R - карта. Карта размахов и др. 2 страница

Существует несколько способов представления распределения случайных величин:

− табличный;

− графический;

− аналитический с использованием либо функции распределения (F (х)), либо плотности распределения (р (х)).

В таблице 5.2 представлены результаты исследования длительности оформления документов в отделе организации.

Таблица 5.2 – Распределение длительности обработки документов в отделе

Количество дней обработки, х								>8
Число случае, h
Относительная частота,	0,00	0,03	0,20	0,28	0,32	0,15	0,02	0,00
Примечание: Была исследована длительность оформления ста (100) документов.

Такую таблицу, в которой представлено распределение случайной величины, называют рядом распределения.

При большом количестве опытов и большом количестве различных значений случайных величин их представление в виде ряда распределения становится слишком громоздким и мало наглядным. В этом случае поступают следующим образом. Весь наблюдаемый диапазон изменения случайной величины х от х_min до х_mах разбивают на определенное число интервалов (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Разбиение всего диапазона изменения

случайной величины х (х_max – x_min) на интервалы

Частоты подсчитывают не по действительным значениям случайной величины, а по факту попадания ее в данный интервал. Таким образом, в этом случае дело имеют не с частотами наблюденных значений случайной величины, а с частотами их значений, лежащих в границах установленного интервала. Полученную таблицу значений называют в этом случае интервальным рядом (таблица 5.3).

Таблица 5.3 – Интервальный ряд распределения времени обработки документа в отделе (исследовано 100 документов)

Интервал значений времени обработки, мин.	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50	50-55
Частота, h
Относительная частота	0,02	0,10	0,24	0,30	0,22	0,10	0,02

Графическое представление распределения случайной величины может быть выполнено по-разному. На рисунке 5.2 показан пример графического представления данных из таблицы 5.2. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Рисунок 5.2 – Распределение длительности обработки документа

Для графического изображения интервального распределения используют обычно столбиковую диаграмму, называемую гистограммой. Пример гистограммы, построенной по данным таблицы 5.3, приведен на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 – Гистограмма результатов измерения времени

обработки документов.

Аналитическое представление распределения теоретических случайных величин широко используется в теории вероятности и в разнообразных задачах статистических исследований и обработки данных. Теоретическая и практическая сторона этого вопроса подробно освещены в специальной литературе [ ]. Поэтому мы здесь дадим только некоторые определения, которые понадобятся для дальнейшего изложения материала.

Пусть Х случайная величина, а х – какое-либо действительное число. Этому событию соответствует вероятность Р(Х<х). Эта вероятность зависит от х, то есть некоторая функция от х. Эту функцию и называют функцией распределения случайной величины и обозначают F(x):

F(x)=P(X<x). (5.5)

Таким образом, функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше произвольно изменяемого действительного числа х (). Случайная величина считается заданной, если известна ее функция распределения. Функция распределения для непрерывной величины представляет собой непрерывную, монотонно возрастающую от 0 до 1 функцию (рисунок 5.4).

Можно показать, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок (х ₁, х ₂) равна приращению функции распределения на этом участке:

Р (х ₁≤ х < х ₂)=F(x₂) – F(x₁). (5.6)

Рисунок 5.4 – График изменения функции распределения

Первая производная от функции распределения характеризует плотность, с которой распределяется значение случайной величины в рассматриваемой точке. Эту функцию называют плотностью распределения непрерывной случайной величины и обозначают f (х):

(5.7)

Кривая, изображающая зависимость f (х) от х, называется кривой плотности распределения(рисунок 5.5).

х

х ₂

х ₁

х +D х

Рисунок 5.5 – Кривая плотности распределения

Среди свойств плотности распределения отметим следующие:

1. Вероятность попадания случайной величины на элементарный участок (х, х + х) примерно равна f (х)∙ х:

, (5.8)

Геометрически это площадь, заштрихованная элементарной фигуры (рисунок 5.5), опирающейся на отрезок длиной х.

2. Вероятность попадания случайной величины на отрезок от х ₁ до х ₂ выраженная через плотность распределения запишется следующим образом:

. (5.9)

Графически эта вероятность выразится площадью криволинейной трапеции (рисунок 5.5).

3. Интеграл в бесконечных пределах от f (х) равен единице:

. (5.10)

Графически это означает, что вся площадь под кривой распределения равна 1. Действительно, то, что случайная величина принимает какое-то конкретное событие и находится на числовой оси, есть событие достоверное. Вероятность же достоверного события равна единице.

Вид функции распределения и плотности распределения может быть различным и зависит от особенностей исследуемых параметров. На практике встречается ряд типичных распределений, закономерности которых изучены, описаны аналитически и которые получили свои названия, как законы распределения: логарифмический, Вейбулла, Пуассона, биноминальный, гипергеометрический, нормальный и так далее.

Один из наиболее часто встречающихся при анализе статистического материала является закон нормального распределения (Гаусса). Он наблюдается в тех случаях, когда на величину признака изучаемого явления действует множество случайных, независимых факторов, каждый из которых в общем итоге играет незначительную роль, то есть ни один из них не оказывает преобладающего влияния.

Плотность распределения случайной величины х непрерывного типа, подчиняющейся нормальному закону распределения, имеет следующий вид:

, (5.11)

где μ – средняя величина (математическое ожидание) статистической совокупности;

σ – стандартное отклонение (характеристика рассеивания статистической совокупности).

Графически плотность распределения для нормального распределения выражается в виде характерной кривой холмообразного вида (рисунок 5.6). Вершина кривой лежит над абсциссой, соответствующей математическому ожиданию. Кривая симметрична, имеет форму колокола и асимптотически приближается к оси абсцисс. Имеется две точки перегиба с координатами μ – σ и μ + σ.

Рисунок 5.6 – Кривая плотности распределения нормального вида

Из выражения (5.11) видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: μ и σ. С изменением μ форма кривой не меняется, но изменяется ее положение относительно начала координат (рисунок 5.7а). С изменением σ положение кривой не меняется, но меняется ее форма (рисунок 5.7б). С уменьшением σ (уменьшением разброса значений) кривая становится более высокой (чаще встречаются значения параметра вблизи среднего положения), а ее ветви сближаются. С увеличением σ все происходит наоборот.

a)

б)

Рисунок 5.7 – Влияние параметров μ и σ

на кривую нормального распределения.

5.2 Методы количественного анализа управленческих процессов

с использованием мер расположения и рассеивания

Выше мы рассмотрели способы описания случайных величин и их распределения табличным, графическим способом, функцией распределения и плотностью распределения. Каждый из этих способов полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако на практике, в большинстве случаев, нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Чаще всего достаточно указать отдельные числовые параметры, которые характеризуют существенные черты распределения случайной величины.

В качестве таких черт распределения можно отметить следующие:

− среднее значение, вокруг которого группируются возможные значения случайной величины;

− степень разброса случайных величин;

− ассиметричность распределения и т.п.

Числа, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. При организационном проектировании используют обычно две группы таких характеристик: положения и рассеивания.

5.2.1 Характеристики положения

В организационном проектировании при исследовании проблем управления трудовыми ресурсами, коллективами, социальным развитием, условиями труда, организацией труда и т.д. возникает необходимость сравнения и оценки полученных замеров. Для получения такой оценки вместо множества отдельных значений изучаемого показателя используют, в первую очередь, его среднее значение, вокруг которого группируются все значения случайной величины.

Среднее значение есть некоторое число, которое является как бы представителем всей статистической совокупности и заменяющим ее при расчетах.

Средние величины широко используются для обобщенных характеристик всевозможных массовых процессов. С их помощью устраняются индивидуальные различия, выявляются общие условия и закономерности, осуществляются работы по прогнозированию и планированию, анализ экономических явлений.

В зависимости от характера статистической совокупности, расположения в ней элементов, их группировки, задач анализа, определяющий показатель, который должен наиболее полно отразить закономерность явления, может быть представлен различными средними.

В качестве характеристик положения (средних) используют следующие:

− математическое ожидание;

− полусумма крайних значений;

− медиана;

− мода;

− среднее арифметическое;

− геометрическое среднее;

− гармоническое среднее.

Из названных средних значений математическое ожидание используют для теоретических случайных величин, а все остальные для эмпирических, полученных в результате эксперимента.

Математическое ожидание.

Эту характеристику используют для теоретических значений случайной величины. Для дискретной случайной величины математическое ожидание находят следующим образом:

Пусть случайная величина имеет возможные значения , , …, свероятностями , , …, . Для того, чтобы охарактеризовать положение значений случайной величин на оси каким-либо числом, возьмем среднее взвешенное значение. Каждое при осреднении учитывается со своим весом – вероятностью :

С учетом того, что получаем:

, (5.12)

Это среднее взвешенное значение случайной величины и назы­вают её математическим ожиданием. В некоторых источниках его обозначают символом . Итак, математическим ожиданием случай­ной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на вероятности этих значений.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом:

, (5.13)

где – плотность распределения случайной величины .

Формула (5.13) получается из (5.12), если в ней заменить отдельные значения , непрерывно изменяющимся параметром , соответствующие вероятности на , а сумму на интеграл.

Средняя арифметическая.

Выработка, объемы работ, заработная плата и т.д. определяются обычно с помощью средней арифметической. Эта характеристика используется в тех случаях, когда решаются вопросы, на какую величину отдельные замеры отличаются от средней.

Средняя арифметическая () есть частное от деления суммы всех измеренных значений изменяющегося признака , , …, на их количество :

, (5.14)

Если каждому значению x отвечает значение линейно-зависящего от него аргумента y: , то выражение для средней арифметической запишется следующим образом:

Следовательно, линейная связь между и сохраняет свою силу для их средних значений:

, (5.15)

Предположим, в качестве примера, что среднедневная выработка одного сотрудника, работающего в копировально-множительном подразделении, составляет на разных аппаратах следующие величины (таблица 5.4).

В этом случае средняя арифметическая величина составит:

руб.

Таблица 5.4 − Значения среднедневной выработки на одного работника

Марка аппарата	A	B	C	D
Среднедневная выработка, руб

Выражение (5.14) используется, если измеренные значения величины не повторяются. Для рядов с повторяющимися значениями величины используют следующее выражение:

, (5.16)

где – частота появления значения в ряду;

– число разных (не повторяющихся) значений случайной величины;

– общее число наблюдений:

.

Пусть для предыдущего примера по результатам исследования за определенный период были получены сведения по трудозатратам на разных аппаратах при выпуске одинаковых объемов документов. Так на аппарате А эти затраты составляют 12400 человеко-дней, на аппарате В – 32260, C – 600 и D – 1200 человеко-дней соответственно. Средняя арифметическая тогда составит:

руб.

Для непрерывных случайных величин, представляемых в виде интервального ряда, в выражении (5) в качестве принимают обычно середину интервалов :

, (5.17)

Например, требуется начислить заработную плату управленческим работникам при ее распределении между отдельными группами в соответствии с таблицей 5.5.

Таблица 5.5 – Данные для расчета средней зарплаты

Группа работников	Заработная плата, , руб.	Центр интервала	Число работников
	7000-8000
	8000-9000
	9000-10000
	10000-11000
Всего

В результате расчета по формуле (6) получаем:

руб.

Геометрическая средняя. При определении темпа роста объемов выполняемых работ, производительности труда, механизации и автоматизации работ, темпа снижения себестоимости работ, сокращения трудоемкости работ исчисляется средняя геометрическая .

Исчисление средней арифметической основано на арифметической прогрессии (3), а средней геометрической – на геометрической прогрессии:

, (5.18)

Такое определение средней позволяет оценить во сколько раз отдельные замеры выше или ниже средней, т.е. оценить отклонение между величинами.

Составим разницу в получаемой величине средней и способе вычисления рассмотренных средних на примере. Пусть имеются два предприятия: одно выполняет план на 150%, а другое – на 80%.

Средняя арифметическая выполнения плана двумя предприятиями составит:

%.

Средняя геометрическая покажет такую среднюю, которая будет во столько же раз меньше первой (большей) величины, во сколько раз эта же величина больше второй (меньшей). Указанное соотношение может быть выражено геометрической пропорцией:

, , ;

;

%

Средняя геометрическая обычно используется для оценки среднего темпа изменения параметра динамических рядов, т.е. рядов, характеризующихся изменением параметров во времени.

Например, объем управленческих работ по месяцам увеличивается (таблица 5.6). Требуется определить средний темп роста объема.

Таблица 5.6 – Данные по объемам работ в подразделении

Месяцы	Объем управленческих работ по составлению и обработке документов	Темп роста по отклонению к предыдущему месяцу
Январь		1,00
Февраль		1,15
Март		1,17
Апрель		1,19
Май		1,20

Средний темп роста согласно уравнению (7) составит:

т.е. 18%.

Гармоническая средняя определяется в том случае, если средняя предназначается для сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, т.е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные величины.

Средняя гармоническая используется для определения показателей средней себестоимости продукции, средней выработки среднего срока службы аппаратов и т.п. Выражение для средней гармонической запишется следующим образом:

. (5.19)

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведения ():

.

Рассмотрим несколько примеров использования средней гармонической.

Пусть необходимо определить среднюю выработку копировально-множительного подразделения за 5 дней. Выработка за каждый день характеризуется величинами, представленными в таблице 5.7.

Таблица 5.7 – Дневная выработка подразделения

Дни
Выработка, тыс. листов

Рассчитаем по формуле (5.19) величину средней гармонической:

.

Рассчитаем величину средней арифметической для этого же примера:

.

Разница между этими двумя величинами (ошибка) составит:

.

Примером применения средней гармонической может служить также вычисление среднего времени оборота капитала, разные части которого обращаются в разное время.

Пусть периоды оборота для каждых четырех одинаковых частей капитала по 1255000 долларов составляют: 10 лет, 10 лет, 2 года, 0,5 года.

Средняя гармоническая тогда составит:

Расчет для тех же данных средней арифметической даст следующее:

Очевидно, что величина средней гармонической в этом случае существенно ближе отражает реальное положение дел с оборотом капитала.

Примером применения средней гармонической взвешенной могут служить следующие данные (таблица 5.8).

Дата добавления: 2015-11-30