Личное домашнее задание для 123 группы

Задание для Евгения Викулова:

1. Является ли группой относительно умножения множество всех комплексных чисел, модуль которых не превосходит заданное число R > 0?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G состоит из всех комплексных корней 12 степени из 1, H состоит из всех комплексных корней 3 степени из 1.
3. Элементы каких порядков содержатся в группе S₅ х С₄?

Задание для Сергея Ельника:

1. Является ли группой множество вещественных чисел из полуинтервала [0,1) относительно следующей операции: x*y = дробная часть числа x+y?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения, Н = {z | Re(z)∙Im(z) = 0}.
3. В группе нечётного порядка x = y². Докажите, что y = x^m для некоторого натурального числа m.

Задание для Ильи Ермоловича:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество ортогональных матриц порядка n с целыми компонентами?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = GL_n(R), H - подгруппа матриц с определителем +-1.
3. Докажите, что порядок нечётной перестановки является чётным числом.

Задание для Светланы Есиной:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество всех верхнетреугольных матриц третьего порядка с единицами на главной диагонали?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = группа ненулевых комплексных чисел относительно умножения, Н состоит из всех корней из 1 степени 10.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (123) и (14).

Задание для Романа Жигунова:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество вещественных матриц второго порядка, у которых a[1,1] = a[2,2], a[1,2] = -3a[2,1], a[1,1] и a[1,2] не равны нулю одновременно?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа вещественных матриц второго порядка относительно сложения, H состоит из матриц, у которых сумма всех четырёх компонент равна нулю.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (132) и (12)(34).

Задание для Беллы Зиннатуллиной:

1. Является ли группой относительно умножения множество всех комплексных корней всех степеней из 1?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = GL_n(C), H состоит из матриц с вещественным определителем.
3. Найдите два элемента, порождающие группу S₂ х S₃.

Задание для Елизаветы Ивановой:

1. Является ли группой множество всех перестановок множества {1,2,...,6}, имеющих ровно три инверсии?
2. Является ли циклической факторгруппа R^*/Q^*?
3. Пусть K - такое непустое подмножество группы G, что для любых элементов x, y, z из K элемент xy^-1z тоже принадлежит K. Докажите, что найдется такая подгруппа H группы G, что K – правый смежный класс G по H.

Задание для Даниила Куликова:

1. Является ли группой множество всех перестановок множества {1,2,...,10}, оставляющих на месте числа 1, 3, 5?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа целочисленных матриц порядка 2 относительно сложения, H состоит из матриц, у которых A[1,2] делится на 5.
3. Элементы каких порядков содержатся в группе A₅ х С₅?

Задание для Ивана Лозицкого:

1. Является ли группой относительно матричного сложения множество всех симметрических матриц порядка n?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа всех вещественных диагональных матриц второго порядка (относительно сложения), H состоит из матриц с равными диагональными компонентами.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (123) и (14)(23).

Задание для Александра Луценко:

1. Является ли группой относительно матричного сложения множество всех верхнетреугольных матриц порядка n?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа целочисленных матриц порядка 2 относительно сложения, H состоит из матриц, у которых A[1,2] - A[2,1] делится на 7.
3. Элементы каких порядков содержатся в группе A₅ х S₃?

Задание для Валентина Магеркина:

1. Является ли группой относительно композиции множество непрерывных строго возрастающих вещественных функций f, определённых на отрезке [0,1], таких, что f(0) = 0, f(1) = 1?
2. Является ли циклической факторгруппа Q⁺/2Z?
3. В абелевой группе G есть элементы бесконечного порядка, причём все они содержатся в подгруппе H. Докажите, что H = G.

Задачи для Тимура Мухатова:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество верхнетреугольных матриц второго порядка, у которых на главной диагонали стоят 1 и -1?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = GL_n(C), H состоит из матриц с вещественным определителем, большим нуля.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (243) и (132).

Задание для Любови Паиной:

1. Является ли группой относительно композиции множество всех инъекций некоторого бесконечного множества в себя?

1. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа положительных рациональных чисел (относительно умножения), H состоит из рациональных чисел, в несократимой записи которых числитель и знаменатель нечётны.
2. Найдите две вещественные обратимые матрицы 2х2, имеющие конечные порядки, произведение которых - элемент бесконечного порядка.

Задание для Ксении Прохоровой:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество всех вещественных обратимых матриц второго порядка с неотрицательными компонентами?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = GL_n(R), H состоит из матриц с положительным определителем.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (12) и (14)(23).

Задание для Екатерины Хакимовой:

1. Является ли группой относительно матричного умножения множество всех симметрических матриц порядка n, у которых все компоненты на главной диагонали равны 1?
2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа всех обратимых диагональных матриц второго порядка (относительно сложения), H состоит из матриц с равными диагональными компонентами.
3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (1234) и (12).

Задание для Артёма Чёрного:

1. Является ли группой относительно композиции множество вещественных многочленов?

1. Докажите, что факторгруппа группы вещественных верхнетреугольных обратимых матриц по её подгруппе, состоящей из матриц с единицами на главной диагонали, является абелевой.
2. Пусть G - конечная группа порядка n, причём для каждого натурального делителя m числа n существует ровно одна подгруппа группы G, имеющая порядок m. Докажите, что группа G - циклическая.

Задание для Григория Шуляра:

1. Является ли группой относительно умножения множество степеней (с целыми показателями) данного ненулевого вещественного числа?

2. Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G = GL_n(C), H состоит из матриц, у которых модуль определителя равен 1.

3. Найти подгруппу группы S₄, порождённую элементами (123) и (12).

Дата добавления: 2015-11-14