Математическое безвременье в отечественной науке 16 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 21Следующая ⇒

Фёдор Фёдорович Менде:
Дорогой Анатолий Михайлович, Вы же знаете как я к Вам отношусь. Но эти добрые отношения не являются поводом для устранения научного конфликта. Из того, что Вы пишите, следует возможность бесконечно (подчёркиваю бесконечно) черпать энергию из гравитационного поля. Это с моей точки зрения невозможно.

Александр Витальевич Цаплин:
Анатолий Михайлович Петров: Цитировать

в этом мысленном эксперименте абстрагируются от скорости и ускорения перемещения тела. Таким образом, возникает парадокс: ускорения и скорости нет, а перемещение есть! Мало того: любое внутреннее движение тела, включая его вращение, также заведомо игнорируется. В частности, не учитывается, что само вращение объективно создаёт новую, синхронно вращающуюся с телом, систему координат и отсчёта, в которой центростремительные и центробежные силы неподвижны, а внешняя гравитационная сила вращается в направлении, обратном вращению тела.
Анатолий Михайлович! Вся наука построена на приеме "абстрагирования", т.е. на концентрации внимания на какой-то одной стороне вопроса.
Для оценки энергетической характеристики поля вовсе не нужно учитывать другие, до определенной степени независимые энергетические свойства пробного тела. Здесь, как и широко во многих случаях, подразумевается принцип независимой суперопзиции явлений - то есть полная энергия пробного тела складывается из отдельно вычисленных независимых составляющих - потенциальной, кинетической линейной и кинетической вращения.
Выражение же "вращение создает новую систему координат" вообще физически некорректно. Системы координат создают не сами тела и не их какое-либо движение. Это не более, чем вспомогательное средство при моделировании явлений в наших головах. Никакие объективные механические свойства не могут быть связаны с системами координат - с ними связана только большая или меньшая сложность (удобство) математического моделирования процессов. Что тоже есть внутренний процесс в голове исследователя, а не "свойство реальных тел".
P.S. И вот как раз на этапе моделирования может происходить недооценка взаимовлияния разных физических явлений. То есть принцип независимой суперпозиции не всегда применим.
Но именно по этой причине прежде, чем делать далеко идущие выводы из каких-либо математических выкладок, следует убедиться в том, что математика полностью учла все без исключения побочные явления. И чем сложнее математика и процессы, ею описываемые, тем больше вероятность возникновения таких ошибок.
Именно в таких случаях контроль за корректностью примененных математических вычислений следует осуществлять с позиции глобальных физических законов. И если при ваших выкладках математически получается нарушение ЗСЭ - то это очень существенный повод усомниться в их правомерности. Как минимум (если Вы так уж уверены в их правомерности) не стоит на них настаивать до постановки решающего эксперимента. И даже лучше не одного - ведь глобальные физические законы "на кончике пера" не опровергаются.

====================================================================================

Александр Витальевич Цаплин:
В поддержку мнения Федора Федоровича скажу, что гравитационное поле (как и любое силовое поле вообще), годится только как посредник при передаче энергии между взаимодействующими телами, а не как источник энергии.
Только таким может быть физически корректный подход к силовым полям.
В противном случае можно прийти к физически абсурдному заключению, что, например, "совершая работу" по разгону падающих на гравимассу тел (которая при столкновении никуда не исчезает - а превращается в тепло), гравитационное поле растет (масса тела растет) и, следовательно, увеличивает свою энергию.

Николай Алексеевич Лошкарёв:
Цитата: Фёдор Фёдорович Менде от 05 Марта 2012, 19:34:08

Николай Алексеевич, правильно расставьте теги в сообщении, поскольку не понятно, где слова Цаплина, а где ваши.

Спасибо, Фёдор Фёдорович!
Я упомянул гироскоп к тому, что это вращающееся "колесо" гироскоп. А в рассуждениях о нём механиков об этом не увидел. Может чего не понял...

Николай Алексеевич Лошкарёв:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 05 Марта 2012, 21:35:45

Николай Алексеевич. Прошу внимательнее относиться к цитированию. В цитате под моим именем нет ни одного моего слова.

Прошу прощения Александр Васильевич!
Я пытался исправить оплошность, но не сумел. Пришлось удалить этот пост.
Не будучи механиком, я не вполне вник в суть кинематических рассуждений о "колесе"... Но это вращающееся "колесо" гироскоп. На неизбежные потери энергии на поворот оси вращения нужна энергия. Я и присоединился к скептикам.

Александр Витальевич Цаплин:
Николай Алексеевич Лошкарёв: Цитировать

На неизбежные потери энергии на поворот оси вращения нужна энергия. Я и присоединился к скептикам.
Земля тоже есть большой гироскоп. Однако никакой потери энергии "в оси вращения" у нее нет. Потери будут только при наличии трения. Ну, скажем, если "трутся об ось медведи".:)

Олег Владимирович Лавринович:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 08 Марта 2012, 11:43:48

В поддержку мнения Федора Федоровича скажу, что гравитационное поле (как и любое силовое поле вообще), годится только как посредник при передаче энергии между взаимодействующими телами, а не как источник энергии.
Только таким может быть физически корректный подход к силовым полям.
В противном случае можно прийти к физически абсурдному заключению, что, например, "совершая работу" по разгону падающих на гравимассу тел (которая при столкновении никуда не исчезает - а превращается в тепло), гравитационное поле растет (масса тела растет) и, следовательно, увеличивает свою энергию.

====================================================================================

Александр Витальевич Цаплин:
Цитировать

Вот это правильное мнение! Поле здесь всего лишь приводной ремень между быстро вращающейся Землей и медленно летающей луной,причем ремень этот пробуксовывает.Присоединяюсь.
Хмм... Ремень передает вращение. А гравитация - исключительно радиальное взаимодействие. Так что не совсем "присоединяйтесь" - я о ремне не говорил...
Да и Луна вращалась бы вокруг Земли точно так же, если бы Земля не вращалась или даже если бы вращалась в другую сторону. Несколько изменились бы приливные эффекты - но это уже вторичные явления.

Олег Владимирович Лавринович:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 08 Марта 2012, 20:22:27

Цитировать

Александр Витальевич Цаплин:
Цитировать

Совсем недавно здесь на форуме обсуждался вопрос тангенциального ускорения Луны за счет вращения Земли.И каким образом радиальное поле заставляет Луну ускорятся. Вроде, разногласий у нас не было. Хотя, аналогия с ремнем,согласен,не самая удачная.
Все обсуждавшиеся процессы - вторичные, сопутствующие. Будь оба тела совершенно твердыми телами (без приливных деформаций), то этой тангенциальной составляющей не было бы вообще. Что совсем не влияло бы на гравитационное взаимодействие и вращение.
Вот напомню, о чем шла речь:

Фёдор Фёдорович Менде #176:Здесь имеется один важный момент. Как передаются тангенцтадьные составляющие в этом процессе. Силы то гравтации центральны.
Александр Витальевич Цаплин #177: приливный горб - вполне определенная масса со своим центром масс. Уйдя с линии "центр Земли - центр Луны" вперед, этот ЦМ волны отклоняет на себя результирующий вектор.
Фёдор Фёдорович Менде #178: Это блестящее объяснение этого феномена. Никак не мог понять, откуда радиальная составляющая берётся.
Вот только почему горб вперёд уходит.
Александр Витальевич Цаплин #224: Если бы Земля не вращалась, то горбы были точно на линии между ЦМ Земли и Луны. Но вращение Земли утягивает горбы вперед от этой линии (а вовсе не "запаздывание по фазе", как утверждаете Вы (Петров)). И это увлечение горбов полностью объясняется влиянием приливного трения. Если бы вода океана была сверхтекучей (без трения), то горбы не сдвигались бы с линии ЦМ - и гравитационный механизм передачи энергии вращения от Земли к Луне не действовал бы.

Олег Владимирович Лавринович:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 08 Марта 2012, 21:34:27

Цитировать

Да,Земля раскручивает Луну.Никто ж и не возражает против такого объяснения.

Николай Алексеевич Лошкарёв:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 08 Марта 2012, 16:26:44

Николай Алексеевич Лошкарёв: Цитировать

Для поворота оси вращения всякого гироскопа нужна энергия. Известно, нутации и прецессии оси вращения Земли замедляют её вращение.
Я писал не то, что Вы интерпретируете:
"На неизбежные потери энергии на поворот оси вращения нужна энергия. Я и присоединился к скептикам".
Про "медведей" романтично, жаль только, что "ни к селу, ни к городу".

====================================================================================

Александр Витальевич Цаплин:
Олег Владимирович Лавринович: Цитировать

Да,Земля раскручивает Луну.Никто ж и не возражает против такого объяснения.
В том и дело, что автор темы Анатолий Михайлович Петров называет такое объяснение "абсурдным" и предлагает свою теорию, якобы океан "входит в резонанс" с изменением гравипотенциала Луны. Причем все доказательство "резонанса" основано на эмоциональном возгласе: "Вон какая большая волна - 8 м. Разве это не резонанс!".
Более весомого доказательства он не представил, и вообще, похоже, решил уйти с темы...

Олег Владимирович Лавринович:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 14 Марта 2012, 15:09:04

Олег Владимирович Лавринович: Цитировать

Математическая спекуляция,а мы должны согласиться?Вольному воля.

Николай Алексеевич Лошкарёв:
Цитата: Александр Витальевич Цаплин от 14 Марта 2012, 15:09:04

Олег Владимирович Лавринович: Цитировать

Волна лунного прилива и в земной коре и в океане около полуметра. Теоретически, вроде должна быть несколько больше... Земля тело жидкое с твёрдой "корочкой" примерно 1% от радиуса. Вязкость Земли примерно 1200 единиц... Это всё известно. Как такая вязкость связана с характером колебания жидкой вращающейся Земли от притяжения "висящей неподвижно" Луны?

Николай Алексеевич Лошкарёв:
Цитата: Анатолий Михайлович Петров от 17 Ноября 2011, 09:20:51

Чтение «Науки логики» Гегеля (которую Герцен в книге «Былое и думы» назвал «алгеброй революции») и размышление о законах диалектики – это полезное занятие в качестве умственной гимнастики и в порядке приобщения к мировой гуманитарной культуре.
Уверен, что ни Ю.С.Осипов, ни В.А.Садовничий такими "глупостями" не занимаются, и отсюда, по большому счёту, все беды нынешней отечественной системы науки и образования.

Спасибо, Анатолий Михайлович, за упоминание "Науки логики" Гегеля!
У него там в разделе "Количество" есть кое что, способствующее пониманию моего пояснения заведомой верности ВТФ.
Беда в том, что "начальники" не могут быть диалектиками.
Это юмористы дозволяют себе:"Ты начальник, я г---о. Я начальник, ты г---о".
Но они не бывают "начальниками".

Анатолий Михайлович Петров:
Фёдор Фёдорович Менде: Из того, что Вы пишите, следует возможность бесконечно (подчёркиваю бесконечно) черпать энергию из гравитационного поля. Это с моей точки зрения невозможно.
Александр Витальевич Цаплин:
Полная энергия пробного тела складывается из отдельно вычисленных независимых составляющих – потенциальной, кинетической линейной и кинетической вращения.
Выражение же "вращение создаёт новую систему координат" вообще физически некорректно. Системы координат создают не сами тела и не их какое-либо движение. Это не более, чем вспомогательное средство при моделировании явлений в наших головах… И если при ваших выкладках математически получается нарушение ЗСЭ (закона сохранения энергии) – то это очень существенный повод усомниться в их правомерности.
Олег Владимирович Лавринович:
Совсем недавно здесь на форуме обсуждался вопрос тангенциального ускорения Луны за счёт вращения Земли. И каким образом радиальное поле заставляет Луну ускоряться, вроде, разногласий у нас не было.
Александр Витальевич Цаплин:
Все обсуждавшиеся процессы – вторичные, сопутствующие. Будь оба тела совершенно твёрдыми телами (без приливных деформаций), то этой тангенциальной составляющей не было бы вообще. Что совсем не влияло бы на гравитационное взаимодействие и вращение... Если бы Земля не вращалась, то горбы были точно на линии между ЦМ Земли и Луны. Но вращение Земли утягивает горбы вперёд от этой линии (а вовсе не "запаздывание по фазе", как утверждаете Вы (Петров)). И это увлечение горбов полностью объясняется влиянием приливного трения. Если бы вода океана была сверхтекучей (без трения), то горбы не сдвигались бы с линии ЦМ – и гравитационный механизм передачи энергии вращения от Земли к Луне не действовал бы.
Олег Владимирович Лавринович:
Да, Земля раскручивает Луну. Никто ж и не возражает против такого объяснения…

Теоретическая физика, доставшаяся нам в наследство от ХХ века, к сожалению, подпадает под определение «науки великих тайн и обманов», т.е. тайн, раскрывать которые учёные не готовы (и, «по традиции», даже не намерены!), и обманов, на которые учёные (что, конечно, ужасно!) уже не считают для себя зазорным идти сознательно.
Можно было бы взять для разбора любую научную область, но, раз уж мы затронули тему безопорного движения и гравитационной энергетики (воспринимаемую в официальных научных кругах, по меньшей мере, как «спорную»), то близко к этой теме и будем вести разговор.
Начнём с того, что все приведённые выше утверждения моих оппонентов основаны на недоразумениях, на некогда принятых постулатах, справедливых только для простейших видов движения, а затем, «по лености ума» теоретиков, распространённых «на все случаи жизни» (физической реальности). Внутренне противоречивый конгломерат таких взглядов уже успел «устояться» в научной и справочной литературе, в учебниках и учебных пособиях, можно сказать, вышел на уровень обыденного мышления, поэтому дискуссии по любому более-менее сложному вопросу зачастую превращаются в простое препирательство: я думаю так (и об этом написано там-то), а я полагаю наоборот (и нахожу для этого иные основания). При этом дискутирующие стороны «в упор не слышат друг друга».
К примеру, я привёл векторное дифференциальное уравнение поступательного движения колеса с колеблющимися грузами на спицах. Однако обычная векторная (общепринятая, т.е. векторно-тензорная) алгебра «знает» только один вид векторного измерения – ось действительных чисел. Поэтому при её использовании уравнение движения непременно приводится (редуцируется) к одному измерению, в котором фигурируют только скалярные величины: либо это функции Лагранжа и Гамильтона (с размерностью энергии), либо модули векторных величин (если уравнения движения имеют смысл и размерность силовых балансов). Для перехода к векторному описанию движения на плоскости или в физическом пространстве эта алгебра использует в качестве дополнительных ортогональных осей координат ту же ось действительных чисел, только повёрнутую «скачком» на 90º, что «автоматически» превращает дифференциальное и интегральное исчисление на плоскости и в пространстве в неполноценный (с существенно ограниченными аналитическими возможностями) суррогат. Избежать этого можно только одним-единственным путём: отказом от тензорного исчисления в пользу алгебры с векторным делением. Поскольку на плоскости эту алгебру представляют комплексные числа, то, естественно, векторное уравнение движения колеса с грузами мною было представлено на комплексной плоскости.
Однако, идём дальше. Взаимодействующие силы: внешняя (гравитации) и внутренние (центробежно-центростремительные), – движутся друг относительно друга. Каким силам отдать предпочтение при выборе системы координат и отсчёта? Если выбрать неподвижную систему координат (посмотреть на движение глазами стороннего наблюдателя), то сила притяжения будет неподвижным вектором, по отношению к которому операции дифференцирования будут вырожденными. Поэтому правильным решением будет посмотреть на движение колеса с точки зрения самóй динамической системы, т.е. выбрать систему координат, синхронно вращающуюся вместе с колесом. Тогда, наоборот, центробежно-центростремительные силы предстанут в виде неподвижной, внутренне напряжённой, динамической структуры, обладающей определённой частотой собственных колебаний, а внешняя сила гравитации для динамической системы будет переменной по направлению и абсолютной величине.
Казалось бы, от смены системы координат, как и от переноса слагаемых силового баланса из одной части уравнения в другую, ничего в математическом содержании уравнения движения не меняется. Однако физический смысл уравнения, как и его отдельных членов, изменяется существенно. Так, даже простой перенос члена уравнения из правой части в левую означает превращение внешнего силового воздействия во внутреннюю силу системы. А переход к вращающейся системе координат делает явным тот, отнюдь не очевидный, факт, что данная динамическая система является колебательной и что в её амплитудно-фазовой характеристике имеется определённая (естественно, доступная изменению при синтезе динамической системы с заданными свойствами) резонансная частота или совокупность резонансных частот.
Именно такой подход даёт возможность представить поступательное движение колеса с колеблющимися грузами в виде резонансного процесса, инициируемого внешним гравитационным воздействием. При этом траектория движения центра масс колеса во вращающейся системе координат приобретает вид раскручивающейся спирали.
Как на это реагируют оппоненты? Встречным вопросом: «А где же уравнения движения? Что-то их не видно». Выходит, для них всё изложенное выше так и остаётся «китайской грамотой»? Печально это, господа!
Однако не будем понапрасну тратить время на преодоление сложившихся стереотипов мышления. Попытаемся предметно убедить оппонентов в ошибочности «устоявшихся» представлений на примере достаточно известной (вроде бы даже успешно решённой, но, на самом деле, так до конца и не понятой) задачи об устойчивости перевёрнутого маятника. Разбор этой задачи должен убедить любого непредвзятого исследователя в том, что:
– если за счёт энергии колебаний и вращений можно обеспечить устойчивое «безопорное стояние» (в общем случае – «безопорное движение») перевёрнутого маятника, то принципиально возможно решение и обратной задачи – перемещения вращающегося и колеблющегося тела по поверхности равного гравитационного потенциала силой притяжения, которая в этом случае производит (конечной величины!) работу, идущую на пополнение внутренней энергии системы, причём, без причинения какого-либо ущерба (бесконечно большой!) энергии внешнего гравитационного поля; это равносильно доступу к неисчерпаемому источнику «даровой» энергии, вопреки методологическим запретам (локального или замкнутого характера и масштаба) в виде пресловутых «законов сохранения» (энергии, импульса, момента импульса), которые за последние полтора столетия успели превратиться из передовой научной методологии в «научный мусор», без удаления которого из «авгиев конюшен» теоретической физики дальнейшее развитие этой науки невозможно;
– в открытых системах, совершающих сложные вращательные и колебательные движения, энергетический баланс вовсе не обязан быть суммой отдельно вычисляемых (якобы независимых, что является заведомым «научным» обманом!) энергетических составляющих – потенциальной, кинетической линейной и кинетической вращения; физики-теоретики наловчились показывать несведущей публике «фокусы», извлекая откуда-то из глубин своего сознания, как зайца из шляпы, одну и ту же для любых систем скалярную функцию Лагранжа, из которой потом частным дифференцированием, откровенно издеваясь и над математикой, и над здравым смыслом, «нарезаются» бесконечные серпантины псевдовекторов для силовых балансов, из которых, кстати, получить обратным действием ту же функцию Лагранжа уже невозможно; логика науки требует противоположно направленного процесса анализа, а, именно, от составления (в терминах алгебры с делением) силового баланса – через его интегрирование по координате – к вычислению энергетического баланса;
– система координат – это отнюдь не вспомогательное, а важнейшее средство, обеспечивающее при моделировании явлений либо адекватное (при её правильном выборе), либо ошибочное представление (в наших головах) об исследуемом физическом процессе; к сожалению, теоретики, не давая себе труда задуматься об этом, применяют «первую, пришедшую на ум» (чаще всего неподвижную декартову) систему координат, чем обрекают себя на оперирование возникающими из-за этого нелинейностями в уравнении движения динамической системы, а, в итоге, вместо решения задачи в виде чёткой аналитической зависимости, получают только результаты «безликого», трудно контролируемого машинного счёта;
– любая «гипотеза» о том, что одно тело якобы «раскручивает, утягивает, увлекает» другое тело или его части, имеет смысл только по предъявлении конкретного «механизма» такого процесса, описываемого соответствующими уравнениями движения; принимать же на веру, тем более, безоглядно верить, к примеру, тому вранью, которым наполнена, с первых до последних страниц, «Механика» Ландау-Лифшица, уважающий себя исследователь не станет.
Однако, вернёмся к задаче об устойчивости перевёрнутого маятника.
Эффект высокой устойчивости вертикального положения длинного шеста при вертикальных вибрациях его нижней опоры (здесь исследователи справедливо отмечают аналогию с гироскопическим эффектом!) известен циркачам-эквилибристам, по меньшей мере, с ХIV века. Для тех же, кого главным образом интересует современное состояние вопроса, сразу даю ссылку на недавнюю научную статью:
В.Н.Неспирный, В.А.Королёв. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА С ПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОГО РАВНОВЕСИЯ. «Механика твёрдого тела». 2009. Вып. 3. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, г. Донецк. http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/mtt/2009
Касаясь истории задачи об устойчивости перевёрнутого маятника, авторы статьи напоминают, что ещё в 1950 году Н.Н.Боголюбов применил для её решения «теорию метода усреднения» (позволяющую выяснить условия, при которых средний вращающий момент, сообщаемый маятнику колебаниями опоры, превышает момент силы притяжения). В 1951 году к тому же результату приходит (вводя понятие вибрационного момента, аналогичного гироскопическому) П.Л.Капица, продемонстрировавший также действующую модель перевёрнутого маятника и этим привлёкший к задаче повышенное внимание. До 1950 года этой задачей занимались немецкие учёные, исследовавшие движение математического маятника при быстрых вибрациях точки подвеса с малой амплитудой по вертикали, по горизонтали, а также в произвольном направлении. Во всех этих случаях наблюдалась устойчивость перевёрнутого положения маятника, хотя, из-за нелинейности дифференциальных уравнений движения, расчёты оказывались довольно сложными, а физический смысл происходящих процессов – не вполне «прозрачным».
Авторы указанной статьи для решения данной задачи применяют машинный счёт (и, естественно, приходят к аналогичным выводам), приняв за основу «уравнение движения математического маятника при перемещении точки подвеса по закону [x(t); y(t)]…: d²φ/dt²+(g/l)sinφ+[dx²(t)/dt²cosφ+dy²(t)/dt²sinφ]/l=0. (1)
…Верхнее положение становится устойчивым при колебаниях подвеса вдоль вертикали с частотой выше √(2gl)/а, где a – амплитуда этих колебаний».
Однако, можно ли, глядя на используемое авторами статьи уравнение движения, понять, за счёт чего возникает устойчивость перевёрнутого маятника? Нет, нельзя. В верхнем положении маятника, т.е. в окрестности точки φ=π, функция sinφ меняет свой знак таким образом, что момент силы гравитации оказывается для маятника не «возвращающим» (к положению равновесия), а «опрокидывающим». При этом, момент сил вибраций, вследствие симметричной знакопеременности по направлениям вверх и вниз, оказывает как «возвращающее», так и «опрокидывающее» действие. Поэтому остаётся непонятным, за счёт чего возникает асимметрия силового воздействия в пользу положения «вверх», позволяющая в итоге превысить силу тяготения, направленную вниз.
Мы не будем подвергать сомнению приведённые в статье результаты машинного счёта, тем более, что они соответствуют качественной картине данного явления, известной из опыта. Но мы вправе утверждать, что уравнение (1) в представленном виде не отражает суть исследуемого явления адекватно.
Действительно, силовой баланс (1) одномерен: его слагаемые являются скалярными величинами, а, именно, модулями векторных величин, взятых из разных систем координат и отсчёта: угловое ускорение – это вектор трёхмерного пространства, перпендикулярный плоскости маятника, а вращающие моменты, приведённые к единичной массе и единичной длине маятника, чётко «привязаны» к осям декартовых координат на действительной плоскости. К тому же выбор неподвижной системы координат окончательно «затуманивает» физический смысл данного динамического процесса (такова «плата» за использование векторно-тензорной алгебры!).
В то же время, результаты машинного счёта подтверждают вывод авторов статьи о том, что выбором управляющего (вибрационного) воздействия на нижнюю опору можно без каких-либо иных опор (т.е. безопорно по горизонтали) удерживать маятник в произвольном наклонном положении или перемещать по горизонтали согласно заданному закону.
Однако, всё же есть прямой смысл заглянуть в первоисточники, чтобы посмотреть, какими, возможно иными, методами пользуются математики и физики-теоретики для решения той же задачи.
1. Боголюбов Н.Н. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Глава V. Метод усреднения. §24. Уравнения первого и высших приближений в методе усреднения, сс. 309-311.
«В качестве примера, иллюстрирующего изложенную теорию, рассмотрим колебания физического маятника, представляющего собой твёрдое тело, которое может свободно вращаться в определённой вертикальной плоскости вокруг своей точки подвеса…
Составим уравнение колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса. Считая затухающие колебания пропорциональными скорости, имеем
d²θ/dt²+λdθ/dt+(g/l)sinθ–(aω²sinωt sinθ)/l=0, (24.77)
где θ – угол отклонения, отсчитываемый от нижнего положения равновесия,
у = a sinωt – вертикальное перемещение точки подвеса,
λ – коэффициент затухания.
…Чтобы выявить в рассматриваемом уравнении (24.77) малый параметр, целесообразно ввести безразмерное время. Именно, вместо времени t, измеряемого в секундах, введём время τ, для которого единицей измерения будет отнесённый к 2π период колебаний точки подвеса, т.е. 1/ω… Положим для сокращения k=(ω0/ω)/(а/l), α=λk/2ω0.
…Принимая в качестве малого параметра ε отношение амплитуды колебаний точки подвеса к приведённой длине маятника, имеем окончательно:
d²θ/dτ²+2εα dθ/dτ+k²ε²sinθ – ε sinτ sinθ=0, (24.79)
где … α<1, k<1.
…Введём вместо одной неизвестной функции времени θ две новые неизвестные φ и Ω с помощью формул
θ = φ – ε sinτ sinφ, (24.80)
dθ/dτ = εΩ – ε соsτ sinφ. (24.81)
…Переменные φ, Ω удовлетворяют дифференциальным уравнениям в стандартной форме:
dφ/dτ = εΩ+ε²…,
dΩ/dτ = ε{–sin²τ sinφ соsφ – k²sinφ + Ω соsτ соsφ – 2αΩ + 2α соsτ sinφ}+ ε²… (24.84)
Применяя к ним принцип усреднения и учитывая тождественные соотношения
Мτ{соsτ}=0, Мτ{sin²τ}=1/2,
получаем уравнения первого приближения в виде
dφ/dτ = εΩ,
dΩ/dτ = –ε{(1/2) sinφ соsφ + k²sinφ + Ω соsτ соsφ + 2αΩ}. (24.85)
Эти два уравнения первого порядка (24.85), очевидно, эквивалентны одному уравнению второго порядка:
d²φ/dτ²+2εαdφ/dτ+ε²[k²+(1/2)соsφ]sinφ=0. (24.86)
Полученное уравнение первого приближения гораздо проще точного уравнения (24.79) хотя бы тем, что не содержит явно времени. Оно представляет собой уравнение колебаний системы, подобной маятнику с неподвижной точкой опоры, у которого «восстанавливающая сила» пропорциональна не sinφ, а [k²+(1/2)соsφ]sinφ. Любопытно отметить, между прочим, что такого рода системами являются, например, некоторые гироскопы… Непосредственно из (24.86) видим, что это уравнение допускает квазистатическое решение φ=π, соответствующее верхнему положению равновесия маятника».
Как видим, указанные выше изъяны общепринятой методологии исследования (представление уравнения движения в одномерном виде на действительной числовой оси и выбор неподвижной системы координат) присутствуют и здесь, что приводит аналитика к необходимости применять для решения задачи довольно изощрённые (к тому же, с «непрозрачным» физическим смыслом) методы разделения быстро и медленно осциллирующих силовых составляющих динамического процесса.
2. П.Л.Капица. МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ. «УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК»,1951 г. Май. Т. XLIV, вып.1, сс.7-20.
«Если равнодействующая приложенных к телу сил не проходит через его центр тяжести, то при их вибрации возникает вибрационный момент, старающийся установить тело в такое положение, при котором его центр тяжести находился бы на оси колебания…
Между гироскопическим моментом и вибрационным моментом существует некоторая аналогия…
В большинстве интересующих нас типов движений в первом приближении … мы получаем такие же уравнения, как если бы подвес был в покое, но кроме внешнего момента Мφ действовал ещё дополнительный момент М…
Величина вибрационного момента М не зависит от длины маятника и в основном определяется кинетической энергией, сообщённой массе маятника процессом вибрации подвеса».
Вывод о превышении момента силы тяжести за счёт кинетической энергии, передаваемой маятнику через вибрацию подвеса, конечно, вполне справедлив. Однако кинетическая энергия, будучи скалярной величиной, не имеет направления, а математические выкладки, показывающие, как именно возникает вибрационный момент, направленный против момента силы тяжести маятника, в итоге остаются «за кадром». И вместо инструмента анализа и синтеза систем с принципиально новыми динамическими свойствами, в нашем распоряжении остаётся лишь принимаемый на веру постулат о том, что любого вида кинетическая энергия, сообщённая опоре маятника, «автоматически» должна пойти на преодоление силы тяжести (что, конечно, в принципе не верно!).
3. Бутиков Е. И. Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы)
Санкт-Петербургский государственный университет
http://faculty.ifmo.ru/butikov/Russian/ParamPendulum.pdf
«Обычный жёсткий маятник, подвес которого совершает принудительные колебания в вертикальном направлении, демонстрирует, в зависимости от частоты и амплитуды вынужденных колебаний точки подвеса, большое число разнообразных видов движения. Некоторые движения этой простой механической системы оказываются неожиданно сложными и зачастую противоречат нашей интуиции. Поведение такого маятника интенсивно изучается вот уже более столетия. Он вызывает неослабевающий интерес не только как пробный камень новых методов исследования нелинейных систем, но и потому, что дифференциальное уравнение маятника часто встречается в самых разных проблемах современной физики. Механические аналоги различных физических систем допускают непосредственную визуализацию движения, что очень полезно для понимания поведения сложных систем и вообще для развития физической интуиции…
Сила тяжести mg создаёт возвращающий момент –mgl sinφ, пропорциональный синусу угла отклонения φ маятника от положения равновесия. Когда подвес маятника неподвижен, этот момент заставляет отклонённый маятник совершать колебания относительно нижнего положения устойчивого равновесия. Если же подвес принудительно движется с некоторым ускорением, поведение маятника удобно описывать с помощью неинерциальной системы отсчёта, связанной с подвесом. Из-за ускоренного движения такой системы отсчёта на все тела, наряду с «обычными» силами, действует ещё и сила инерции («псевдосила»), направленная противоположно ускорению системы отсчёта. Допустим, что подвес осциллирует вдоль вертикали и его координата z(t) изменяется со временем по гармоническому закону с некоторой частотой ω и амплитудой a:
z(t)=a cosωt или z(t)=a sinωt. (1)
В зависимости от характера решаемой задачи в (1) может оказаться удобным тот или иной выбор начальной фазы осцилляций подвеса (выбор начала отсчёта времени). Приложенная к грузу маятника сила инерции Fin(t) также зависит от времени по синусоидальному закону:
Fin(t)=−md²z(t)/dt²=mω²z(t). (2)
Сила инерции направлена вниз в течение тех интервалов времени, когда осциллирующий подвес находится ниже своего среднего положения, т.е. когда z(t)<0. Это непосредственно видно из выражения (2) для Fin(t), правая часть которого зависит от времени так же, как и z-координата подвеса. Поэтому на протяжении соответствующей половины периода колебаний подвеса действие силы инерции равносильно некоторому увеличению силы тяжести. На протяжении другой половины периода, когда подвес находится выше среднего положения (когда z(t)>0), сила инерции направлена вверх, что равносильно уменьшению силы тяжести.
… В дифференциальное уравнение для угла отклонения φ(t) маятника с осциллирующим подвесом, … наряду с моментом силы тяжести mg (g – ускорение свободного падения), включён момент силы инерции Fin(t), который явно зависит от времени t:
d²φ/dt²+2γdφ/dt+[(g−aω²cosωt)sinφ]/l=0. (3)
Второй член в (3) учитывает момент силы трения, который в этой модели принят пропорциональным мгновенному значению угловой скорости маятника 2γdφ/dt. Постоянная затухания γ обратно пропорциональна добротности Q, которую обычно используют для характеристики затухания малых собственных колебаний под действием вязкого трения: Q=ω0/2γ, где ω0=√(g/l) – частота собственных колебаний предельно малой амплитуды в отсутствие осцилляций подвеса.
…Cила инерции изменяется со временем по синусоидальному закону, её среднее за период значение равно нулю. Но оказывается, что среднее значение момента этой силы относительно оси вращения маятника отлично от нуля. Именно средний момент силы инерции отвечает за необычное, противоречащее нашей интуиции поведение маятника.
…Когда стержень маятника отклонен от нижнего положения равновесия в среднем на угол ψ, мгновенное значение угла отклонения φ(t) из-за принудительных осцилляций оси подвержено быстрым синусоидальным колебаниям с частотой ω около этого среднего значения ψ=‹φ(t)›… Поэтому можно искать мгновенное значение угла отклонения φ(t) как сумму медленно изменяющейся функции ψ(t) и быстрого слагаемого δ(t), среднее значение которого равно нулю. Быстрый член δ(t) совершает колебания с высокой частотой ω принудительных колебаний оси… Угловая амплитуда этих быстрых колебаний пропорциональна синусу среднего угла отклонения ψ:
φ(t)=ψ(t)+δ(t)=ψ(t)−[z(t)sinψ]/l=ψ(t)−[(asinψ)(cosωt)]/l. (4)
Здесь использовано выражение (1) для мгновенного положения оси z(t), в котором a – амплитуда принудительных колебаний оси, l – длина маятника. Знак второго слагаемого в (4) объясняется тем, что когда ось находится выше своего среднего положения, т.е. значение z положительно, дополнительный угол δ = −(z/l) sinψ отрицателен, и наоборот.
…Приближённое значение момента силы тяжести относительно оси маятника, усреднённое по периоду быстрых осцилляций оси:
‹−mglsinφ›=‹−mglsin(ψ+δ)›=−mglsinψ. (6)
Здесь учтено, что среднее значение δ(t) равно нулю: ‹δ(t)›=0. Таким образом, среднее значение момента силы тяжести будет таким же, как в случае неподвижного подвеса: второй (осциллирующий) член в выражении (4) для мгновенного значения угла отклонения, будучи умноженным на постоянную (не зависящую от времени) силу тяжести, не даёт вклада в средний момент сил. Напротив, при усреднении по времени момента осциллирующей силы инерции вклад первого члена разложения (4) обращается в нуль, но второй член даёт ненулевой вклад в средний момент. Так происходит благодаря одинаковой синусоидальной зависимости от времени как δ(t), так и силы инерции Fin(t) (см. (2)):
‹Fin(t)lsin(ψ+δ)›=−maω²l(a/l)cosψsinψ‹cos²ωt›=−(1/2)ma²ω²cosψ sinψ=−(1/4)ma²ω²sin2ψ. (7)
В (7) учтено, что среднее за период значение квадрата косинуса равно 1/2. В случае ψ>π/2 средний момент силы инерции положителен: когда маятник образует острый угол с направлением вверх, этот момент стремится повернуть стержень маятника в перевёрнутое положение. Сравнивая правые части выражений (6) и (7), можно найти условие, при котором момент силы инерции, действующий на отклонённый из перевёрнутого положения маятник, превосходит момент силы тяжести, стремящейся привести маятник в нижнее положение: a²ω²>2gl… В этой статье мы коснулись лишь некоторых наиболее характерных особенностей поведения маятника с осциллирующим подвесом. Многие экзотические режимы ещё ждут своего исследователя. Эта простая на первый взгляд физическая система представляется поистине неисчерпаемой».
Как видим, выбор «неинерциальной системы отсчёта, связанной с подвесом», значительно упрощает математические выкладки и делает более ясным физический смысл процесса преобразования кинетической энергии вибраций в устойчивое вертикальное положение перевёрнутого маятника. В данном случае последним препятствием на пути к адекватному представлению поведения перевёрнутого маятника остаётся лишь применение автором данной работы (для описания сложного движения на плоскости!) аппарата функций действительного переменного, которому «традиционно» (неизменно, безальтернативно и, к сожалению, не всегда правомерно!) отдают предпочтение представители московской (лузинской) математической школы.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2001 (2004, 2007), сс. 22-23, 127.
«Задачи. Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в однородном поле тяжести (g – ускорение свободного падения)…
3. Плоский маятник, точка подвеса которого:
а) равномерно движется по вертикальной окружности с постоянной частотой γ;
б) совершает горизонтальные колебания по закону а соs γt;
в) совершает вертикальные колебания по закону а соs γt.
Решение.
а) Координаты точки m:
х = а соs γt + l sin φ, у = – а sin γt + l соs φ.
Функция Лагранжа
L = ml²(dφdt)²/2 + mlаγ² sin(φ–γt) + mgl соs φ;
здесь опущены члены, зависящие только от времени, и исключена полная производная по времени от mаlγ соs(φ–γt).
б) Координаты точки m:
х = а соs γt + l sin φ, у = l соs φ.
Функция Лагранжа (после исключения полных производных)
L = ml²(dφdt)²/2 + mlаγ² соs γt sin φ + mgl соs φ.
в) Аналогичным образом
L = ml²(dφdt)²/2 + mlаγ² соs γt соs φ + mgl соs φ…
Задачи.
1. Определить положения устойчивого равновесия маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой γ (γ»√g/l).
Решение. Из полученной в задаче 3, в) функции Лагранжа видно, что в данном случае переменная сила f = – mlаγ² соs γt sin φ
(в качестве величины х выбран угол φ). Поэтому «эффективная потенциальная энергия»
Uэф = mgl (–соs φ + а²γ²sin φ /4gl).
Положения устойчивого равновесия отвечают минимуму этой функции. Направление вертикально вниз (φ=0) всегда устойчиво. При выполнении условия а²γ²>2gl устойчивым является также положение вертикально вверх (φ=π).
2. То же для маятника с горизонтально колеблющейся точкой подвеса.
Решение. Из полученной в задаче 3, б) функции Лагранжа находим f = – mlаγ² соs γt соs φ и затем Uэф = mgl (–соs φ + а²γ²соs²φ /4gl).
Если а²γ²<2gl, то устойчиво положение φ=0. Если же а²γ²>2gl, то устойчивому равновесию отвечает значение соs φ = 2gl/а²γ²».
Пожалуй, это наихудший из имеющихся на сегодня подходов к решению рассматриваемой задачи. «Лёгким росчерком пера» маэстро-учёный пытается убедить читателя (студента!) в формальной простоте данной задачи. Вроде и думать не о чем: действуй по схеме – получишь правильный ответ. Но это впечатление обманчиво. Решения задачи здесь нет, есть лишь «подгонка» под известный ответ. Бросается в глаза явная «натяжка», а именно: зависящая от времени переменная сила f никак не подходит под определение «потенциальной силы» (которая должна зависеть только от координаты). Следовательно, и интеграл от этой силы по координате не может дать величину зависящего только от координаты (что оправдывало бы применение аппарата лагранжианов) положительного вклада в «потенциальную энергию» маятника. Таким образом, налицо очередной, из ряда других в данном учебном пособии и вполне характерный для стиля научных работ Льва Ландау, «научный обман»! О других мы уже рассказывали в статьях Научного журнала Форума и в печатных монографиях 2001-2010 годов.
Подведём некоторый итог. Мы видели, как энергия колебаний расходуется на то, чтобы удерживать тело в вертикальном положении без горизонтальной опоры. Теоретически (и технически) не составляет проблемы «повернуть» процесс передачи энергии от постоянного гравитационного воздействия, преобразованного самим вращением тела в переменное, в одну из форм внутреннего движения динамической системы, о чём мы уже неоднократно писали в печатных публикациях и в статьях Научного журнала Форума. За рубежом работы в этом научно-техническом направлении уже идут полным ходом. У нас в стране официальная наука пока что прочно завязла в бюрократической рутине.

Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 26 | Нарушение авторских прав

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151617 18 19 20 21 Следующая ⇒

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)

<== предыдущая лекция

следующая лекция ==>