель	Регистрация показателя	Частота
	х х х
	х х х х
	х х
	Х
	Х
	х х х х х х х х х х х
	х х х х х х х х х х х х х х
	х х х х х х х х х х
	х х х х х
	х х х х х х х х х
Итого

Рисунок 5.10 – Контрольный листок сбора данных

Для приведенных данных полусумма крайних значений равна:

Медиана равна 6, т.к. 30-е и 31-е значения показателя равны 6.

Мода так же равна 6, т.к. этот показатель встречается самое большое количество раз – 14.

Средняя арифметическая, рассчитанная по формуле (5.16) равна 5,75.

5.2.2 Методы количественного анализа

результатов исследований на основе средних величин

При проведении комплексного анализа деятельности управленческих служб строится обычно математическая модель и определяется показатель результативности – комплексный критерий, обобщенный показатель.

При этом универсальным методом обобщения единичных показателей, входящих в комплексный критерий является вычисление средних величин: средней арифметической, средней геометрической, средней гармонической.

Считается, что наилучшим образом обеспечивает выполнение требований к комплексному критерию величина средней геометрической:

, (5.24)

где − комплексный показатель;

− -ый показатель, входящий в комплексный;

− степень -ого показателя, его удельный вес.

В случае, если, то

, (5.25)

Эта формула позволяет обобщать любые показатели, характеризующие деятельность конкретного учреждения, подразделения, процесса.

Необходимые условия включения показателей в приведенную формулу:

− отражение одной из целей деятельности учреждения, подразделения, процесса, непосредственное отношение к оценке качества и эффективности;

− наличие у показателя весовой функции;

− наличие у показателя наилучшего или нормативного значения.

Обобщенная оценка показателей функционирования учреждений может быть представлена, также следующим образом:

, (5.26)

где − обобщенная оценка;

− базовое значение показателя;

− реальное значение показателя;

− коэффициент относительного вклада в обобщенную оценку (коэффициент относительной важности, удельный вес);

− число анализируемых показателей;

− условие нормировки при проведении экспертной оценки:

.

За величину базового показателя берут нормативные, оптимальные или средние значения показателей.

Для выполнения обобщенной оценки необходимо определить коэффициенты относительного вклада − . Их определение выполняют методом экспертной оценки.

Состав возможных частных показателей для формирования комплексного показателя организационно-методической работы управленческих служб можно рассмотреть на примере копировально-множительного подразделения:

,

где − качество выполняемых работ;

− уровень их планирования;

− создание нормативной базы;

− внедрение новых форм и методов работы;

− организация обмена передовым опытом;

− уровень методической помощи подведомственным подразделениям;

− организация контроля за ходом выполнения планов, приказов, решений;

, , …, − удельный вес каждого показателя в общей значимости организационно-методической работы, принятой за единицу ().

5.2.3 Характеристики рассеивания

Для достаточно полной характеристики совокупности случайной величины недостаточно знать положение среднего значения, вокруг которого она группируется. Необходимо еще знать, как ложатся отдельные величины относительно этого центра, сильно ли разбросаны, или, напротив, тесно сгруппированы. Для этого вводят характеристики рассеивания (вариабельности), такие как: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации и др.

Размах распределения случайной величины () – это разность между наибольшим () и наименьшим () измеренными значениями этой величины:

, (5.27)

Эта характеристика широко используется в теоретических исследованиях и практических расчетах. Она может быть использована в процессах контроля качества, оценки роста объемов документооборота, количественной оценки управленческого персонала в различные временные интервалы. Размах широко использует для построения контрольных для оценки статистической управляемости процессов.

Размах является самой простой для расчета характеристикой рассеивания, т.к. для его определения из всей совокупности величины надо знать значение только двух крайних: наибольшей и наименьшей. Однако он имеет ряд недостатков:

− большое влияние случайных факторов на величину размаха, ввиду случайного характера крайних уровней распределения;

− невозможность однозначного определения вида распределения внутри размаха;

− недостаточность характеристики разброса рассматриваемого признака, т.к. размах зависит только от двух крайних значений;

− отсутствие наглядности варьирования признака, свойственного основной массе единиц совокупности.

Среднее линейное отклонение () представляет собой среднюю величину абсолютных значений отклонений от средней арифметической. При расчете среднего линейного отклонения можно использовать следующие формулы:

а) для неповторяющихся значений случайной величины

, (5.28)

б) для повторяющихся значений

, (5.29)

В качестве примера рассмотрим определение значения среднего линейного отклонения по штатной численности административно-управленческого персонала пяти однотипных предприятий отрасли (таблица 5.9).

Таблица 5.9 – Расчет среднего линейного отклонения

Наименование организации	Штатная численность административно-управленческого персонала,	Отклонение от средней арифметической,
		55,4
		166,6
		101,6
		47,4
		165,4
Итого		536,4

Для выполнения расчета находим в первую очередь, среднюю арифметическую:

чел.

Значение среднего линейного отклонения составляет:

По сравнению с размахом, среднее линейное отклонение более полно характеризует разброс значений признака, т.к. характеризует его по всей статистической совокупности.

Дисперсия теоретической случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения её значений от её математического ожидания.

Для дискретной случайной величины , дисперсия - это сумма произведений квадратов отклонений от её математического ожидания , умноженных на соответствующие вероятности:

, (5.30)

Для непрерывной случайной величины:

, (5.31)

Для эмпирического распределения дисперсию обозначают обычно через и определяют её как среднюю величину произведений квадратов отклонений случайной величины от ее средней арифметической:

, (5.32)

или:

, (5.33)

Проведя простые арифметические преобразования формулы (5.32) и (5.33) можно преобразовать к следующему виду:

, (5.34)

и

. (5.35)

Эти формулы значительно проще для организации вычислений, хотя и дают чуть менее точный результат.

Выполним для примера расчет дисперсии с использованием выражений (5.33) и (5.35) для ряда распределения, представленного в таблице 5.10.

Таблица 5.10 – Исходные и промежуточные данные для расчета дисперсии

Число организаций	Объем обрабатываемой информации , тыс. знаков
			-104,7
			+23,3
			+59,3
			-71,7
			+35,3
Итого

Определяем среднюю арифметическую согласно выражения (5.16):

тыс. знаков

Рассчитываем дисперсию точным методом по формуле (5.33):

(тыс. знаков)²

Рассчитываем дисперсию по приближенной формуле (5.36):

(тыс. знаков)²

Из представленных расчетов следует, что приближенный метод расчета дисперсии по формуле (5.36) дает несколько завышенное значение.

Дисперсия, как видно из ее определения и представленных выше формул обладает размерностью, равной квадрату размерности исследуемого параметра. На практике это не всегда удобно, поэтому в обиход введена характеристика, равная корню квадратному из дисперсии и имеющая поэтому размерность исследуемого параметра.

Эту характеристику называют стандартным отклонением и обозначают :

, (5.36)

, (5.37)

. (5.38)

Пример. Пусть показатель выполнения задания в подразделении для двух полугодий по месяцам выражается следующими цифрами (%):

1-ое полугодие: 85; 90; 95; 100; 110; 120.

2-ое полугодие: 98; 95; 97; 100; 104; 106.

Среднее арифметическое объема выполнения заданий по обоим полугодиям составляет 100%. Степень же выполнения заданий от 100% по месяцам различна и в первом полугодии значительно больше, чем во втором.

Разброс в выполнении заданий, оцененный стандартным отклонением составляет:

1- ое полугодие:

2- ое полугодие:

Коэффициент вариации () – это отношение стандартного отклонения к средней арифметической, выраженный в %:

, (5.39)

Коэффициент вариации является безразмерным показателем разброса, что позволяет сравнивать особенности разброса различных по характеру и абсолютной величине параметров. Если коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

5.2.4 Количественный анализ результатов исследования на основе закономерностей нормального распределения

Выше (п. 5.1.3) было сказано, что одним из наиболее часто встречающихся при анализе статистического материала, и законов распределения случайных величин является закон нормального распределения (Гаусса). Он наблюдается в тех случаях, когда на величину признака изучаемого явления действует множество случайных, независимых факторов, каждый из которых в общем итоге играет незначительную роль, то есть ни один из них не оказывает преобладающего влияния. Были рассмотрены математические выражения для функции распределения и плотности распределения случайных величин, подчиняющихся этому закону.

В практике исследования часто возникают задачи определения вероятности встретить случайную величину в каком-то определенном диапазоне значений. Такая задача решается обычно следующим образом.

Исследуемую случайную величину заменяют приведенной нормальной величиной:

. (5.40)

Для приведенной нормальной величины математическое ожидание равно нулю: =0, а стандартное отклонение единице: =1.

Плотность распределения запишется в этом случае следующим образом:

, (5.41)

а функция распределения:

. (5.42)

Функция (5.42) табулирована в соответствующих таблицах (приложение Б).

В практических применениях может быть использована также дополнительная функция:

. (5.43)

Вероятность того, что случайная величина будет находиться в интервале между х ₁ и х ₂ запишется следующим образом:

, (5.44)

где .

Выражения (5.43), (5.44) и таблица функции в приложении Б позволяют достаточно легко решать любые практические задачи.

Пример 1. Статистические исследования, проведенные в рамках отрасли, показали, что средняя длительность определенной управленческой операции составила =33 минуты, при стандартном отклонении =2 минуты. При решении управленческой задачи встает вопрос: какова вероятность того, что длительность данной операции в организации будет превышать 37 минут?

Для решения этой задачи находим u:

Согласно выражению (5.43) и таблице приложения Б:

.

Ответ: 0,023.

Пример 2. Известно, что средняя зарплата на предприятиях холдинга составляет 12000 руб. при величине стандартного отклонения 1500 руб. Исходя из нормального закона распределения оцените процент сотрудников, чья заработная плата составляет от 10000 до 15000 руб.?

Для решения этой задачи находим и :

,

Согласно выражению (5.44) и таблице приложения Б:

,

т.е. вероятность получения сотрудниками зарплаты в указанном интервале составляет 0,855. Умножив это число на 100 %, получим процент сотрудников получающих интересующую нас заработную плату: .

Дата добавления: 2015-11-30