Сформулируем общий принцип построения доверительных интервалов

Интервальное оценивание.

Пусть, как обычно, имеется выборка из распределения с неизвестным параметром . До сих пор мы занимались «точечным оцениванием» неизвестного параметра — находили число («оценку»), способную, в некотором смысле, заменить параметр.

Существует другой подход к оцениванию, при котором мы указываем интервал, накрывающий параметр с заданной наперед вероятностью. Такой подход называется «интервальным оцениванием». Сразу заметим: чем больше уверенность в том, что параметр лежит в интервале, тем шире интервал. Так что искать диапазон, в котором лежит с вероятностью 1, бессмысленно — это вся область .

Определение.

Пусть . Интервал называется доверительным интервалом для параметра с уровнем доверия , если для любого

Замечание.

Неравенство обычно соответствует дискретным распределениям, когда нельзя обойтись равенством: например, для при любом равенство невозможно, а неравенство имеет смысл:

Прежде чем рассматривать регулярные способы построения доверительных интервалов, разберем пример. Начнем с нормального распределения как с наиболее важного и часто встречающегося.

Пример 1.

Пусть , , — выборка объема из нормального распределения , где — неизвестный параметр, а известно. Требуется построить ДИ для параметра c уровнем доверия .

Нормальное распределение устойчиво по суммированию. (убедиться самостоятельно):

Пусть , имеют нормальное распределение , и эти случайные величины независимы. Тогда имеет нормальное распределение с параметрами

;

Поэтому

случайная величина

имеет распределение , , .

Итак, величина имеет стандартное нормальное распределение.

По заданному найдем число такое, что .

Определение.

Пусть распределение с функцией распределения непрерывно. Число называется квантилью порядка p распределения , если р. Если функция монотонна, квантиль определяется единственным образом.

Если число — квантиль порядка стандартного нормального распределения, то

Или .

Итак, , и (квантили стандартного нормального распределения).

Рис. 7: Плотность стандартного нормального распределения и квантили.

Разрешив неравенство относительно , получим доверительный интервал

(13)

Можно подставить :

Итак, искомый доверительный интервал с уровнем доверия имеет вид

Мы построили доверительный интервал для параметра нормального распределения при известном . Для этого мы рассмотрели функцию от выборки и неизвестного параметра

,

имеющую при любом стандартное нормальное распределение.

Сформулируем общий принцип построения доверительных интервалов

1. Найти функцию , распределение которой G не зависит от параметра . Необходимо, чтобы была обратима по при любом фиксированном

2. Пусть числа и — квантили распределения такие, что

3. Разрешив неравенство относительно (если это возможно), получим ДИ.

Замечание.

Часто в качестве и берут квантили порядка и распределения . Но, вообще говоря, квантили следует выбирать так, чтобы получить ДИ наименьшей длины.

Можно построить доверительный интервал для параметра нормального распределения при неизвестном . Можно

- построить ДИ для при известном ,

- построить ДИ для при неизвестном ..

Такой особый интерес к нормальному распределению связан с центральной предельной теоремой — по этой теореме все в на свете нормально или стремится к нормальному. Поэтому рассмотрим распределения, связанными с нормальным распределением и их свойства.

Дата добавления: 2015-11-14