Математическое безвременье в отечественной науке 6 страница

====================================================================================

Анатолий Михайлович Петров:
Blonde:
…Энергия системы в точности должна... быть равна интегралу по времени от частной производной Гамильтониана по времени…

Уважаемая Blonde, с Новым годом!
Да, это – именно та проблема, по которой мы никогда не сможем договориться, а именно: проблема неадекватности для открытых систем аппарата частных производных, составляющего основу методологии лагранжианов-гамильтонианов, которая, в свою очередь, присутствует в теоретической физике только на основе постулата о якобы подчинении любых динамических систем «принципу наименьшего, наибольшего или стационарного действия» (какого именно, из трёх перечисленных, методология не определяет, да и не способна различить, к какому из этих случаев относится конкретное равенство нулю вариации действия).
Ограниченность указанной методологии связана с лежашим в её основе допущением о том, что поведение любой системы якобы можно полностью определить, зная лишь значения её координат и скоростей в какой-либо точке траектории движения (или зная зависящие только от координат и скоростей энергетические характеристики системы, а именно, её кинетическую и потенциальную энергию).
Однако, когда возникает необходимость учёта других видов энергии или работы внешней силы (в случае открытой системы), добросовестные исследователи отказываются от этой методологии в пользу ньютонова подхода, основанного на прямом составлении баланса действующих на систему внешних и внутренних сил. Кстати, соблюдение баланса сил «автоматически» обеспечивает также и равенство нулю вариации действия в тех случаях, когда само действие (интеграл от функции Лагранжа по времени) имеет реальный физический смысл.
Одним из первых, из числа выдающихся учёных, усомнился в универсальности указанного принципа Леонард Эйлер, который поначалу уделил ему много внимания, но, убедившись в том, что он не доказывается, а только постулируется, прекратил связанные с ним исследования. Известны предупреждения об ограниченном характере данной методологии и других выдающихся учёных, включая считающегося одним из её соавторов Уильяма Гамильтона и пытавшегося, но так и не успевшего её усовершенствовать, Анри Пуанкаре. Современную же историю неудач и научных провалов, которыми мы обязаны именно методологии лагранжианов-гамильтонианов, комментировать здесь не будем. То, что происходит здесь на Форуме, это лишь отголосок серьёзных научных баталий, перевес в которых пока ещё (но не надолго!) на стороне консервативного и крайне реакционного «официоза», давно предавшего интересы научно-технического прогресса (а, значит, интересы и науки, и страны) и озабоченного лишь тем, чтобы как можно дольше сохранять за собой не по праву и бесполезно, т.е. паразитически занимаемое «тёплое место под солнцем».
И вот приходите Вы и предлагаете, вместо углубления в физическую суть резонансного процесса, взглянуть на любопытный «математический фокус» с применением аппарата частных производных, в котором изуродованный нахрапистыми научными аферистами гамильтониан частным образом дифференцируется по времени и тут же интегрируется по тому же времени. И надо же: получается, что аферист, придумавший этот «фокус», вовсе и не аферист, а достойный учёный! Вот какой замечательный этот аппарат: формально всё верно, а по существу издевательство над человеческим разумом!
Если есть желание (или «заказ»?), то продолжайте и дальше этим заниматься. Но лично я в этом научном обмане участвовать отказываюсь.

Анатолий Михайлович Петров:
Herodotus:
…В правой части оказывается интеграл по времени от мгновенной мощности внешней силы F(t)v(t), который - вполне естественно - и даёт приращение энергии "собственно системы", которая стоит в левой части.

То, что, на самом деле, «вполне естественно», появляется у оппонентов только здесь и сейчас, на Форуме, «задним числом» и в качестве явно вынужденного, но глубоко не продуманного и до конца не осмысленного (а, значит, всего лишь лицемерного) признания. Ведь «вполне естественен» и логичен только ньютонов энергетический баланс
mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt.
А его-то в «Механике» Ландау-Лифшица и нет! Вместо него присутствует изуродованный и потерявший всякий смысл гамильтониан
Н=mv2/2+kx2/2–xF(t).
Нас хотят уверить, что и то, и другое – это «одно и то же». Как видно, оппоненты всё ещё рассчитывают на дурачков!

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
Видимо, до Вас не дошло, что как раз из этого гамильтониана и получается mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt.
А по мне, так кватернионы – издевательство над человеческим разумом. Что – и дальше будем спорить о вкусах или наконец приступите к доказательствам?

В ньютоновом энергетическом балансе mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt и ландавшицком изуродованном гамильтониане Н=mv2/2+kx2/2–xF(t)
есть только одно отличие. В первом присутствует интеграл ∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt, выражающий работу внешней силы. Величина этой работы, после подстановки в подынтегральные выражения найденных из уравнения движения функций x(t) или v(t), становится тождественно равной величине энергии системы mv²/2+kx²/2.
Во втором же «интеграл работы» присутствует уже в существенно изменённом виде: во-первых, он перенесён в другую часть энергетического баланса (с противоположным знаком) и вычитается из энергии системы, а, во-вторых и в-главных, он заменён произведением –xF(t), которое при резонансе изменяется линейно во времени и поэтому не может представлять ни работы внешней силы, ни (пополняемой, за счёт этой работы) энергии системы, изменяющихся (тождественно!) во времени по квадратичному закону.
А нам предлагают «не верить глазам своим» и считать ньютонов энергетический баланс и ландавшицкий гамильтониан «равноценными». Мол, можно ещё их оба так «поуродовать» (к примеру, частным дифференцированием), что после этого сам Ньютон или Гамильтон не смогли бы их различить.
Но, спрашивается, зачем надо было уродовать ньютонов энергетический баланс, чтобы потом из получившегося урода снова пытаться восстановить что-то путное?
А всё дело в том, что методология лагранжианов-гамильтонианов претендует на универсальность (имеем здесь в виду только Ландау-Лифшица, применяющих безальтернатично, к месту и не к месту, только эту методологию; этого, к примеру, нельзя сказать про Ольховского, использующего для анализа открытых систем как раз иные методы!) и даже способность определять энергетические характеристики любых систем (включая открытые) ещё до составления и решения их уравнений движения! Всё вышесказанное – это и есть убедительное подтверждение необоснованности и несостоятельности таких претензий.
Ну, а негативное отношение к кватернионам – это лишнее подтверждение ущербности той математической школы, которую представляют наши оппоненты. Ведь когда-то и достоинства комплексных чисел, как адекватного средства для описания колебаний и вращений на плоскости, не все могли правильно оценить и использовать.

Андрей Александрович Козлов:
Смотрите какую интересную ссылку мне дали.
http://isc.org.ru/salle01.asp
Салль С.А. - не оставляет от теории относительности и квантовой механики камня на камне.
И говорит все те же правильные вещи - про частные производные в уравнениях Максвела и т.д.

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
Спор об уродстве и противоестественности – это опять же спор о вкусах. О вкусах не спорят… Он даже Ольховского не трогает, хотя, казалось бы, показали, что он пользуется тем же аппаратом.
Herodotus:
1) Для А.М.П. сильнее кошки (точнее, Ландау-Лифшица) зверя нет. Он опасается катить бочку непосредственно на Лагранжа, Лежандра, Гамильтона, Якоби, которые разработали аналитическую механику в её современном виде, или, скажем, на Голдстейна, Ланцоша, Тейлора - авторов стандартных несоветских курсов механики - или даже на Арнольда.
2) А.М.П. явно никогда в жизни не решал сколько-нибудь сложных задач по механике. Иначе он бы осознавал и то, насколько менее удобен ньютоновский подход, и физический смысл гамильтониана и лагранжиана (в том числе в реономных системах). Ну и, естественно,
3) человек, который именем Ньютона обвиняет всех физиков и механиков мира в злонамеренном непонимании или фальсификации механики (поскольку ЛЛ1 – стандартный вводный учебник аналитической механики для физиков в большинстве университетов Запада), на полном серьёзе доказывает несохранение механической энергии и импульса в системе классических гравитирующих тел.
Если письмо А.М.П. всё же будет написано и доберётся до прокурора, то доставит ему несколько весёлых минут, вместе с Наполеоном и обоими Ньютонами из той же палаты.

Ну, вот. Оказывается, мы тут понапрасну «копья ломаем»: надо лишь заглянуть в книги серьёзных авторов и там найти ответы на все интересуюшие нас вопросы.
Слов нет, «великая армия» теоретиков десятилетие за десятилетием старательно «отрабатывает свой хлеб», исписывая горы бумаги в попытках «углубить и расширить» ранее высказанное классиками, да ещё и изложить свои результаты так, чтобы ненароком не возникло подозрений в примивном эпигонстве! На этом фоне простенькая и давно решённая «задача об осцилляторе в режиме резонанса» почти затерялась «в глубоком тылу» далеко продвинувшегося вперёд «научного фронта». Однако, почему бы не попрактиковать и на этом «научном полигоне» показ силы и мощи вводимых в действие новых методологических средств?
Классическое решение задачи об осцилляторе (на основе дифференциального уравнения в виде ньютонова баланса сил) приведено в «Механике» Ландау-Лифшица (сс.83-84). При нулевой начальной фазе колебаний на входе и отсутствии свободных колебаний в начальный момент времени t=0, решение уравнения ньютонова баланса сил
d²x/dt²+ω²x =(f/m)cos(ωt)
имеет следующий вид: x(t)=(ft/2mω)sin(ωt), dx/dt=v(t)=(f/2mω)sin(ωt)+(ft/2m)cos(ωt).
Отсюда легко вычислить (хотя Ландау-Лифшиц этого не делают; а почему, станет ясно позднее) знергетический баланс системы в виде тождественного равенства величины работы внешней силы А (правая часть тождества) и суммы кинетической и потенциальной энергии E (левая часть тождества):
mv²/2+kx²/2≡∫F(t)dx.
Подставляя в левую и правую части знергетического баланса выражения для функций x(t) и v(t), вычислим отдельно величины А и Е:
E=mv²/2+mω²x²/2=(f²t²/8m)+(f²t/8mω)sin(2ωt)+(f²/16mω²)–(f²/16mω²)cos (2ωt),
А=∫F(t)dx=∫F(t)vdt=∫(f²t/2m)cos²(ωt)dt+∫(f²/4mω)sin(2ωt)dt=
= (f²t²/8m)+(f²t/8mω)sin(2ωt) +(f²/16mω²)–(f²/16mω²)cos (2ωt).
Таким образом, убеждаемся, что Е≡А.
Заметим, что в полученных выражениях для величин А и Е практическое значение имеют только первые слагаемые, возрастающие квадратично во времени. Остальные слагаемые (зависящие линейно или не зависящие от времени), по сравнению с ними, оказываются ничтожно малыми, и ими можно пренебречь.
На этом в данной задаче можно было бы поставить точку, если бы авторы «Механики» не взялись показать, что они могут решить эту задачу другим путём, исходя из энергетических характеристик осциллятора, которые они якобы способны определить заранее, ещё не имея решения задачи. Применив лагранжево-гамильтонов формализм, они ввели в оборот величину «дополнительной потенциальной энергии системы -xF(t)», которую вычли из функции Лагранжа и, соответственно, прибавили к функции Гамильтона (представляющей полную энергию системы). Однако, оказалось, что при резонансе величина -xF(t) возрастает линейно во времени и поэтому не выражает ни работы внешней силы, ни энергии системы, которые, как было показано выше, изменяются во времени по квадратичному закону.
Несомненно, здесь налицо явная ошибка авторов «Механики», превысивших пределы компетенции лагранжево-гамильтонова формализма. Однако, представители «научного официоза» признавать эту ошибку категорически отказываются. Мол, во-первых, нельзя «идти против всех». А, во-вторых, «Механика» Ландау-Лифшица уже стала «стандартным вводным учебником аналитической механики для физиков в большинстве университетов Запада».
На это мы ответим так. Во-первых, кроме Ландау-Лифшица, больше никто, как из отечественных, так и зарубежных авторов книг по теоретической механике, столь глупо «в лужу не сел»: все на словах отдают дань «научно-дипломатическому протоколу», т.е. простейшие разделы теории (относящиеся к замкнутым системам) излагают «птичьим языком» лагранжево-гамильтонова формализма, но, как только доходят до явления резонанса, либо переходят на нормальный язык науки-физики, либо дальше избегают обсуждать эту тему, так что никаких ошибок не допускают. Во-вторых, когда единственным распространителем откровенной лженауки в студенческих аудиториях не только в нашей стране (это ещё куда ни шло: «своя зараза»!), но и за рубежом, выступает «книга из России», тут уж надо изо всех сил постараться нам самим первыми исправить ошибку и, конечно, извиниться за неё, не дожидаясь, когда начнут произноситься вслух соответствующие, не очень приятные, «эпитеты» в наш адрес.
В подтверждение того, что ни у кого из других авторов подобных ошибок нет, заглянем в названные оппонентом «стандартные несоветские курсы механики Голдстейна и Ланцоша» (фамилии Тейлора в числе авторов таких учебников мне не встретилось), затем ещё раз откроем учебник И.И.Ольховского, после чего прочитаем и то, что по данному вопросу пишут профессиональные математики – нынешний директор ведущего математического института РАН (и, по совместительству, вице-президент РАН) В.В.Козлов и (к сожалению, в 2010 году ушедший из жизни) академик РАН В.И.Арнольд, ученик А.Н.Колмогорова.
Итак, Г.Голдстейн. Классическая механика, 1957, с.361:
«§10.3. Вынужденные колебания и диссипативные силы.
Свободные колебания возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания, при которых внешние силы действуют на систему не только в момент t=0, но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. Что же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача сильно упрощается, если пользоваться главными координатами, полученными при исследовании свободных колебаний… В главных координатах уравнения движения будут иметь вид
d²ξi /dt²+ω²ξi=Qi, (10.58)
т.е. будут представлять систему, состоящую из n неоднородных дифференциальных уравнений. Зная функции Qi(t), мы можем решить её…
Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по синусоидальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде звуковой волны, действующей на систему, т.к. Qi будет иметь тогда ту же частоту, что и звуковая волна. Другой пример даёт нам многоатомная молекула, на которую падает пучок монохроматического света. В этом случае на каждый атом молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся с частотой падающего света.
…Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами. Первый из них – это амплитуда возмущающей силы… Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания… Формально мы получаем при ω=ωi даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса…».
Как видим, никакой «игры» терминами лагранжево-гамильтонова формализма здесь нет. Разговор строго по делу. А, между тем, сам автор в Предисловии отмечает:
«Большое место в книге отведено каноническим преобразованиям, скобкам Пуассона, теории Гамильтона-Якоби и переменным действие-угол. Дано также введение в теорию вариационных принципов для непрерывных систем и полей…».
К.Ланцош. Вариационные принципы механики, 1965.
Автор строго придерживается заявленной темы книги, и это вынуждает его само понятие резонанса из рассмотрения исключить. Подступая же к границам области применимости вариационных принципов, автор сам эти границы нигде не нарушает и предостерегает от этого опрометчивого шага других исследователей.
С.40: «С точки зрения вариационных принципов механики голономные и неголономные связи различаются очень сильно. Хотя уравнения механики и могут быть записаны в случае неголономных связей, но эти уравнения нельзя получить из общего принципа, приравнивая нулю вариацию от определённой величины».
Сс.55-56: «…Существенное различие между реономной и склерономной системами заключается в следующем: для склерономной системы имеется фундаментальная величина, интерпретируемая как “полная энергия” системы, которая сохраняется при движении… В общем случае, однако, приходится возвратиться к силовой функции U. И, более того, если U зависит от времени, то пропадает самый смысл определения “потенциальной энергии” как другой формы энергии, компенсирующей потерю или рост энергии кинетической. Действительно, фундаментальной величиной аналитической механики является не потенциальная энергия, а силовая функция, хотя физикам и инженерам более знакомо первое понятие… Для реономных систем не выполняются никакие законы сохранения…».
А вот выдержка специально для оппонента (обратите внимание на год 2-го издания книги –1965), сс.344-351:
«Хотя в то время, когда Гамильтон создавал свою теорию кватернионов, идея о четырёхмерной вселенной была ещё не известна, его кватернионы исключительно удобны для изучения общих свойств произвольного преобразования Лоренца… Кватернион может быть интерпретирован как вектор в пространстве четырёх измерений (4-вектор). На языке кватернионов может быть записан ряд свойств электромагнитного поля (например, уравнения Максвелла). Однако исчисление кватернионов особенно удобно для изучения преобразований Лоренца… Произвольное (собственное) преобразование Лоренца, имеющее физический смысл, можно охарактеризовать произведением кватернионов… Представление произвольного поворота трёхмерного пространства с помощью действительного кватерниона единичной длины было известно и использовалось ещё Эйлером».
И.И.Ольховский. Курс теоретической механики для физиков, 1978, сс.300-302:
«§ 6.5. Вынужденные колебания.
…Сначала исследуем систему с одной степенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармонически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения имеет вид
аd²ξ/dt²+bdξ/dt+сξ=Qcos(ωt+β), (6.67)
где Q, ω и β – соответственно амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы.
…Частное решение уравнения (6.67)
ξ =а(ω)cos[ωt+β+Δβ(ω)]. (6.73)
…Если ω≈ω0, а затухание достаточно мало, то имеет место резонанс, т.е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний… Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе устройства “усилителей” и “фильтров”».
Автор чётко объясняет, почему он, в отличие от Ландау-Лифшица, не применяет для решения задачи о вынужденных колебаниях аппарат лагранжианов-гамильтонианов (с.66):
«…Не зная закона движения точки, т.е. функции r(t), нельзя вычислить работу на конечном перемещении точки. Для вычисления конечного изменения кинетической энергии в общем случае надо знать решение уравнения движения».
В.В.Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. – Ижевск: изд-во Удм. гос. ун-та, 1995, 432 с.
Из Предисловия (с.7): «…Как показал ещё Пуанкаре, интегрируемости гамильтоновых систем препятствуют резонансные явления, связанные с разрушением инвариантных резонансных торов при добавлении возмущения… Другие известные в настоящее время препятствия к интегрируемости – расщепление асимптотических поверхностей и ветвление решений в плоскости комплексного времени – также тесно связаны с резонансами…
Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в главах IV-VIII. Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики…
Книга предназначена в первую очередь для молодых механиков и математиков, которые имеют возможность попробовать свои силы в этой увлекательной области, где имеется ещё много важных нерешённых проблем. В.Козлов».
В свете вышесказанного, прошу считать меня «молодым механиком и математиком», откликнувшимся на этот призыв ведущего математика страны! И первое, что я обязан отметить: В.В.Козлов в исследовании резонансных явлений не допустил ни единой ошибки. Он строго доказал, что методология лагранжианов-гамильтонианов для исследования резонансных систем непригодна и, естественно, поэтому не стал этим заниматься, но, тем не менее, предложил молодым испытать себя в этом деле и, в порядке самообразования и привития вкуса к науке, «набить побольше шишек»…
Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- 3-е изд. – М.: Наука, 1989, 472 с.
Из аннотации: «…Центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твёрдого тела, гамильтонов формализм)».
Поскольку исследования автора относятся исключительно к гамильтоновым системам, он неоднократно, по мере изложения материала, даёт понять, что лагранжево-гамильтонов формализм резонансные явления не описывает и к ним никакого отношения не имеет.
С.96: «…В лагранжевой системе, в отличие от общей системы линейных дифференциальных уравнений, резонансные члены вида tsinωt и т.п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел».
С.175: «Симплектическая структура на многообразии – это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нём. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры… Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задаёт фазовый поток: однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства».
С.179: «Теорема. Задающая симплектическую структуру форма ω² является интегральным инвариантом гамильтонова фазового потока».
С.181: «Закон сохранения энергии. Теорема. Функция Н является первым интегралом гамильтонова фазового потока с функцией Гамильтона Н».
С.188: «…Обобщение теоремы Э.Нётер. Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М²ⁿ, ω²), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл с функцией Гамильтона Н».
С.215: «Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби.
Теорема. Если функция Гамильтона Н=Н(p,q) не зависит от времени, то фазовые траектории канонических уравнений, лежащие на поверхности М²ⁿ־¹: Н(p,q)=h, являются экстремалями интеграла ∫pdq в классе кривых, лежащих на М²ⁿ־¹ и соединяющих подпространства q=q0 и q=q1…
Следствие. Среди всех кривых q=γ(τ), соединяющих две точки q0 и q1 на плоскости q и параметризованных так, что функция Гамильтона имеет фиксированное значение
Н(∂L/∂(dq/dt),q)=h, траекторией уравнений динамики является экстремаль интеграла “укороченного действия”
∫pdq=∫p(dq/dt)dτ=∫[∂L/∂(dq/dt)])(τ) [dq/dt](τ) dτ.
Это и есть принцип наименьшего действия в форме Мопертюи (Эйлера-Лагранжа-Якоби)…
“Почти во всех учебниках, даже в лучших, этот принцип представлен так, что его нельзя понять” (Якоби К. Лекции по динамике, 1842-1843. – М.; Л.: ОНТИ, 1936). Не решаюсь нарушить традицию».
После процитированного невольно хочется повторить восклицание сатирика-юмориста: «Столько образования на недожаренный бифштекс?!». Если вышеприведённые математические выкладки и имеют какое-то отношение к реальной механике, то только «в давно прошедшем времени», а, может быть, даже и «в ещё не начинавшемся» по причине полной оторванности от насущных проблем человечества. Сколько можно «теоретически мусолить» математический аппарат, адекватный замкнутым системам, игнорируя, в частности, постановку исследований таких открытых систем, как резонансные? Ведь явление резонанса лежит в основе практически всех, пока ещё остающихся загадочными для науки, физических процессов, связанных с вращениями и колебаниями.
«Официальная» наука не в состоянии ничем ответить на вызовы времени, кроме повторения пришедших из науки XVIII-XIX веков «запретов» типа пресловутых «законов сохранения». Неужели и в XXI веке, по злой ли воле или невежеству и лени нынешних высших чиновников науки и образования, наука будет по-прежнему насильно удерживаться в «детской колыбели», правда, давно уже больше напоминающей «прокрустово ложе»?!

====================================================================================

Фёдор Фёдорович Менде:
Анатолий Михайлович, на форуме Алекспы по этой теме имеются замечания Blonde http://bolshoyforum.org/forum/index.php?topic=185743.msg2423494#msg2423494. Насколько они обоснованы?

Анатолий Михайлович Петров:
Всё довольно прозрачно: "энергия" -xF(t) появляется вместо интеграла работы внешней силы. Поскольку найти этот интеграл заранее, не имея решения задачи, невозможно, то заменяется этот интеграл "прикидочным расчётом", правильность которого тоже заранее проверить невозможно. Зато аппарат частных производных подтверждает: всё верно, поскольку частная производная от этой "энергии" равняется внешней силе.
А вот когда задача решена, и приходит время составить не "прикидочный", а точный энергетический баланс, тут и выяснятся, что, во-первых, эту "энергию" некуда пристроить (закон её изменения - линейный во времени, как у координаты х, поскольку внешняя сила имеет постоянную амплитуду, а обе части энергетического баланса изменяются по квадратичному закону!), а, во-вторых, откуда теперь взять вторую часть энергетического баланса, т.е. работу внешней силы? Интегрировать по Ньютону - значит, признать ошибочность прежнего "прикидочного" расчёта. В общем, надо признавать ошибку. Другого выхода нет!

Анатолий Михайлович Петров:
Оппонент настаивает:
"Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона".

Я показал, что этого не делает ни один из авторов, на которых ссылается оппонент. Приведите хотя бы один пример подобного тому, что совершили Ландау-Лифшиц. Вы мне предлагаете "сыграть по шулерским правилам": поскольку аппарат частных производных не адекватен данной задаче, то почему я должен его применять?
Давайте идти от физики резонансного процесса: входная функция имеет постоянную амплитуду, колебания в системе имеют амплитуду, растущую во времени линейно, энергия системы растёт по квадратичному закону. Растёт за счёт чего? За счёт работы внешней силы. Значит, величина этой работы тоже должна во времени возрастать по квадратичному закону, иначе энергетический баланс "не сойдётся". Где в этой логической цепочке событий место "энергии" -хF(t)?

Анатолий Михайлович Петров:
Herodotus:
Положение ещё забавнее. А.М.П. привычно либо врёт, либо не в состоянии понять прочитанного. В том самом разделе книги Ланцоша, который он цитировал, указывается, как связана внешняя сила с силовой функцией уравнения (1.7,8) и (1.7.13). В частности, из уравнения (1.7,8) в одно действие следует появление вклада –xF(t). Конечно, Ланцош рассчитан на читателей, способных проделать такое действие...
aid:
Казалось бы, чего проще – решение есть. Посчитать полную производную по времени от энергии, посчитать частную производную по времени от нестационарной потенциальной энергии, сравнить. Но Вы этого не сделаете никогда, т.к. при этом Вам придётся признать себя ослом.

В моих цитатах из книги Ланцоша есть искажения? Или я утверждал, что в книге о вариационных методах автор этих методов не применяет? Я констатировал, что он не применяет эти методы, включая формулы (1.7,8) и (1.7.13), там, где этот аппарат не работает, а, именно, для анализа резонансных систем, которых он даже не касается. Попутно мы выяснили, что для анализа резонансных систем этот аппарат не применяет никто, … кроме Ландау-Лифшица! К чему бы это?
Можно (в каких угодно интересах, но только не в научных!) утверждать, что Ландау-Лифшица правы в некой «виртуальной реальности» и признать их заигравшимися по правилам лагранжево-гамильтонова формализма «сорванцами», сгоряча (не оценивши всех последствий) «залезшими в чужой огород». Давайте, мол, посмотрим на ситуацию их «виртуальными» глазами: возьмём частную производную … и т.д. И, в итоге, окажется, что жулик тот, кто их в этом «чужом огороде» схватил за руку…
Итак, всё, что касается ньютонова баланса сил (или баланса мощностей: кстати, его тоже невозможно вычислить без решения задачи), давайте не подвергать сомнению и не проверять, какими способами можно «подогнать» к ним любую «виртуальную реальность». Сейчас нас интересует только единственное и физически реальное расхождение между двумя методами решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса: на уровне итогового энергетического баланса, констатирующего тождественное равенство величины работы внешней силы и суммы кинетической и потенциальной энергии в любой момент времени. Мы показали, как выглядит это баланс при строгом решении задачи. Просим преъявить свой, указав место введённой ЛЛ «дополнительной потенциальной энергии –хF(t)». В любой «виртуальной реальности» (верим вам на слово!) у вас всё сойдётся. Покажите в физической реальности свой вариант энергетического баланса (тождества работы и энергии) с участием «энергии –хF(t)» или … признайте ошибку.

Дата добавления: 2015-11-04