Задача 7. Плоский поперечный изгиб

ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

Статически неопределимые системы

Задача 7

Условие задачи. Для статически неопределимой (неразрезной) балки (рис. 17) требуется:

1) построить эпюру изгибающих моментов М_х.

2) определить прогиб "у" и угловое перемещение "Q" сечения "К" способом Верещагина.

Данные для решения задачи взять из табл. 6.

Таблица 6

№ строки	Расчетная схема	а, м	F, кН	q, кН/м	М, кН×м
	I	1,0
	II	1,5
	III	0,6
	IV	0,8
	V	0,7
	VI	0,9
	VII	1,4
	VIII	1,6
	IX	0,8
	X	0,9
	е	д	е	в	г

Порядок раскрытия статической неопределимости, определение внутренних усилий и перемещений показан на примере.

Пример. Балка из прокатного двутаврового профиля №18 нагружена двумя силами F = 60 кН и опирается на опоры А, В и С (рис. 18,а).

Опоры Аи С абсолютно жесткие, а опора Вот действия силы в 1 кН, приложенной непосредственно к ней, оседает на 0,01 см.

Рис. 17.

Требуется построить эпюру изгибающих моментов М_хи сравнить полученные результаты со случаем, когда опора В абсолютно жесткая (рис. 18,б).

Сила тяжести 1 п.м.двутавра №18 q = 184 Н/м; момент инерции J_x=1290 см⁴; модуль упругости материала Е = 2×10⁵ МПа.

Решение. 1). Определим степень статической неопределимости.

На балку наложены четыре связи, система плоская и для ее решения можно использовать три уравнения равновесия. Следовательно, балка один раз статически неопределима (С_Н = n - 3 = 4 - 3 = 1).

2). Задачу решим, используя метод сил.

Рис. 18.

В расчетной схеме с упругой средней опорой (рис. 18,а) основную систему выберем путем отбрасывания средней опоры и заменой ее неизвестным усилием Х₁.

Так как перемещение происходит в сторону, противоположную направлению усилия Х₁, запишем

.

Рис. 18

3). Каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы имеет вид

или

где – единичное перемещение, вызванное действием единичной силы по направлению Х₁;

- перемещение, вызванное действием заданной нагрузки по направлению Х₁.

Для определения и по способу Верещагина строим две эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (эпюры и ) и единичную эпюру от в основной системе (рис. 19).

Сравнивая от сил F и от собственного веса q, приходим к выводу, что собственный вес балки можно не учитывать.

Перемещение по направ­лению от определим перемножая площадь единичной эпюры на ординату под центром тяжести этой площади этой же единичной эпюры на каждом участке отдельно с последую-щим суммированием:

Перемещение по направлению от внешней нагрузки F определим, перемножая площадь грузовой эпюры на ординату под центром тяжести этой площади, взятую с единичной эпюры :

.

Знак "+"при перемножении эпюр получим, если эпюры расположены по одну сторону от нулевой (осевой) линии, а знак "-" - когда эпюры при перемножении расположены по разные стороны от нулевой (осевой) линии (перемещение происходит в сторону противоположную ).

4). Подставляя в каноническое уравнение найденные значения и получим:

откуда

Далее строим эпюру изгибающих моментов от (рис. 19), умножая ординаты эпюры на найденной значение ().

Окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной статически неопределимой системы строим, суммируя (алгебраически) единичную и грузовую эпюры по характерным точкам:

.

5). Для проверки правильности вычислений выполним деформационную проверку, определяя перемещение по направлению средней опорной реакции:

Сравниваем полученную величину с заданной осадкой

6). Остальные опорные реакции определим из уравнений статики.

7). Для решения задачи по расчетной схеме (рис.18,б) с жесткой средней опорой при выборе основной системы введем шарнир над промежуточной опорой, заменяя действие освобожденной опорной связи опорным моментом Х₁(рис. 20).

Порядок расчета аналогичен изложенному выше.

Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

,

где

Тогда

.

Знак "-" означает, что направление Х₁нужно изменить напротивоположное.

Далее строим исправленную единичную эпюру и окончательную эпюру изгибающих моментов .

Выполним деформационную проверку, определяя перемещение по направлению опорного момента Х₁:

Рис. 20

Дата добавления: 2015-07-11