1 страница

Вопрос 1.8

Что такое работа? Функцией чего она является? Вычисление работы.

Ответ:

Работа процесса - энергия, передаваемая одним телом другому, при их взаимодействии, не зависящая от температуры этих тел и не связанная с переносом вещества от одного тела к другому.

L – работа, Дж (Вт ч)

l – удельная работа, Дж/кг

(7)

Работа изменения объема - работа сил давления при изменении объема системы в некотором термодинамическом процессе.

Получим выражение для определения работы деформации. Пусть система в состоянии 1().В ходе некоторого процесса система обменивается теплотой, в результате чего система переходит в состояние 2 .Поверхность системы - S, перемещается на величину dn, объем увеличился на dV. В ходе перемещения против сил давления совершается работа dL:

(8)

(9)

(10)

Работа:

(11)

Удельная работа

(12)

Где v- удельный объем

На основании известной геометрической интерпретации интеграла работа изменения объема в pv – диаграмме изображается площадь ю фигуры, лежащей между кривой процесса и осью абсцисс.(рис. 1) Работа – характеристика процесса. Она зависит от пути перехода.

Рис. 1

Техническая работа – та работа, которая может быть отведена от системы к некоторому внешнему объекту.

– техническая работа, Дж

– удельная техническая работа, Дж/кг

(13)

(14)

Где – работа проталкивания

(15)

Отсюда следует, что техническая работа в некотором термодинамическом процессе определяется выражением:

(16)

Минус означает, что знак изменения давления противоположен знаку работы. Используя для технической работы геометрическую интерпретацию интеграла, легко установить, что работа изменения объема в pV-диаграмме изображается между кривой процесса и осью ординат и тоже зависит от процесса(рис. 2).

Рис. 2

Задача 1.19

Генераторный газ состоит из 57% Н₂, 23% СН₄, 6% СО₂, 2% СО и 12% N₂ по объему. Определить среднюю молекулярную массу, газовую постоянную, плотность смеси, а также массовые до­ли компонентов при p=0,1 МПа и t=17° С.

Решение:

Известно, что

(17)

Тогда в нашем случае

Газовая постоянная смеси равна:

Считая генераторный газ идеальным, из уравнения первого закона термодинамики можем записать

(18)

Тогда плотность газа

(19)

С помощью соотношения между объемными и массовыми долями получим массовую долю каждого газа, входящего в генераторный газ:

(20)

Ответ: = 11,38 кг/кмоль

Вопрос 1.19

Что такое объемный и массовый составы смеси идеальных газов и как можно перейти от одного к другому?

Ответ:

Состав смеси – одна из важнейших и важнейших ее характеристик. Состав смеси может быть задан тремя видами: массовыми, объемными, молярными концентрациями.

Концентрация – величина, характеризующая относительное содержание данного компонента в многокомпонентной термодинамической системе. Измеряется в долях или процентах. Очевидно, что

(21)

Массовая концентрация (массовая доля, ) – концентрация, выраженная отношением массы компонента () к массе всей смеси ().

(22)

Объемная концентрация (объемная доля, ) – концентрация, выраженная отношением парциального объема составляющей в данной системе к объему смеси.

(23)

Где - парциальный объем j-ого компонента, определяемый при температуре и давлении смеси.

(24)

Очевидно, что

(25)

Разделив уравнение (23) на уравнение (24), получим

(26)

Отсюда следует, что парциальные объемы компонентов прямопропорциональны их парциальным давлениям.

(27)

(28)

(29)

Задача 1.26

3 кг водорода с начальной температурой t₁=0°С и абсолютным давлением p₁=0,1 МПа нагреваются при постоянном давлении до температуры t₂=200⁰ C. Определить начальный и конечный объем газа, количество подводимого к нему тепла и изменение его энтропии.

Решение

Изобразим данный процесс в pv- и Ts-диаграммах.(рис. 3,рис. 4)

Рис. 3

Рис. 4

Считая водород идеальным газом, можем записать для него уравнение состояния.

(30)

Процесс изобарный, поэтому

(31)

Из уравнения (29) следует

(32)

Элементарное количество подводимой теплоты определяется из выражения

(33)

В нашем случае

(34)

Тогда

(35)

Изменение энтропии вычисляется по (36)

(36)

Ответ:

Вопрос 1.26

Как, зная средние теплоемкости от 0 до t°, вычислить среднюю теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂. Какая из теплоемкостей — от 0 до t₁°, от 0 до t₂° или от t₁ до t₂° — будет иметь наибольшее значение и почему? Проиллюстрируйте это на графике.

Ответ:

(37)

Теплоемкость зависит от параметров, при которых протекает процесс, например от давления и температуры. Эта зависимость чаще все описывается полиномом:

(38)

Либо линейно:

(39)

Линейная зависимость с от t изображена на (Рис. 5).

Рис. 5

Также на этом рисунке отмечены .

Очевидно, что наибольшей будет .Это объясняется тем, что с увеличением верхнего предела температуры теплоемкость будет увеличиваться, а с уменьшением нижнего - уменьшаться.

Задача 2.8

2 кг метана с начальной температурой t₁=400° С с абсолютным давлением p₁=0,6 МПа адиабатно расширяются так, что внутренняя энергия его уменьшается на 50 кДж. Определить начальный и конечный удельные объемы газа, а также конечные температуру и давление его. Найти также изменение энтальпии газа.

Решение

Изобразим этот процесс в pv- и Ts – диаграммах (рис. 6, рис. 7)

Рис. 6

Рис. 7

Из первого закона термодинамики следует, что работа адиабатного процесса идет только на изменение внутренней энергии:

(40)

По условию задачи 50 кДж, из уравнения 38 следует L= 50 кДж.

Известно, что

(41)

Из(13), (39) получим

(42)

Откуда следует

(43)

Тогда

= 657,27К

Для адиабатного процесса

(44)

Из (42) следует

(45)

Здесь к – показатель адиабаты. Для метана, поскольку он многоатомный газ, к=1,33

Тогда

Из уравнения Менделеева- Клайперона для одного килограмма газа следует, что

(46)

Тогда

Известно, что в адиабатном процессе

(47)

Найдем конечный удельный объем газа.

Зависимость между работой и технической работой выражается формулой

(48)

Тогда запишем второй закон термодинамики.

(49)

Т.к. Q=0, то

(50)

Из (48) найдем изменение энтальпии

Ответ:

Вопрос 2.8

Линия какого процесса – адиабатного или изотермического – будет идти круче в pv -диаграмме и почему? За счет чего совершается работа в процессе адиабатного и изотермического расширения?

Ответ

Для нахождения линии изотермического процесса в pv -диаграмме определим производную dp/dv. Запишем уравнение состояния

(51)

Из (51) следует

(52)

Дифференцирование (52) дает

(53

С учетом уравнения состояния идеального газа находим

(54)

Cотношение (54) указывает, что наклон изотермы в pv- диаграмме всегда отрицателен и возрастает с увеличением давления, т.е. изотерма представляет гиперболу, проходящую слева - направо, сверху - вниз.

Найдем производную dp/dv для адиабатного процесса. Из(51)имеем

(55)

Дифференцирование (52) дает

(56)

С учетом уравнения адиабатного процесса (57)

(57)

можно записать

(58)

Cотношение (58) указывает на то, что наклон адиабаты в pv -диаграмме, как и для изотермы, всегда отрицателен и возрастает с увеличением давления. Однако адиабата представляет гиперболу более крутую, чем изотерма, поскольку у последней абсолютное значение производной dp/dv в любой точке меньше в k раз, что вытекает из сравнения производных адиабатного и изотермического процесса.

Т.к. , то изменение внутренней энергии для изотермического процесса равно нулю:

(59)

Запишем первый закон термодинамики для закрытой системы.

(60)

Уравнения (59), (60) позволяют записать

(61)

Выражение (61) говорит о том, что работа в изотермическом процессе осуществляется полностью за счет теплоты процесса.

Так как в адиабатном процессе dq = 0, то из первого закона термодинамики (60) следует, что работа адиабатного процесса полностью идет на изменение внутренней энергии ТС

dl = - du (62)

Изобразим изотерму и адиабату в pv-диаграмме (рис. 8)

Рис. 8

Задача 2.19

В процессе расширения кислорода были зафиксированы три равновесных состояния, для которых параметры имеют следующие значения:1) p₁=2 МПа, t₁=487° С; 2) p₂=1 МПа, v₂=0,213 м ³/кг; 3)v₃=0,3 м³/кг, t₃=576° С. Доказать, что этот процесс является политропным, и определить показатель политропы.

Решение

Для доказательства определим значения .

Считая кислород идеальным газом, из уравнения (51) для одного килограмма газа получим:

(63)

(64)

Предположим, что процесс политропный, тогда определим показатель политропы для процесса из выражения

(65)

Откуда

(66)

Из (64) выразим n

(67)

Тогда =0,9

По определению политропного процесса (68)

(68)

Тогда должно выполняться равенство

(69)

Проверим это

Поскольку равенство выполняется, то этот процесс является политропным

Построим график данного процесса в p-v- и T-s- диаграммах (рис. 9, рис. 10).При этом заметим, что 0<n<1, причем ближе к единице, то есть политропа будет приближаться к изотерме.

Рис. 9

Рис. 10

Вопрос 2.19

Почему при наличии двух источников тепла единственно возможным обратимым циклом является цикл Карно?

Ответ

Изобразим заданный цикл в Ts – диаграмме (рис. 11)

Рис. 11

Цикл Карно— идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадают соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

Одним из важных свойств цикла Карно является его обратимость: он может быть проведён как в прямом, так и в обратном направлении, при этом энтропия адиабатно изолированной (без теплообмена с окружающей средой) системы не меняется.

Для того чтобы цикл был обратимым, из него должна быть исключена передача тепла при наличии разности температур. Значит, передача тепла должна осуществляться в изотермическом процессе. Для того, чтобы менять температуру рабочего тела от температуры нагревателя до температуры холодильника и обратно, необходимо использовать адиабатические процессы (они идут без теплообмена и, значит, тоже не влияют на энтропию). Мы приходим к выводу, что любой обратимый цикл (состоящий только из рабочего тела, нагревателя и холодильника) должен быть составлен из циклов Карно.

Задача 2.26

Используя дифференциальное уравнение вывести зависимость внутренней энергии от температуры и удельного объема для реального газа, подчиняющегосяуравнению состояния Ван-дер-Ваальса . Определить для 1 кг углекислоты внутреннюю энергию при t=400° С и v=0,1 м ³/кг, если а=191 Н*м ⁴/кг². Теплоемкость для СО₂ взять при заданной температуре из табл. 5 (см. приложение).

Решение

Из уравнения состояния (70) следует выражение (71)

(70)

(71)

Из выражения (71) следует (72)

(72)

Подставим в соотношение (73) значение производной (72)

(73)

Тогда, интегрируя полученное выражение (74) получим новое выражение (75)

(74)

(75)

Где – производная функция от температуры. Если V® , то реальный газ по свойствам стремится к идеальному и для него справедливо выражение (76) Поэтому запишем выражение (77).Откуда и получим искомое(78)

(76)

(77)

(78)

При помощи полученного выражения можем найти внутреннюю энергию углекислоты при заданных параметрах. При t =400⁰ C с_vµ = 40,515кДж/(кмоль К)

Ответ

Вопрос 2.26

Что собой представляет уравнение Ван-дер-Ваальса, если его выразить по убывающим степеням удельного объема? Какие могут иметь значения корни этого уравнения для различных изотерм? Какие участки изотерм

Ван-дер-Ваальса могут быть практически получены, и какие из них лишены физического смысла и почему? (Анализ изотерм Ван-дер-Ваальса проведите с помощь pv-диаграммы)

Ответ

Выражение (79) является уравнением третей степени относительно удельного объема v и при заданных p и Т должно иметь три корня.

(79)

При этом возможны три случая: все корни действительны и различны; все корни действительны и равны между собой; один корень действителен и два мнимых (комплексных).

Рис. 12

На рис. 12 приведены изотермы, построенные по уравнению Ван-дер-Ваальса для разных температур. Из этого рисунка видно, что вид изотерм меняется в зависимости от температуры. На изотермах T< T_кр одному значению давления p соответствуют три значения объема v₁ ,v₂ ,v_3. , т.е. уравнение Ван-дер-Ваальса имеет три действительных и различных корня при докритических давлениях (первый случай).

Для критической изотермы Т=Т_кр характерно наличие точке перегиба К, в которой объемы v₁ ,v₂ ,v_3. совпадают. Здесь имеем второй случай решения уравнения Ван-дер-Ваальса, когда три действительных корня равны.

Сверхкритические изотермы вандерваальсового газа, т.е. изотермы Т>Т_кр, имеют вид плавных кривых, совпадающих с изотермами идеального газа pv = const (третий случай).Для таких изотерм существуют только один вещественный корень. Два других корня являются мнимыми, не имеющими физического смысла.

Задача 3.8

Водяной пар при температуре t=300°С имеет энтропию 7 кДж/(кг K). Определить параметры пара и его состояние.

Решение

Из hs-диаграммы для водяного пара по энтропии и температуре найдем давление пара.

Для того, чтобы узнать, в каком состоянии находится пар найдем энтропию насыщенного пара, насыщенной жидкости при данном давлении и температуре и сравним с действительной.

Известно, что

(80)

Тогда энтропия насыщенной жидкости

Энтропия насыщенного пара

Как видим, действительная энтропия больше и энтропии насыщенной жидкости, и энтропии насыщенного пара. Отсюда делаем вывод, что данный пар находится в перегретом состоянии.

Дата добавления: 2015-11-14