И доверительная вероятность

Как уже указывалось, для любой конечной выборки ≠Х. Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения от истинного Х, то есть, – Х.

Интервал ΔХ, в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины, называется доверительным интервалом, соответствующим вероятности α. Вероятность α называется также доверительной вероятностью или надежностью. Величина ΔХ характеризует точность оценки. Чем меньше разность – Х, тем выше точность.

Надежность, соответствующую заданной точности ΔХ, можно вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распределением, если известна дисперсия .

В соответствии со сказанным ранее (гл. II, §2), величина α равна площади заштрихованной фигуры АВС, опирающейся на отрезок 2ΔХ (рис. 6).

Рис. 6. Кривая распределения вероятностей случайных
погрешностей среднего

Так как σ²/n, то надежность, соответствующая заданной точности ΔХ, растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала.

Можно показать, что α является функцией величины
к = . График функции α = F(k) показан на рисунке 7.

Рис. 7. График функции α =

Видно, что с ростом k растет и доверительная вероятность α. Так, α = 0,68 для k = 1, α = 0,95 для k = 2, α = 0,997 для k = 3. Результаты расчетов F для различных k приведены в соответствующей литературе (см. Список литературы – 1, 2).

Если n мало (n < 30), то , и для расчета распределением Гаусса пользоваться нельзя. В этом случае используют распределение, выведенное английским математиком и химиком Госсетом (псевдоним «Стьюдент»).

В распределении Стьюдента плотность распределения вероятностей рассматривается как функция величины называемой коэффициентом Стьюдента (среднеквадратичная погрешность среднего арифметического определяется формулой (2.7)).

Распределение Стьюдента зависит от n и при n→∞ переходит в распределение Гаусса.

Рис. 8. Кривые распределения Стьюдента для выборок
различного объема

На рисунке 8 показаны кривые y(t) при разных n. Вычислив по результатам измерений и задав величину ΔX, можно найти
t и α, соответствующие данному n. Наоборот, задав надежность α, можно вычислить t_α,n и соответствующую точность ΔX = t_α,n· при данном значении n. Соответствующие друг другу значения

α и t_α,n при разных n приводятся в специальных таблицах
(см. Приложение).

На практике задание величины ΔX определяется конкретными условиями. Допустим, что некоторое предприятие изготовляет резисторы определенного номинала. Естественно, что благодаря действию различных случайных факторов величины сопротивлений R будут отклоняться от их номинальных значений. Измерив R для большой партии резисторов (n>>30), можно построить кривую y (ΔR) и найти дисперсию . Величина определяется тем, насколько хорошо контролируется и поддерживается постоянной технология изготовления резисторов. Если разброс значений R, а значит и , велик, то, задавая малое значение доверительного интервала , получим и малую надежность α. При этом лишь малая доля значений R попадает в заданный доверительный интервал, и процент брака будет соответственно велик. Напротив, при выборе большой надежности уменьшится процент брака, но зато увеличится разброс значений R (увеличится ширина доверительного интервала ± ΔX).

Если по условиям работы приборов, в которых используются эти резисторы, доверительный интервал должен быть малым, то для сохранения большой надежности необходимо улучшить технологию их производства.

Точность электроизмерительных приборов определяется классом их точности и соответствует надежности α = 0,997
(ΔX = 3σ ). В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 0,90; 0,95.

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок:

1. Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить среднее выборочное :

2. Найти абсолютную погрешность единичного измерения Δх_i : Δx_i = x_i – .

3. Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического:

.

4. Определить точность измерения ΔX при заданных n и α:
ΔX =

5. Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины: Х = ± ΔX или – ΔX x_i +ΔX.

Для удобства расчетов данные оформляются в виде таблицы:

№	xi	Δxi = xi -	Δxi^2		α,n	ΔX
.
Ср.			Σ Δxi^2=

Абсолютная ошибка Δх_i рассчитывается по модулю.

§ 6. Совместный учет систематической
и случайной погрешностей

Строгий учет систематической погрешности труден. Если систематическая погрешность обусловлена точностью прибора (что мы и будем предполагать), то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок, зная класс его точности. Если точность, обусловленная случайной погрешностью –ΔХ, а величина систематической погрешности –δ, то величина суммарной точности ΔХ* определяется формулой:

, (2.8)

где k_α = t_α(∞) – коэффициент Стьюдента при n = ∞.

Глава III. Статистическая обработка результатов
косвенных измерений

§ 1. Два способа оценки погрешности косвенного
измерения

В большинстве случаев имеют дело с косвенными измерениями. Пусть x, y, z – непосредственно измеряемые величины, а W = f (x, y, z) – их функция, то есть величина, измеряемая косвенно. Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W.

I способ. Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то значения W_i вычисляются для каждого отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измерения.

II способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Далее остановимся подробнее на этом способе.

§ 2. Частные погрешности и общая погрешность
косвенного измерения

Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные средние значения …, являющиеся, как было показано выше, случайными величинами. Очевидно, что и величина ( …), представляющая собой выборочное среднее искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W ± ΔW.
В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся лишь ее приближенным решением.

Рассмотрим сначала случай, когда W является функцией только одной переменной, то есть W = W(x). Разложим функцию W(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х = Х (Х – истинное

значение х). В случае, когда погрешность прямого измерения достаточно мала, можно ограничиться лишь линейным членом и считать, что

Отсюда (3.1)

Из (3.1) следует, что

(3.2)

где и – средние квадратичные погрешности величин
и .

Доверительный интервал величины W, соответствующий надежности α, определяется как

, (3.3)

где ΔW – точность величины х, соответствующая той же надежности α.

Если результат косвенного измерения W является функцией многих переменных, то есть W = W(x, y, z), то по формуле (3.3) можно вычислить погрешности ΔW_x, ΔW_y, ΔW_z…, обусловленные каждым аргументом и называемые частными погрешностями. Они равны:

(3.4)

и так далее.

В формулах (3.4) являются частными производными и вычисляются так, как будто другие аргументы – постоянные величины.

Общая погрешность косвенного измерения в этом случае вычисляется по формуле (см. Список литературы – 4):

и

. (3.5)

§ 3. Относительная погрешность косвенного
измерения

Очень часто бывает удобно вычислить относительную погрешность результата косвенного измерения

На основании известной формулы d·lnu = du/u можно сформулировать следующее правило расчета относительной погрешности. Допустим сначала, что W = W(x) – функция одной переменой. Тогда относительная погрешность

, (3.6)

то есть для нахождения η_W необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x), а затем продифференцировать его по х.

В случае многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ввести частные относительные погрешности, равные:

(3.7)

Тогда общая относительная погрешность определится как

. (3.8)

Расчет погрешности по формулам (3.7) и (3.8) особенно удобно производить в случае, когда функция имеет одночленную (логарифмическую) формулу. Пусть, например, ,
где А – константа. Используя правило (3.7), имеем:

Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (3.8), произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам, вычисленных по формулам (3.7). Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула (3.8) значительно упростится.

Определив относительную погрешность η_W, можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле:

ΔW = η_W · . (3.9)

Дата добавления: 2015-11-30