Соответствии с (3) имеем .

Поэтому все варианты, которые принадлежат , исключаются из рассмотрения.

Пример. Пусть требуется выделить множество Парето в области

Разобьем заданное множество на три множества: .

, где , точка значения , при котором достигает максимума

,

, где - такое значение , при котором достигает максимума

, .

. Сравнивая значения функций в областях и , имеем , т.е. значения функции для любого меньше, чем значения для любого . Для имеем (соизмеримы), то есть область заведомо хуже области по целевой функции .

Аналогично, для области значения функции для любого меньше, чем значение для любого , т.е. . А для имеем (соизмеримы), то есть область заведомо хуже области по целевой функции . Таким образом, из области исключается область и область . Область является множеством Парето. Для данной области выполняются критерии:

.

В соответствии с принципом Парето рациональное решение модельной задачи (рациональный компромисс в многоцелевой задаче) необходимо искать среди , принадлежащих множеству Парето. Принцип Парето не выделяет единственного решения, но он позволяет сузить множество возможных альтернативных решений. В рассматриваемом примере рациональное решение необходимо искать в области . Но вопрос о том, какое решение (или какое значение ) является оптимальным - остается открытым.

Во всех рассматриваемых случаях множество Парето позволяет получить дополнительную информацию, которая дает качественную оценку при сопоставлении различных вариантов. На рассмотренном примере видно, что в точке имеет место равенство

= .

Какой из рассмотренных вариантов является предпочтительным определяет ЛПР. Если ЛПР полагает, что критерии равнопрочны, то рациональным является вариант , когда = . Если более важной является цель , то, очевидно, рациональное решение лежит в интервале . Если более важной является цель , то рациональное решение лежит в интервале . Однако, в двух последних случаях конкретная степень предпочтения единой цели над другой остается субъективной мерой ЛПР.

Сужение множества Парето.

Сужение множества Парето осуществляется при помощи принципов минмакса

или максмина, или их одновременном использовании (при сужении интервала с 2-х сторон).

Вариант 1.

Введем для каждого значения функцию,

(5)

и будем определять такие значения , чтобы выполнялось условие , где - допустимая многомерная область изменения вектора , заданная, например, конструктивными ограничениями. При такой постановке задачи ее решение гарантирует, что в наихудшем случае, т.е. для возможного отношения будет обеспечено максимальное значение . Здесь рассматривается максимальная задача обеспечения.

Вариант 2.

Введем функцию

(6)

и будем определять такое значение , при котором функция имеет минимальное значение, т.е. . При данной постановке задачи ее решение гарантирует, что в наихудшем случае, т.е. для возможного отклонения , будет гарантировано минимальное отклонение, т.е. здесь рассматривается минимаксная задача.

Отличие вариантов 1 и 2 состоит в том, что они физически определяют разные

условия оптимальности. Вариант 1 обеспечивает максимально возможное отклонение среди всех от их заданных значений , поскольку данное отклонение обеспечивается для наихудшего случая, т.е. обеспечивается

(12)

Вариант 2 решает обратную задачу - обеспечивает минимально возможное отклонение всех от заданных значений , поскольку данное отклонение обеспечивается для наихудшего случая (в рассматриваемой постановке), т.е. обеспечивается

(13)

Дата добавления: 2015-11-16