Неведение атомов

«Заразный» характер информации относится и к сталкивающимся атомам, и к битам в вычислении. Идею о том, что энтропия отдельных атомов газа имеет тенденцию увеличиваться, впервые выдвинул Людвиг Больцман в 1880-х гг. Больцман определил величину, которую назвал «H», как степень, до которой мы знаем положение и скорость любого данного атома газа.

Величина «H» Больцмана фактически является энтропией отдельного атома, умноженного на минус один. Больцман показал, что, когда положения и скорости атомов не коррелирует, то есть независимы друг от друга, столкновения между ними уменьшают «H» и увеличивают энтропию отдельных атомов. Последующие столкновения, утверждал он, продолжат увеличивать эту энтропию. Он пришел к выводу, что его H -теорема является обоснованием второго начала термодинамики и доказывает математически, что энтропия должна увеличиваться.

Проблема H -теоремы Больцмана состоит в том, что она, строго говоря, не является истинной для атомов газа. Больцман был прав в том, что столкновения между первоначально некоррелирующими атомами увеличивают энтропии отдельных атомов. Эти энтропии увеличиваются из-за «заразного» характера информации. Когда сталкиваются два атома, любая неопределенность по поводу положения и скорости первого атома имеет тенденцию «заражать» второй атом, делая его положение и скорость более неопределенными и тем самым увеличивая его энтропию. Такое увеличение энтропии второго атома похоже на увеличение энтропии второго бита, описанного выше, когда этот бит был подвергнут операцией «условное не», где неизвестный бит выступал в роли управляющего.

Ошибка H -теоремы связана с последующими столкновениями атомов. Если два атома столкнулись и обменялись информацией, последующие столкновения могут уменьшить энтропию отдельных атомов. Чтобы понять, как взаимодействие между двумя атомами, которые сталкивались раньше, может уменьшить их энтропию, вернитесь к паре битов, которую мы обсуждали выше. При первом применении операции «условное не» энтропия управляющего бита заразила второй бит, увеличив его энтропию на один бит. Но если операцию «условное не» применить снова, второй бит восстанавливает свое первоначальное, известное состояние, уменьшая свою энтропию на один бит.

В принципе, похожую обратную операцию, результатом которой будет аналогичное уменьшение энтропии, можно придумать и для атомов. Когда Больцман представил свою H -теорему как доказательство второго начала термодинамики, его коллега Йозеф Лошмидт указал, что H -теорема не может быть всегда истинной, ведь обращением скоростей атомов можно «взять назад» их столкновение и уменьшить их энтропии. (Гипотетическое существо, которое могло бы изменить скорости атомов на противоположные, называют демоном Лошмидта. В те времена у всех были свои демоны.) Услышав этот (правильный) аргумент, Больцман был вынужден прибегнуть к сарказму: «Валяйте, обратите их».

Первоначальный довод Больцмана в пользу его H -теоремы был основан на предположении о природе столкновений атомов, получившем название «гипотезы молекулярного хаоса». Даже если положения и скорости двух атомов могли бы иметь корреляцию до их столкновения, утверждал Больцман, многократные столкновения между многими атомами должны ослаблять эту корреляцию, и, в сущности, два сталкивающихся атома газа не должны быть коррелированными в момент столкновения. Сразу после столкновения положения и скорости двух атомов коррелируют. Но поскольку они продолжают сталкиваться с другими атомами, их корреляция друг с другом должна ослабевать. Больцман утверждал, что к моменту следующего столкновения эти два атома можно рассматривать как не имеющие корреляции, то есть как будто они никогда не сталкивались раньше. Если предположение о молекулярном хаосе справедливо, то энтропии отдельных атомов почти всегда увеличиваются. Это увеличение можно в принципе отменить, если обратить процесс столкновения, а-ля Лошмидт. Но на практике такое обращение происходит редко.

Гипотеза молекулярного хаоса – хорошая гипотеза, она верна для многих сложных систем, например для газов. Но она не является истинной для всех физических систем. Как мы увидим, во многих физических системах можно обратить взаимодействия между частями системы, тем самым отменяя увеличение энтропии этих частей.

Но в целом предположение Больцмана работает хорошо. Даже после того как атомы столкнулись один раз, их последующие столкновения имеют тенденцию увеличивать энтропии каждого из них. Почему гипотеза молекулярного хаоса так хорошо работает? В своей магистерской работе «Распространение неведения» и диссертации доктора философии «Черные дыры, демоны и утрата когерентности» я ответил на этот вопрос, предложив подход к объяснению второго начала термодинамики через распространение неведения. Этот метод показывает, что H-теорема Больцмана «почти истинна» для «почти всех» физических систем.

Снукер

Пожалуй, надо немного рассказать о том, как формировался мой подход к теме. Окончив Гарвард, я поступил в Кембриджский университет, получив стипендию Маршалла. Эти стипендии дает британское правительство в благодарность за американский план Маршалла, который помог восстановить Европу после Второй мировой войны. (Однако дальше стипендий эта благодарность не распространяется. В самый первый день в Кембридже я зашел в паб под названием «Локомотив». У парня, сидевшего рядом со мной за стойкой, был зеленый «ирокез» и ошейник. Когда я сказал ему, что его правительство платит за то, чтобы я, американец, учился в Кембридже, он весьма неблагодарно настоял на том, чтобы я покинул помещение.) Первый год в Кембридже я провел, слушая спецкурс по математике и физике под названием «Part III Maths», одна из целей которого состоит в том, чтобы выявлять перспективных ученых и избавляться от остальных. Студенты, которые получают лучшие оценки по Part III, потом, как правило, переходят к написанию диссертации. Самых лучших студентов в Кембридже называют «ковбоями». Максвелл, например, был типичным «ковбоем». Что касается остальных – ну, наградой для худшего студента по окончании курса была деревянная ложка в четыре фута длиной.

Чтобы стать «ковбоем», нужно было прилагать неимоверное количество усилий. Многие из моих сокурсников буквально дневали и ночевали в библиотеке в течение всего курса. Что-то личное в них можно было увидеть только после диплома. О веселой студенческой жизни в Кембридже я только читал – в романах Э. М. Форстера и поэмах Уилфреда Оуэна. Конечно, я хотел избежать наказания ложкой, но если и существовала область физики, которая меня интересовала, то это было взаимодействие между механикой и динамикой жидкости, проявляющееся в соревнованиях по гребле на мужских восьмерках или в путешествиях на лодке в Грантчестер. После утренних лекций я шел в паб у реки, вниз от здания факультета прикладной математики и теоретической физики, чтобы съесть корнуоллского мясного пирога и выпить пинту Гиннеса. Затем я направлялся в гребной клуб или в общежитие, чтобы сыграть пару партий в снукер.

Снукер – игра, похожая на бильярд. В нее тоже играют киями и шарами, но игровой стол намного больше бильярдного. Длина кия позволяет дотянуться до дальнего конца стола, и его вполне можно использовать для прыжков с шестом. Снукер имеет нечто общее с крикетом, боулингом на траве и выпасом овец, и это – классическая черта британские спортивных телепрограмм: большое зеленое пространство, по которому разбросаны маленькие объекты (люди, шары, овцы). Цель снукера, как и бильярда, состоит в том, чтобы загонять шары в лузы. Эта процедура называется поттинг. Но в снукере, в отличие от бильярда, нужно выбирать между шарами разного цвета: желтыми, синими, розовыми и черными.

Снукер прекрасно иллюстрирует тайну увеличения энтропии. Столкновение двух шаров для снукера в пространстве двух измерений содержит почти все элементы столкновения между двумя атомами гелия в трехмерном пространстве. В начале игры шары находятся в определенных позициях и имеют нулевую скорость: у них очень небольшая энтропия. После нескольких ударов они распределяются по всему столу, причем их положение зависит от истории столкновений между шарами и от небольших вариаций в том, как по ним ударили кием. Неопределенность, связанная с ударом кием по битку (белому шару), – несколько битов неизвестной информации – заражает все шары, с которыми затем сталкивается биток.

В начале XX в. Эмиль Борель (автор идеи о печатающих обезьянах) предположил, что увеличение энтропии может являться результатом взаимодействий между системами, распространяющими информацию вокруг себя. Взяв это замечание Бореля за исходное, в своей диссертации я показал, что взаимодействия между частями системы, например атомами газа или шарами на столе для снукера, имеют тенденцию увеличивать энтропии этих частей, даже если они взаимодействовали раньше. Этот результат подтверждает гипотезу молекулярного хаоса Больцмана, ведь он показывает, что столкновение между двумя атомами почти всегда будет увеличивать их энтропию, даже если эти атомы сталкивались раньше. В итоге энтропии отдельных частей системы, например газа, имеют тенденцию увеличиваться до максимального возможного значения.

Сталкиваясь друг с другом, атомы обмениваются информацией и распространяют энтропию. Любое незнание о состоянии одного атома распространяется на состояние другого. Распространение неведения также знакомо игрокам в снукер, где действуют те же самые правила. Биток передает часть своей скорости (а значит, и некоторые из своих битов) красному шару. Красный шар ударяется о розовый шар, распространяя некоторые из своих битов, включая и те, которые он получил от битка, на скорость розового шара. По мере того как происходят новые столкновения, количество битов неведения, распределенное между шарами, растет, до тех пор пока биты (и шары) не распространятся по всему столу. Биты заразны.

Особенно интересный случай такого процесса заражения битами возникает, когда часть информации о системе является макроскопической (то есть информацией, к которой мы можем получить доступ напрямую, с помощью наблюдений и измерений), а остальная информация микроскопическая, «невидимая» (иначе говоря, энтропия). Можно ожидать, что со временем микроскопическая, скрытая информация, начнет заражать макроскопическую, видимую. В конечном счете информация и энтропия битов всей системы достигнет максимально возможных значений.

Такое заражение макроскопических битов микроскопическими – особенность хаоса. Мы помним, что хаотическая система – та динамика, которая имеет тенденцию усиливать небольшие отклонения, отчего микроскопическая информация перекачивается на макроскопический уровень. В хаотической системе невидимая информация, находящаяся в микроскопических битах, заражает макроскопические биты, заставляя видимые характеристики системы изменяться непредсказуемым образом, – точно так же, как эффект бабочки влияет на траекторию движения урагана.

Столкновение шаров для снукера – тоже хаотический процесс. Предположим, вы немного ошиблись, когда били по первому шару, и начальная скорость и направление движения битка оказались не совсем такие, как вы хотели. Эта ошибка усилится, когда биток ударит по красному шару. В направлении, в котором теперь движется красный шар, будет более заметная ошибка, чем ошибка в начальной скорости и направлении битка. Чем больше столкновений, тем больше усиливается начальная ошибка. Если вы планировали ударить красным шаром по розовому шару и забить этим шаром третий шар в лузу, вам это вряд ли удастся: к третьему столкновению, как правило, начальная ошибка увеличится настолько, что задать подходящую скорость и направление движения последнего шара не получится совсем.

Неведение распространяется, энтропия отдельных элементов системы растет. При таком взгляде на второе начало термодинамики увеличение энтропии похоже на эпидемию. Биты неведения – словно вирусы, которые копируются и распространяются в процессе взаимодействия. Заражение продолжается до тех пор, пока все элементы системы не будут инфицированы. В этот момент энтропии частей системы, взятые по отдельности, будут близки к своему максимальному значению.

Дата добавления: 2015-11-14