Решение задач

Читайте также:

Решение задачи 1

Пусть, например , тогда . Получили две точки А(3,0) и В(-3,0), принадлежащие данной кривой.

Решение задачи 2

Выделим полные квадраты при х и при у:

Введем новую систему координат , полученную параллельным переносом старой системы на вектор . При этом связь между координатами точек плоскости в старой и новой системах выражается формулами: . Подставляя это в полученное уравнение, получаем каноническое уравнение .

Решение задачи 3

Найдем точки пересечения этих линий, первая из которых является параболой, а вторая – прямой:

, . Следовательно, , . Получили точки пересечения и .

При построении области сначала изображаются точки пересечения, прямая проводится через полученные точки, а для построения параболы нужно найти ещё её вершину, которая в данном случае совпадает с началом координат.

Решение задачи 4

Для получения полярного уравнения используем формулы (63):

. Так как синус — периодическая функция, то можно построить таблицу значений на периоде, который для функции составляет интервал от 0 до .


				-

На промежутке между и функция , то есть функция не определена на . Аналогичным образом функция ведёт себя на промежутках и . Полученные точки соединим плавной кривой, которая носит название лемнискаты Бернулли.

Решение задачи 5

Сначала изобразим получившееся тело. Построим график параболы в плоскости хОу. Затем, вращая параболу вокруг оси Ох, получим пространственную фигуру — параболоид вращения (частный случай эллиптического параболоида). Ясно, что сечения этого параболоида плоскостями, перпендикулярными оси и проходящими через точку при будут окружностями . Это и есть уравнение построенного параболоида вращения.

Точка не удовлетворяет данному уравнению и, таким образом, не принадлежит данной поверхности. Примером точки, лежащей на заданной поверхности, может служить вершина параболлоида с координатами . Другая точка поверхности — .

Решение задачи 6

Заданное уравнение определяет эллипсоид, сечение которого любой плоскостью является эллипсом. Пересекая данный эллипсоид плоскостью хОу, которая имеет уравнение , получаем: