Тема 1. КИНЕМАТИКА

1.1. Материальная точка движется вдоль оси ОХ, при этом зависимость её координаты от времени имеет вид: х = 2 - t + 3 t ³ (м). Чему равна скорость точки в момент времени, когда её ускорение равно нулю?

1.2. Координата материальной точки, движущейся по прямой вдоль оси ОХ, меняется по закону х = 1 + 8 t - 2 t ² (м). Какой путь пройдёт точка: а) за 1 с? б) за 3 с?

1.3. Движение материальной точки по плоскости описывается уравнением (t) = (19 - 1,5 t ²) + (-2 + 2 t ²) , где и – единичные вектора вдоль осей ОХ и ОY прямоугольной декартовой системы координат (расстояние измеряется в метрах). Запишите уравнения, описывающие изменение со временем скорости и ускорения точки. Пользуясь этими уравнениями, вычислите значения модулей скорости и ускорения точки через 2 с после начала движения.

1.4. Скорость локомотива при движении по прямой меняется по закону u = 0,02 t + 0,003 t ² (м/с). Чему равна средняя скорость локомотива за вторую минуту движения?

1.5. Локомотив, двигаясь со скоростью 36 км/ч, начинает тормозить и до полной остановки за 20 с проходит расстояние 80 м. Можно ли считать его движение равнозамедленным?

1.6. Начиная движение из точки с координатой х = 25 м, дрезина следует по прямому участку пути так, что её ускорение меняется со временем по закону a = 0,01 + 0,002 t (м/с²). а) Вычислите координату точки, в которой дрезина окажется через минуту после начала движения. б) Во сколько раз будут отличаться скорость дрезины к концу этой минуты от её средней путевой скорости?

1.7. Две трети пути от станции до станции поезд движется со скоростью 9 м/с, но при этом запаздывает (по сравнению с расписанием). Для того, чтобы «нагнать время», оставшееся расстояние он движется со скоростью 129,6 км/ч. Чему при этом оказывается равной средняя путевая скорость поезда?

1.8. От светофора одновременно начинают параллельно двигаться путевой обходчик и маневровый тепловоз, при этом человек идет с постоянной скоростью 3 м/с, а тепловоз разгоняется с постоянным ускорением 0,5 м/с². Через какое время тепловоз поравняется с обходчиком, и какая у него будет при этом скорость?

1.9. Проехав железнодорожный переезд, первые 200 м локомотив двигался с постоянной скоростью u, а затем тормозился с ускорением 0,5 м/с². При какой скорости локомотива u время, прошедшее с момента пересечения им переезда до полной остановки, будет наименьшим?

1.10. По параллельным путям железной дороги в одном и том же направлении без остановки следуют тепловоз и электровоз. В момент времени, когда тепловоз поравнялся с будкой обходчика, он двигался равноускоренно с ускорением 0,6 м/с² и скоростью 1,8 км/ч. Электровоз проезжает мимо будки через 10 с после тепловоза, его скорость в этот момент времени равна 72 км/ч, но он тормозит: движется равнозамедленно с ускорением 0,2 м/с². Считая оба локомотива материальными точками, определите, догонит ли электровоз тепловоз.

1.11. Расстояние между двумя станциями равно 3 км. Отправляясь от первой станции, первую часть этого расстояния электричка проходит равноускоренно с ускорением а ₁, а вторую – равнозамедленно с вдвое большим ускорением, останавливаясь у второй станции. При этом максимальная скорость электрички составляет 54 км/ч. Определите ускорение а ₁ электрички.

1.12. С площадки открытого строительного лифта, опускающегося вертикально вниз с постоянной скоростью 2 м/с, в момент времени, когда он находился на высоте 20 м, вертикально вверх бросили камушек со скоростью 19,6 м/с относительно лифта. На какой высоте окажется камушек в тот момент времени, когда он догонит лифт? Размерами лифта и сопротивлением воздуха пренебречь.

1.13. Первое тело падает с высоты 180 м без начальной скорости. Одновременно с земли вертикально вверх бросают второе тело с начальной скоростью 20 м/с. Каким окажется расстояние (по вертикали) между телами через 3 с? Сопротивлением воздуха и размерами тел пренебречь.

1.14. Скорость течения реки от берегов к центру возрастает по закону u = 2 y (м/с), где y – расстояние до ближайшего берега. Ширина реки 20 м. В направлении, перпендикулярном берегу, в воду ныряет пловец, который пытается пересечь реку, скорость пловца относительно воды равна 1 м/с. На какое расстояние вниз по течению снесёт пловца, пока он не достигнет противоположного берега?

1.15. Из мелкокалиберной винтовки стреляют вертикально вверх. Определите, через какое время t пуля упадет на землю, если известно, что максимальная высота её подъема составила 196 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.16. У края обрыва камень бросают практически вертикально вверх, в результате чего он, опускаясь вниз, пролетает мимо человека, который его бросал, и падает на дно оврага. Выбрав ось координат с началом в точке бросания, и направив её вертикально вверх, начертите зависимости от времени: а) для модуля вектора скорости камня; б) для пути, пройденного камнем за время падения; в) для модуля вектора перемещения камня.

1.17. Камень бросают вертикально вверх с начальной скоростью 24,5 м/с. Вычислите: а) путь, который проходит камень за третью секунду полёта, и б) – его перемещение за это же время. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.18. Из окна поезда, движущегося по прямой со скоростью 72 км/ч, перпендикулярно направлению его движения бросили предмет с направленной горизонтально скоростью 10 м/с относительно вагона. Чему будет равна скорость этого предмета относительно земли через 0,5 с полёта?

1.19. Орудие, установленное на башне высотой H = 22,5 м, производит выстрел вверх под углом a = 30° к горизонту. Скорость вылета снаряда из ствола u ₀ = 15 м/с. Найти: а) время t полета снаряда; б) дальность L полета снаряда в горизонтальном направлении; в) скорость u снаряда в момент падения на землю; г) угол j, составляемый скоростью с поверхностью земли в момент падения снаряда на землю; д) максимальную высоту H _MAXполета снаряда над уровнем земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.20. Орудие, установленное на земле, производит выстрел под углом 30° к горизонту. Скорость вылета снаряда из ствола 15 м/с. На расстоянии 10 м от орудия по горизонтали расположена вертикальная стена. Найти, на какой высоте (отсчитываемой от поверхности земли) снаряд попадет в эту стену. По восходящей или по нисходящей части траектории движется снаряд в момент его попадания в стену?

1.21. Камень бросают с поверхности земли под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Начертите графики зависимости от времени: а) вертикальной компоненты скорости камня; б) горизонтальной компоненты скорости камня; в) модуля полной скорости камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.22. Камень бросили горизонтально со скоростью u = 10 м/с. Вычислите тангенциальную составляющую ускорения а _Т и радиус R кривизны траектории камня через t =3 секунды полёта.

1.23. Во сколько раз путь, проходимый за сутки концом минутной стрелки настенных часов, больше пути, проходимого концом часовой стрелки за это же время? Длина минутной стрелки 10 см, длина часовой – 6 см.

1.24. Колесо вращается так, что его угловая скорость меняется со временем по закону w = 2 + 2 t (рад/с). Сколько полных оборотов совершит колесо за первые 20 с вращения?

1.25. Может ли современный локомотив развить такую скорость, чтобы, двигаясь по участку проложенного вдоль экватора железнодорожного плотна, полностью компенсировать вращение Земли: то есть, двигаться так, чтобы солнце для него всё время оставалось на одной высоте над горизонтом?

1.26. Барабан стиральной машины при отжиме белья вращается с угловой скоростью 3140 рад/мин. После окончания отжима, вращаясь равнозамедленно, барабан сделал до остановки 50 оборотов. Определите, сколько проходит времени с окончания отжима до полной остановки барабана.

1.27. Диск радиусом 50 см, вращавшийся с угловой скоростью 10 рад/с, начинает тормозиться с постоянным угловым ускорением 3 рад/с². Для точек на ободе диска определите, какими станут к концу второй секунды торможения: а) их линейная скорость, б) их тангенциальное, нормальное и полное ускорения, в) угол между векторами полного ускорения и линейной скорости.

1.28. Угол поворота колеса радиусом 10 см вокруг оси, совпадающей с осью его симметрии, меняется со временем по закону j = 10 + 2 t + 4 t ² + t ³ (рад). Найдите полное линейное ускорение точек на ободе колеса в момент времени, когда их линейная скорость станет равной 1,3 м/с.

1.29. Ведро, привязанное к веревке, которая намотана на горизонтальный ворот радиусом 10 см, двигаясь равноускоренно, опускается в колодец на глубину 3 м. Определите, каким к этому моменту времени станет отношение значений нормального и тангенциального ускорений точек на ободе ворота, считая, что начальная скорость ведра была равна нулю.

1.30. Точка движется по окружности так, что модуль её скорости меняется по закону u = 0,5 t (см/с). Найти полное ускорение точки в момент времени, когда (с начала движения) она пройдет 0,2 длины окружности.

Дата добавления: 2015-11-14