Теоретичні відомості

Фізичним маятником називають тверде тіло, довільної форми (див. рис. 1), підвішене в точці О, що знаходиться на відстані від центру мас тіла С, яке, під дією сили тяжіння виконує коливання у вертикальній площині.

Рис. 1.

При відхиленні тіла масою від положення рівноваги на кут від вертикалі виникає момент сили тяжіння , який намагається повернути його в стан рівноваги. Згідно визначенню проекція моменту сили тяжіння на вісь обертання, яка перпендикулярна до площини рисунку і проходить через точку О, дорівнює:

, тобто, . (1)

Разом з моментом сили тяжіння на тіло буде діяти момент сили опору, модуль якого прямо пропорційний до кутової швидкості обертання. Проекція моменту сили опору на вісь обертання дорівнює:

, (2)

де: - коефіцієнт опору; - проекція кутової швидкості.

Основний закон динаміки обертального руху для тіла буде мати вигляд:

, (3)

де: - момент інерції тіла; - проекція кутового прискорення.

Підставляючи вирази (1) і (2) в закон динаміки (3) отримаємо:

. (4)

Запровадимо такі позначення:

; (5)

величину називають коефіцієнтом затухання;

; (6)

величина це циклічна частота власних коливань фізичного маятника;

тоді рівність (4) буде мати вигляд:

. (7)

Рівняння (7) називають диференціальним рівнянням затухаючих коливань. Його розв’язком буде функція:

;

де: - циклічна частота затухаючих коливань, яка дорівнює:

;

- амплітуда затухаючих коливань в момент часу , яка дорівнює:

; (8)

- початкова амплітуда коливань; - початкова фаза коливань;

- початкова амплітуда коливань;

- залежність від часу кута відхилення тіла.

Позначимо через відрізок часу, за який амплітуда коливань зменшиться в раз ( - основа натурального логарифму), тоді із залежності амплітуди коливань від часу (8) випливає його зв’язок із коефіцієнтом затухання:

, (9)

або: . (10)

Відрізок часу в літературі зветься часом релаксації. Крім часу релаксації основними характеристиками затухаючих коливань є логарифмічний декремент затухання та добротність коливальної системи .

Логарифмічний декремент затухання це логарифм натуральний від відношення амплітуд коливань - амплітуди в момент часу та - амплітуди коливань в момент часу , де - період затухаючих коливань, що дорівнює:

;

Логарифмічний декремент затухання, згідно визначенню, дорівнює:

;

Використовуючи формулу (8) можна знайти зв’язок між логарифмічним коефіцієнтом затухання і періодом коливань:

, тобто: . (11)

Позначимо через - кількість повних коливань фізичного маятника за час релаксації, згідно визначенню вона дорівнює:

. (12)

Підставивши рівність (9) у (12) отримаємо ще один вираз для логарифмічного декременту затухання:

, тобто: . (13)

Добротність коливальної системи - безрозмірна фізична величина, яка характеризує відносне зменшення енергії коливань за один період. Згідно визначенню вона дорівнює:

, (14)

де: - повна енергія коливань в момент часу . Повна енергія коливань прямо пропорційна квадрату амплітуди коливань, тобто:

, (15)

де: - коефіцієнт пропорційності.

Енергія коливань в момент: буде дорівнювати:

, (16)

Підставляючи вирази (15) і (16) у визначення (14) отримаємо:

. (17)

Оскільки , то із виразу (17) випливає, що: . (18)

Якщо , то: . (19)

Підставивши наближену рівність (19) у вираз (18) одержимо:

, тобто: . (20)

Тілом фізичного маятника, в даній лабораторній роботі, буде диск, радіуса та масою , який підвішений в точці, що знаходиться на віддалі від його центру. Момент інерції диску відносно осі, що перпендикулярна до його площини і проходить через точку кріплення, дорівнює:

. (21)

Використовуючи знайдене значення моменту інерції тіла можна обчислити власну циклічну частоту коливань фізичного маятника, згідно виразу (6):

. (22)

В даній лабораторній роботі шляхом прямого вимірювання знаходиться час релаксації і відповідна йому кількість коливань . Тоді період затухаючих коливань буде дорівнювати їх відношенню:

.

Циклічну частоту затухаючих коливань можна знайти за її визначенням, як:

; тобто: . (23)

Дата добавления: 2015-11-14