Комбинаторный анализ

В практике ФКС возникают ситуации, связанные с использо­ванием множеств, которые представляют собой совокупность оп­ределенного числа элементов произвольного вида. Некоторое ко­личество элементов, избранных из множества, называется под­множеством.

Понятия «множество» и «подмножество» в известном смысле являются произвольно определенными. Например, если всех фут­болистов региона определить как множество, то сборная коман­да этого региона является подмножеством. Если в качестве мно­жества определяется сборная команда, то группа, нападающих этой команды в какой-либо конкретной ситуации есть подмно­жество.

Условимся обозначать множество через я элементов, а под­множество — k элементов. Основные операции множеств относят­ся к работе с подмножествами.

Для практики ФКС имеют значение элементарные операции с множествами: определение перестановок, сочетаний (комбина­ций) и размещений.

Перестановки (Р„) — это количество возможных множеств, от­личающихся порядком элементов. Перестановки определяются по формуле

Р_я = п\, (3.17)

где Р„ — число перестановок; я — число элементов множества; п\ — факториал от п элементов.

Факториал представляет собой произведение натурального ряда чисел от 1 до п, т.е.

п\ = 1-2-3-...-л. (3.18)

Например: 3! = 1 -2-3 = 6; 4! = 1 -2-3-4 = 24; 5! = 1 -2-3 -4-5 = = 120 и т.д.

Заметим, что 0! условно принимается равным 1.

Сочетания (комбинации) представляют собой количество воз­можных подмножеств численностью k из множества я и определя­ются по следующей формуле:

С* =

"

*!(,ГЩГ <^ЗЛ9>

где С% — число сочетаний подмножеств с элементами k из множе­ства с элементами п; k — число элементов подмножества.

Например, множество, состоящее из л = 9, содержит С₉³ под­множеств, состоящих из k = 3, а именно:

9! 1-2-3-4-5-6-7-8-9

Г³ -

»^о —

= 84.

3!(9-3)! 1-2-3-1-2-3-4-5-6

Размещение представляет собой число подмножеств, каждое из которых отличается порядком элементов и определяется по сле­дующей формуле:

Ak - Tkp _

™п — ^ья ^rk —

n\k\

п\

k\(n-k)\ (я-£)!' ^(3-20)

где А * — число размещений подмножеств с количеством элемен­тов k; P_k — число перестановок элементов подмножества k.

Например, множество л = 9 имеет количество подмножеств k = 3 (С₉³). При этом каждое такое подмножество имеет перестановку элементов k = 3. Количество таких подмножеств равно

., 9! 1-2-3:4-5-6-7-8-9

1-2-3-4-5-6

= 504.

⁴ (9-3)!

Понятия размещений, сочетаний и перестановок используют­ся в практике ФКС в двух случаях: 1) при решении элементарных задач и 2) при создании моделей.

Рассмотрим первый случай — решение элементарных задач.

Пример 3.22. В шеренге стоят 5 спортсменов. Сколько воз­можно создать таких шеренг за счет перестановок спортсменов?

Множество я = 5. Все варианты отличаются порядком располо­жения элементов. Количество вариантов определяем как число пе­рестановок по формуле (3.18)

Р₅ = 5!= Ь2-3-4-5=120.

Пример 3.23. Четыре группы спортсменов должны пройти четыре станции. Сколько существует вариантов прохождения стан­ций?

Множество л = 4. Все варианты отличаются порядком располо­жения элементов. Определяем количество перестановок пб-фор-муле (3.18)

Р₄ = 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.

Пример 3.24. Установлено, что гибкость можно развить при помощи трех специализированных комплексов упражнений, т. е. л = = 3. Группы спортсменов должны заниматься разными комплекса­ми. Сколько существует вариантов выполнения комплексов?

191 Пример 3.25. При составлении расписания для занятий груп­пы здоровья исходят из условия, что в день приходится по два вида занятий. Сколько дней нужно для одного цикла, если виды уроков п = 11

Все множество уроков составляет и = 7; подмножество уроков k = 2.

Определяем число сочетаний по формуле (3.20):

_с^ 7! -₌1.2-3.4.5.6.7 ⁷ 2!(7-2)! 1-2-1-2-3-4-5

Пример 3.26. Группа состоит из 12 спортсменов. Они имеют одинаковую квалификацию. На соревнования должна быть направ­лена группа из 5 спортсменов. Сколько вариантов есть у тренера для комплектации такой группы?

Множество и = 12 и подмножество k = 5. Количество возможных подмножеств определяем по числу сочетаний по формуле (3.20):

₅ 12! ₌ 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-1Ы2

¹² 51(12-5)! 1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-6-7

Пример 3.27. Из 10 упражнений на развитие выносливости необходимо отобрать 5 упражнений для включения их в трениро­вочный комплекс. Сколько вариантов можно предусмотреть?

Множество п = 10 и подмножество k = 5. Определяем число сочетаний по формуле (3.20):

с,⁵, =

12!

________ ₌ l-2-3-4-5-6-7-8-9-lQ-ll-12

5!(12-5)!~ 1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-6-7

= 792.

Пример 3.28. Определено 9 упражнений на развитие быст­роты. Ежедневно на тренировке можно применить 2 таких упраж­нения. Имеет значение последовательность их применения. Сколь­ко неповторяемых программ на развитие быстроты можно создать из этих упражнений?

Множество п = 9 и подмножество k = 2. Поскольку имеет значе­ние перестановка элементов, по формуле (3.21) определяем чис­ло размещений:

„ 9! 1-2-3-4-5-6-7-8-9

1-2-3-4-5-6-7

= 72.

^у (9-2)!

Пример 3.29. В спортивном вузе 12 учебных предметов дол­жны быть распределены по 3 предмета на каждый день. На сколь­ко дней учебного расписания рассчитаны эти дисциплины?

Множество п - 12 и подмножество k = 3. Поскольку последова­тельность дисциплин дает каждый раз новый вариант расписа­ния, по формуле (3.21) определяем размещение:

1-2-3-4-5-6-7-8-9 1-2-3-4-5-6-7

= 72.

Варианты подмножеств при необходимости можно просмот­реть. Такой просмотр возможен с помощью переборных таблиц, но, как правило, для небольшого числа элементов.

Контрольные вопросы и задания

Что представляет собой факторная матрица?

2. Какие выводы можно сделать на основании факторного анализа?

3. Охарактеризуйте метод корреляционных плеяд.

4. Что такое мощность и крепость плеяд?

5. Что такое множество? Чем множество отличается от подмножества?

6. Дайте определения терминам «перестановка», «сочетание» и «раз­мещение».

---

Дата добавления: 2015-10-21