Практическое занятие 2. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Пересечение плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая перпендикулярна

плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим

в этой плоскости. В качестве таких двух пересекающихся прямых целесообразно выбирать горизонталь и фронталь плоскости, поскольку в этом случае образуются прямые углы, одна из сторон которых параллельна соответствующей плоскости проекций, а следовательно, по правилу проецирования плоского прямого угла эти прямые углы будут проецироваться на плоскости проекций без искажения. Таким образом, на эпюре фронтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию – перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали. В том случае, если на эпюре плоскость задана следами, то проекции прямой, перпендикулярной плоскости, должны быть перпендикулярны к одноименным следам плоскости.

Пример 5. Определить расстояние от точки D до плоскости Р, заданной следами (рис. 5, а).

Решение. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на заданную плоскость. Поэтому решение задачи производим в следующей последовательности (рис. 5, б):

1) из точки D опускаем на плоскость Р перпендикуляр l. Для этого через точку D'' проводим прямую l'' перпендикулярно следу P_V, а через точку D' проводим прямую l' перпендикулярно следу P_Н;

2) определяем точку K (K', K'') основания перпендикуляра как точку пересечения прямой l с плоскостью Р (см. пример 3);

3) определяем натуральную величину отрезка перпендикуляра DK (D'K', D''K'') методом прямоугольного треугольника как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является проекция отрезка на плоскость проекций (например, D''K''), а другим – разность расстояний от концов отрезка до той же плоскости проекций (в нашем примере – y).

Построенный отрезок D ₀ K'' и определяет расстояние от точки D до плоскости Р.

Пример 6. Определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником ABC (рис. 6, а).

Решение. Решение задачи (рис. 6, б) проводим в последовательности, аналогичной примеру 5. Для построения перпендикуляра l, опущенного из точки D на плоскость треугольника ABC, в плоскости проводим горизонталь h (h', h'') и фронталь f (f', f''). Далее через точку D'' проводим прямую l'' перпендикулярно f'', а через точку D' строим l' перпендикулярно h'. Затем строим точку K пересечения прямой l с плоскостью треугольника ABC (см. пример 4) и находим натуральную величину отрезка DK (D'K', D''K'') методом прямоугольного треугольника (см. пример 5).

а)	б)
Рис. 5

а)	б)
Рис. 6

Параллельность прямой и плоскости. Если прямая параллельна прямой, лежащей в заданной плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая заданной плоскости, можно поступить одним из двух следующих способов:

1) в плоскости проводят прямую, параллельную заданной. Если такую прямую в плоскости подобрать не удается, значит прямая и плоскость не параллельны;

2) строят точку пересечения заданной прямой с плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то прямая и плоскость параллельны.

Пример 7. Провести через точку K прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником ABC (рис. 7, а).

Решение. Для того чтобы построить прямую, проходящую через заданную точку параллельно заданной плоскости, необходимо провести через эту точку прямую, параллельную какой-либо прямой, принадлежащей плоскости треугольника. Известно, что таких прямых может быть бесчисленное множество. На рис. 7, б прямая l параллельна стороне АВ треугольника АВС, и поэтому параллельна плоскости. На рис.7, в прямая l параллельна горизонтали h плоскости треугольника АВС и поэтому также параллельна заданной плоскости.

а)	б)	в)
Рис. 7

Пересечение плоскостей. Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поскольку положение прямой в пространстве определяют две точки, то для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо и достаточно знать две точки, принадлежащие одновременно каждой из них.

Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к одной или двум плоскостям проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается.

Пример 8. Построить проекции линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости P, заданной следами, и плоскости треугольника ABC (рис. 8, а).

Решение. Поскольку линия MN пересечения плоскостей P и ABC принадлежит горизонтально-проецирующей плоскости, то ее горизонтальная проекция M'N' совпадает с горизонтальным следом P_H плоскости P. Фронтальная проекция линии пересечения пройдет через точки M'' и N'', расположенные на фронтальных проекциях A''B'' и A''C'' соответствующих сторон AB и AC треугольника (рис. 8, б).

а)	б)
Рис. 8

Пример 9. Построить проекции линии пересечения горизонтальной плоскости P, заданной следами, и плоскости треугольника ABC (рис. 9, а).

Решение. Поскольку одна из пересекающихся плоскостей является горизонтальной, то линией пересечения заданных плоскостей будет горизонталь, проходящая через точки M и N, в которых стороны AВ и BC треугольника АВС пересекаются с плоскостью P (рис. 9, б). Фронтальная проекция M''N'' линии пересечения совпадает с фронтальным следом P_V плоскости P. Горизонтальная проекция пройдет через точки M' и N', расположенные на горизонтальных проекциях A'В' и B'C' соответствующих сторон AВ и BC треугольника.

а)	б)
Рис. 9

Если плоскости заданы следами, то естественно искать точки, определяющие линию их пересечения, в точках пересечения одноименных следов плоскостей. Прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.

Пример 10. Построить проекции линии пересечения плоскостей общего положения, заданных треугольником ABC и двумя параллельными прямыми m и n (рис. 10, а).

Решение. Решим поставленную задачу двумя способами.

Первый способ (рис.1 0, б). Проведем две вспомогательные горизонтальные плоскости S и Т, задав их следами S_V и Т_V. Плоскость S пересекает плоскость треугольника по прямой 12, плоскость, заданную двумя параллельными прямыми, – по прямой 34. По фронтальным проекциям 1''2'' и 3''4'' находим горизонтальные проекции 1'2' и 3'4'. Пересекаясь между собой проекции 1'2' и 3'4' определяют проекцию M' точки M, принадлежащей искомой линии пересечения плоскостей. Cтроим фронтальную проекцию M'' на следе S_V. Вспомогательные

плоскости S и Т параллельны, поэтому линии их пересечения с заданными плоскостями также должны быть параллельны. Проведем горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями через точку А' параллельно 1'2' и через 5' параллельно 3'4'. При пересечении этих прямых определяется проекция N' второй точки N, принадлежащей линии пересечении, по которой строим N'' на следе Т_V. Через одноименные проекции точек M и N проводим проекции линии пересечения плоскостей.

а)	б)
Рис. 10

Второй способ (рис. 10, в). Заключаем прямую m (m', m'') во фронтально-проецирующую плоскость P, которая пересекает сторону AC (A'C', A''C'') треугольника ABC в точке 1 (1', 1''), а сторону BC (B'C', B''C'') – в точке 2 (2', 2''). Прямая 12 (1'2', 1''2'') является линией пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью P. Там, где прямая 1'2' пересечет прямую A'C', получаем проекцию M' точки M, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Аналогично, заключая прямую n во фронтально-проецирующую плоскость Q, определяем вторую точку N (N', N''), принадлежащую линии пересечения. Через найденные проекции точек M и N проводим линию пересечения MN (M'N', M''N'').

в)

Рис. 10. Продолжение

Видимость элементов чертежа определяем по методу конкурирующих точек (рис. 10, б). В качестве конкурирующих выбираем точки 7 и 8, принадлежащие двум скрещивающимся прямым m и BC соответственно, проекции 7'' и 8'' которых совпадают. Поскольку 8' лежит дальше от оси проекций, то прямая ВС, которой принадлежит эта точка, расположена ближе к наблюдателю и закрывает на фронтальной проекции прямую m. Следовательно, плоскость, заданная треугольником АВС, будет видима на фронтальной проекции правее линии пересечения. За линией пересечения видимость меняется на противоположную. Аналогично определяется видимость элементов пересекающихся плоскостей на горизонтальной проекции.

Необходимо отметить, что при решении задач, рассмотренных в примерах 11 и 12 можно взять и иные вспомогательные плоскости (например, при решении первым способом задачи из примера 12 можно было взять не две горизонтальные плоскости, а две фронтальные или одну горизонтальную и одну фронтальную). Сущность построений при этом не меняется.

Дата добавления: 2015-11-14