Классификация стационарных состояний

Теория динамических информационных систем основана на дифференциальных уравнениях вида:

,

где и_i - динамические переменные, например концентрации реагирую­щих веществ; F_i(n_i) - нелинейные функции, описывающие их взаимо­действие; τ_i - характерное время изменения переменных n_i , i = 1, 2,..., m.

Уравнения являются динамическими, то есть при задании конкретного вида функции Fi их решения, вообще говоря, однозначно определяются начальными условиями. Казалось бы, в такой ситуации ничего неожиданного быть не должно. Тем не менее, характерные для синергетики неожиданности здесь возникают, когда решения динами­ческих уравнений теряют устойчивость.

Анализ устойчивости уравнений движения (изменения), а также устойчивости стационарных состояний основан на исследовании пове­дения малых отклонений от соответствующего решения. Покажем это на примере стационарных состояний системы частиц (точек).

Алгоритм анализа устойчивости стационарных состояний системы:

1) Записываются динамические уравнения для переменных системы.

2) Находится стационарное решение системы уравнений.

3) Каждая переменная возмущается на малую величину и записывается в виде: , после чего подставляется в исходную систему.

4) В исходной системе слагаемые, не содержащие dn, сокращаются (как решения невозмущенной системы), а слагаемыми, содержащими dn в степени большей первой пренебрегаем (это анализ на линейную устойчивость).

5) Возмущения выбираются в виде: , где l - число Ляпунова и система решается относительно l. По знаку l делается вывод об устойчивости системы.

Подчеркнем важное свойство: числа Ляпунова являются характе­ристическими (или собственными) числами системы; они не зависят от начальных условий. Таким образом, устойчивость (или неустойчи­вость) — внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии малых внешних воздействий.

Стационарные состояния динамической системы могут быть разно­го типа.Аттрактором называется такое стационарное состояние, к которому система стремится прийти с течением времени. Аттракторы – устойчивые стационарные состояния. Для системы двух дифференциальных уравнений особые (стационарные) точки могут быть только четырех различных типов:

1. Корни λ₁ и λ₂ характеристического уравнения действительные и одного знака. Особая точка системы называется узлом.

2. Корни λ₁ и λ₂ действительные и разных знаков. Такая неустойчивая стационарная точка системы называется седлом. Траектории, проходящие через седло, называются сепаратрисами.

3. Корни λ₁ и λ₂ характеристического уравнения – комплексно-сопряженные (но не чисто мнимые). В этом случае особая точка называется фокусом.

4. Корни λ₁ и λ₂ чисто мнимые. Этот случай встречается только в консервативных (но не диссипативных) системах. Особая точка называется центром.

Аттракторы для такой системы могут быть только двух типов: точка (устойчивый фокус и узел) и предельный цикл. Предельный цикл возникает, когда хотя бы одно число Ляпунова имеет действительную положительную часть. При этом состояние системы не является стационарным, а представляет собой замкнутую кривую в фазовом пространстве. Оба этих аттрактора могут быть использованы для хранения информации.

Все перечисленные аттракторы – устойчивые стационарные точки, устойчивые предельные циклы и инвариантные торы – называются простыми аттракторами, поскольку динамика систем с такими аттракторами не является хаотической. Но в диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых n ³ 3, могут существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами. Такие аттракторы были названы «странными аттракторами». Эдвард Лоренц.

Сжатие фазового объема диссипативной динамической системы приводит к тому, что фазовые кривые с течением времени стягиваются к предельному множеству - странному аттрактору, и остаются в этой области навсегда. На самом же аттракторе движение является неустойчивым: любые две траектории системы расходятся экспоненциально быстро, оставаясь, тем не менее, на странном аттракторе.

Рассмотрим свойства одной из самых простых систем, обладающих странным аттрактором. Это система Лоренца, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается из уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости:

,

,

,

где σ – число Прандтля, r – приведенное число Рэлея, b – постоянная, характеризующая размеры физической системы.

В данной системе управляющим параметром является число r. При достижении этим числом определенного значения в системе начинается хаотическое поведение. Аттрактор имеет вид восьмерки конечной толщины. То есть это притягивающее множество, из которого система не может выйти, однако внутри множества ее поведение хаотично.

Понятие о динамическом хаосе.

Подобные системы могут описывать, например, три вязанных друг с другом бистабильных нелинейных элемента – нейрона.

Мерой хаотичности динамических систем является энтропия Колмогорова-Синая (КС-энтропия). Эта величина характеризует поведение точек в фазовом пространстве, которые были первоначально близки.

Рассмотрим в фазовом пространстве в начальный момент времени t=0 две близкие фазовые точки X₁(0) и Х₂(0), "выпустим" из них траектории и проследим, как при эволюции системы (t>0) будет изменяться расстоя­ние d(t)=ôx(t)ô=ôx₂(t)-x₁(t)ô между этими точками. Тогда если режим движения является хаотическим, d(t) с течением времени будет экспонен­циально возрастать, так что на больших временах

d(t) ≈ d(0)e^kt

Отсюда можно найти среднюю скорость экспоненциального разбегания траекторий

k ≈ t^-1ln{d(t)/d(0)}.

Но это определение, вообще говоря, не является приемлемым. В самом деле, при финитности движения (а только такое движение мы и рассмат­риваем) d(t) не может увеличиваться всегда. Поэтому при больших t эта величина в любом случае независимо от режима - хаотического или регулярного – будет близка к нулю. Однако, чем меньше мы выберем начальное расстояние d(0)=ôx(0)ô, тем дольше можно следить за возрастанием d(t), то есть в течение большего промежутка времени величина d(t) не достигнет максимального значения. Следовательно, необходимо положить d(0)→0 и t→¥:

h = lim t^-1ln{d(t)/d(0)}.

Величину h в физической литературе часто называют энтропией Колмого­рова-Синая, или КС-энтропией. Используя КС-энтро­пию, можно определить, каким является исследуемый режим движения – хаотическим или регулярным. В частности, если динамика системы являет­ся периодической или квазипериодической, то с течением времени расстоя­ние d(t) не возрастает, так что значение энтропии равно нулю, h = 0. Если движению системы отвечает устойчивая стационарная точка, то d(t)®0 и h < 0. Однако в случае хаотического поведения КС-энтропия всегда положительна, h > 0.

Энтропия h - величина размерная ([h] = с^-1) и по существу явля­ется не только качественной, но и количественной характеристикой режима движения: величина, обратная энтропии (при условии h > 0), определяет характерное время перемешивания (горизонт прогнозирования) t_mix = h^-1 в системе; по прошествии промежутка времени t >> t_mix начальная область W₀ расплывается по всей энергетически доступной гиперповерхности (в отсутствие диссипации) или по предельному подмножеству фазового пространства - странному аттрактору (для диссипативных динамических систем); при t >> t_mix описание системы может быть только вероятностным. Однако на малых временах t << t_mix поведение системы можно предсказать с дос­таточной точностью (не превышающей, естественно, точность б задания начального положения фазовой точки).

Смысл понятия «горизонт прогнозирования» - это время, в течение которого расстояние между близкими точками в фазовом пространстве увеличивается в e раз. Это время определяется как:

,

максимальное значение действительной части числе Ляпунова.

Многие информационные системы оказываются очень сложными. В этом случае сложно даже записать систему уравнений, а не только решить ее. Для моделирования таких систем часто применяется метод иерархии времен релаксации. В основе этого метода лежит разделение переменных на три группы: быстрые, средние и медленные. Например, если нас интересуют изменения системы, происходящие за 1-10 минут, то процессы, протекающие за секунды и доли секунд, считаются быстрыми, а процессы, для которых требуются часы и сутки, — медленными. Иная градация возникает, если нас интересуют секундные изменения; тогда уже минутные процессы мы отнесем к медленным. Разбив реакции на такие группы, мы можем заметить следующее.

1. Все медленно и очень медленно изменяющиеся концентрации считаются постоянными и равными их начальным значе­ниям.

2. В быстрых и очень быстрых реакциях успевают установить­ся стационарные концентрации. Другими словами, между соответст­вующими концентрациями быстро установятся определенные соот­ношения, и при изменении одной из них другие почти мгновенно к ней подстроятся. В этом случае часть дифференциальных уравнений можно заменить алгебраическими соотношениями, и система уп­ростится. Такая система называется редуцированной.

В результате останутся лишь процессы, имеющие примерно одина­ковые скорости; их, как правило, не много. Замену дифференциальных уравнений алгебраическими называют иногда принципом стационар­ных концентраций. Строгое математическое обоснование такой процедуры было дано А.Н.Тихоновым.

Пример: две переменные y – быстрая, x - средняя. Изоклины.

, .

Движение по фазовой плоскости. Скачок на одну из изоклин.

Дата добавления: 2015-11-14