Теория топологического индекса вполне непрерывных операторов.

Через обозначается открытое ограниченное множество банахова пространства . Через – его граница и замыкание соответственно. Всюду ниже – вполне непрерывный оператор.

1.1. Допустимые гомотопии. Два вполне непрерывных оператора

называются гомотопными, если существует вполне непрерывный по совокупности переменных оператор , такой что , и не имеет неподвижных точек на при .

Гомотопия называется линейной, если она задается формулой:

.

1.2. Индекс множества неподвижных точек вполне непрерывного оператора. Если вполне непрерывный оператор не имеет неподвижных точек на границе , то определена целочисленная характеристика, называемая индексом множества неподвижных точек оператора и обозначаемая , со следующими свойствами:

1 . Индексы гомотопных вполне непрерывных операторов совпадают.

2 Пусть , попарно непересекающиеся открытые подмножества не имеют неподвижных точек в Тогда величины определены для всех i, только для конечного числа из них отличны он нуля и

3 . Если

4 Если то оператор имеет по крайней мере одну неподвижную точку в

Если изолированная неподвижная точка оператора т.е. в некотором шаре у оператора нет других неподвижных точек, то индексом называют величину , при .

Индексом точки обозначают .

1.3. Теорема о сужении. Пусть L замкнутое выпуклое подмножество пространства E и

Не имеет неподвижный точек на . Тогда

1.4. Теорема о вычислении индекса по линейной части. Пусть вполне непрерывный оператор F, действующий в банаховом пространстве E, определен в некоторой окрестности своей неподвижной точки и дифференцируем по Фреше в точке . Пусть 1 не является собственным значением линейного оператора .

Тогда является изолированной неподвижной точкой оператора F и где – сумма кратностей вещественных больших единицы собственных значений оператора

Дата добавления: 2015-11-14