Математическое безвременье в отечественной науке 5 страница

====================================================================================

Анатолий Михайлович Петров:
Цитата: Петров А. М. от 28.12.2011.
Сам факт строгого соблюдения энергетического баланса системы может и должен служить критерием правильности решения данной динамической задачи. Ясно, что по этому критерию решение, даваемое «Механикой» Ландау-Лифшица, ошибочно.

aid:
Не ошибочно. Решение ЛЛ приводит точно к такому же энергетическому балансу, что и решение по законам Ньютона. Не надоело Вам врать и изворачиваться?

Даю справку.
Ньютонов энергетический баланс осциллятора:
mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx,
где в левой части тождества – энергия системы, в правой – работа внешней силы.
Энергетический псевдобаланс осциллятора по Ландау-Лифшицу (гамильтонова функция Н, имеющая смысл полной энергии системы):
Н=mv²/2+kx²/2–хF(t), где
точный смысл слагаемого –хF(t), в переводе на язык честных людей, звучит так: «пришей кобыле хвост!».
Современная теоретическая физика в руках негодяев и их подпевал (таких же негодяев) – аидов!

Анатолий Михайлович Петров:
Herodotus:
«...Преподаватель математики необдуманно и безответственно ознакомил неподготовленного человека с кватернионами».

Совсем заговорился оппонент: преподаватель математики должен, по его мнению, отчитать программный минимум по конспекту и – скорее в кассу за профессорским окладом! Вот так ему не повезло на учителей, или просто оболтус от природы…
Однако ж как уродует нравственно наша высшая школа, да ещё и отбирает самых уродливых для участия в воспитании ещё более уродливых!
Не хотелось ещё раз говорить о своём учителе, но придётся ответить на провокацию: да, принадлежа к математической школе МГУ, в которой гиперкомплексным числам места не было и нет (А.Н.Колмогоров считал, что и не будет!), наш педагог, тем не менее, ещё в 60-е годы предлагал своим слушателям темы для подготовки научных докладов из полного спектра перспективных направлений развития математики, в которых были и кватернионы. Этот, выбранный мною для проработки, аппарат позднее оказался мне полезным и в дипломном проекте, и в диссертации, и в последующей работе по военно-прикладной тематике. Кстати, не формальным, но достаточно строго контролируемым, критерием для диссертантов тогда было условие: кандидатская – на уровне изобретения, докторская – на уровне открытия! Только благодаря этому и совершались научно-технические прорывы в развитии оборонного комплекса страны.
А что мы видим сейчас «на гражданке»? Взгляните на aid'a и Herodotus’a – вот они, характерные типы нынешних работников науки и образования! Способен ли такой работник хоть к какому-то научному творчеству? Да ничего подобного! Это – всего лишь «попка-дурак», научившийся произносить набор стандартных фраз. Этого ему достаточно, чтобы заработать на жизнь, а больше ему ничего и не надо! О совестливости и порядочности говорить уже не приходится: ведь это – «деляги», в круг понятий которых такие нравственные категории не входят.
Когда-то в нашем обществе непременно должен начаться процесс оздоровления. К сожалению, типичный работник науки и образования уже настолько развращён и «испорчен» нынешними условиями жизни, что, за исключением отдельных ярких личностей, в массе своей, судя по всему, он окажется на стороне самых реакционных сил.

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
«…-xF(t) адекватно описывает вынужденные колебания. Этим это слагаемое физично.
…Такая добавка установлена не ЛЛ. Я Вам уже давал ссылку на Ольховского.
…Введение в анализ осциллятора величины энергии -xF(t) приводит к тому же энергетическому балансу, что у Ньютона…».

У Ольховского такой добавки, т.е. -xF(t), нет! Он поступает корректно: когда область компетенции лагранжево-гамильтонова формализма заканчивается (т.е. когда нужно учитывать внешнюю силу, переходя от замкнутой системы к открытой и от однородного дифференциального уравнения к неоднородному), он просто вводит в силовой баланс (в правую часть уравнения движения) саму внешнюю силу, а не какие-то частные производные от искусственно вводимых в анализ величин, как бы про лагранжево-гамильтонов формализм на время «забывая». Поэтому у Ольховского гамильтониан, в качестве полной энергии системы, остаётся в том же виде, что для замкнутой, что для открытой системы.
А вот у Ландау и Лифшица, вознамерившихся «доказать недоказуемое» (т.е. эквивалентность ньютонова подхода и лагранжево-гамильтонова формализма) появляется именно эта, совершенно несуразная, добавка к гамильтониану -xF(t). Давайте ещё раз внимательно проследим, как это происходит (хотя, по мнению оппонента, заниматься этим могут только «невменяемые», а нормальные люди должны реагировать совершенно спокойно и бесстрастно, когда их обманывает не обычное жульё, а в звании академиков!).
Итак, начнём ещё раз с ньютонова подхода. Силовой баланс осциллятора:
mdv/dt+kx=F(t).
Умножаем каждый член уравнения на элементарное изменение координаты (дифференциал dx):
mdv(dx/dt)+kxdx=F(t)dx или md(v²/2)+kd(x²/2)=F(t)dx.
Интегрируя с нулевым нижним и переменным верхним пределами, получаем ньютонов энергетический баланс (т.е. тождественное равенство левой части – энергии системы и правой – работы внешней силы):
mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx.
А теперь поставим задачу об осцилляторе иначе: допустим, что нас не интересует адекватность решения, а цель состоит лишь в том, чтобы решение было найдено (пусть даже с каким-то издержками и ошибками!), но непременно с использованием лагранжево-гамильтонова формализма.
Согласитесь, что это уже несколько иная задача. Добавим, для усиления эффекта, ещё и «дополнительный стимул»: тем, кто так сумеет решить эту задачу «будет счастье»! Как видим, Ландау и Лифшиц сумели и своё «счастье» получили!
В лагранжево-гамильтоновом формализме процесс осуществляется в порядке, обратном ньютонову: сначала определяются энергетические характеристики системы, а потом, путём их частного дифференцирования, получают тот же ньютонов силовой баланс в виде того же дифференциального уравнения. Решая последнее, находят координату и скорость как функции времени х(t) и v(t). В чём разница, и каков смысл второго подхода, если задача всё равно не может быть решена без первого?
Тогда уж и главный вопрос: насколько вообще состоятелен второй подход, если исследуемая система открытая?
Действительно, выражения для кинетической энергии mv²/2 и потенциальной энергии kx²/2 можно записать, даже не зная конкретного вида х(t) и v(t) как функций времени. А вот с выражением для работы внешней силы дело обстоит сложнее. Проинтегрировать внешнюю силу F(t) по пути движения системы х(t) невозможно, пока не известен вид функции х(t) как функции времени, т.е. пока не решено уравнение движения. В ньютоновом подходе этой проблемы нет, поскольку сначала на основе силового баланса задача решается, и только потом вычисляется энергетический баланс системы.
А в лагранжево-гамильтоновом формализме иного выхода из возникшей коллизии не находится, кроме приёма, диктуемого применяемым математическим аппаратом частных производных, а именно: проинтегрировать внешнюю силу F(t) в предположении, что реакция системы х(t) на внешнее воздействие F(t) от этого внешнего воздействия не зависит (вопрос к математикам: приемлемое допущение?!).
Вот так интеграл от внешней силы F(t) по координате х и оказывается равным хF(t). «Формальную правильность» выполненного интегрирования проверяем обратной процедурой частного дифференцирования ∂/∂х[хF(t)]=F(t). Верно! Остаётся проверить величину хF(t) на «адекватность» и «физичность».
У Ландау-Лифшица эта величина прибавляется к функции Лагранжа и вычитается из функции Гамильтона Н. Последняя имеет смысл полной энергии системы, которая должна (после проделанных манипуляций по приведению открытой системы к замкнутой), по закону сохранения энергии, оставаться константой:
Н=mv²/2+kx²/2–хF(t)=const?
Думаю, не надо объяснять, что смысл вычитания величины работы внешней силы хF(t) из увеличивающейся (при внешнем воздействии) энергии осциллятора именно в том и состоит, чтобы скомпенсировать это увеличение. Однако удаётся ли уравнять рост суммарной (кинетической и потенциальной) энергии с ростом работы внешней силы?
Оказывается, нет! Энергия системы (mv²/2+kx²/2) растёт во времени по квадратичному закону, а величина хF(t) – по линейному. Значит, поставленная цель – свести открытую систему к замкнутой и этим сделать возможным применение лагранжево-гамильтонового формализма для задачи об осцилляторе – не достигается.
Лагранжево-гамильтонов формализм «подгоняет» свою искусственно созданную методологическую надстройку к тому же ньютонову силовому балансу, который обеспечивает правильность решения дифференциального уравнения в виде функции времени х(t). Но последнее – это всё-таки заслуга ньютонова подхода, а не лагранжево-гамильтонова формализма!
Оппоненты не сдаются? Однако их аргументация на глазах мельчает, на долго ли её хватит вообще…

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
А Вы ф. (2.129) и (2.132) посмотрите…
См. Ольховского: полная производная механической энергии системы по времени равна сумме частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, действующих на точки системы. И далее ф. (2.132)…

Формула (2.129) (изд. 1978 г., с.109) определяет «потенциальную энергию системы как сумму её потенциальной энергии во внешних полях и внутренней потенциальной энергии».
Последняя в нашем случае задана в виде «энергии сжатой пружины» kx²/2. А вот никакой «потенциальной энергии во внешних полях» в нашей задаче нет. Дана внешняя сила F(t), которую Ландау и Лифшиц почему-то хотят подменить неким «эквивалентом» в виде фиктивной «дополнительной потенциальной энергии системы -хF(t)». Для чего это делается? Вовсе не для поиска адекватного решения задачи об осцилляторе, ибо такое решение уже дано ньютоновым балансом сил. А для того, чтобы оправдать применение лагранжево-гамильтонова формализма, который якобы способен и для открытой системы дать решение «не хуже», даже если авторам приходится для этого откровенно «мухлевать» (интегрируя внешнюю силу не по реальному пути движения системы, а по абстрактной независимой переменной) в расчёте на то, что никто не заметит совершаемого ими подлога…
Ну, а формула (2.132) для мощности системы (производной по времени от энергии) к теме нашего разговора никакого отношения не имеет. Оппонент решил действовать «методом Ивана Сусанина»?

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
Вот какая разница – говорить, что есть силовое поле F(t)=A*Sin(Wt) или есть потенциальное поле U(x,t)=-x*A*Sin(Wt)? Нет, так же, как нет разницы – говорить – есть силовое поле F=-kx или есть потенциальное поле kx²/2. Это эквивалентно, учитывая связь силового поля и поля потенциальных энергий. Странно, что такое надо объяснять…
Ну, так скажите, что Ольховский тоже врёт – применяет ф. (2.132) к открытым системам. Или до Вас и впрямь не доходит, что энергия mv²/2+kx²/2–xF(t) у ЛЛ – это частный случай ф. (2.130), записанной для открытых систем?
…Для открытой системы приращение энергии в единицу времени равно частной производной от энергии по времени плюс мощность диссипативных сил. Это именно случай вынужденных колебаний при наличии сопротивления.

По-моему, это уже «ни в какие ворóта …».
«Потенциальная энергия (от латинского potentia – возможность) определяется взаимным расположением тел или частей тела, т.е. расстояниями между ними»
(http://www.edu.delfa.net/CONSP/meh13.htm).
Совершенно естественно, сила упругости «пружины», зависящая от координаты, F=-kx, путём интегрирования по этой же координате преобразуется в потенциальную энергию kx²/2. Но внешняя сила F(t)=A*Sin(Wt) связана с координатой х(t), как реакцией системы на это внешнее воздействие, более сложной функциональной зависимостью, которая становится известной только после решения задачи на основе ньютонова баланса сил, но никак не ранее. Поэтому так называемое «поле» U(x,t), во-первых, никакое не «потенциальное» (т.е. не представляющее потенциальную энергию системы), а, во-вторых, в качестве работы внешней силы, определяется интегрированием по х(t), т.е. имеет вид ∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt. «Перехитрить» (в смысле – обмануть) можете только простачков, слепо верящих «научным авторитетам». Но время, когда им верили «на слово», уже прошло!
Формула (2.132) у Ольховского имеет словесное выражение: «полная производная механической энергии системы по времени равна сумме частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, действующих на точки системы».
Она используется автором для того, чтобы, приравняв это выражение нулю, получить «закон сохранения механической энергии системы». Какое отношение это имеет к нашему случаю? Нет в нашем примере ни диссипативных сил, ни закона сохранения механической энергии системы. Опять пытаетесь «схитрить», оппонент?!
Ещё один отвлекающий манёвр – перевод разговора на тему «приращения энергии в единицу времени». Умножайте ньютонов силовой баланс на скорость v(t), и получайте баланс мощностей! Но ведь таковой вычисляется тоже только после решения задачи, когда становятся известны величины х(t) и v(t) как функции времени. Следовательно, составление баланса мощностей тоже находится вне компетенции лагранжево-гамильтонова формализма.
А вот об «энергии mv²/2+kx²/2–xF(t) у ЛЛ» – прошу поподробнее! Это ведь не что иное, как «изуродованный гамильтониан» по Ландау-Лифшицу, в то время как гамильтониан по Ольховскому и другим авторам, не пытающимся обмануть читателей, должен был бы иметь вид «mv²/2+kx²/2–∫F(t)dx=0» (или =const, при ненулевом начальном уровне энергии в системе) и называться «нулевым энергетическим балансом системы».
Не уходите от ответственности за введённую в анализ ЛЛ (не понимаю только, зачем вам так упорно солидаризироваться с научными жуликами?!) математическую и физическую фикцию xF(t)!

====================================================================================

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
См. ф. (2.35) у Ольховского – это математически полностью эквивалентно случаю нашей задачи – это и есть -xF(t)…
Я же Вам ссылку дал на ф. (2.35) – а это и есть -xF(t)…
Но Вы даже не можете понять, что у Ольховского то же самое.

Даже если бы было «у Ольховского то же самое», что у Ландау-Лифшица, то это – вовсе не решающий аргумент в пользу истинности «того же самого». Конечно, Ольховский в своём учебнике «Курс теоретической механики для физиков» (для студентов вузов, обучающихся по специальности «Физика»), применяет (в отличие от Ландау-Лифшица – наряду с другими методами и средствами) методологию лагранжианов-гамильтонианов и, следовательно, векторно-тензорную алгебру со всеми её недостатками. Но посмотрите, как умело он обходит «ловушки» этой ущербной и, в общем-то, давно изжившей себя методологии! По крайней мере, в «§ 6.5. Вынужденные колебания» о лагранжианах-гамильтонианах, ввиду их полной бесполезности для этого раздела, вообще не упоминается: автор сразу представляет силовой баланс колебательной системы в комплексной форме и обычным методом находит амплитудную и фазовую характеристики колебательной системы. Уже по одному этому можно заключить, что у Ольховского никак не «то же самое»!
Но оппонент находит-таки у Ольховского формулу (2.35), «похожую на почерк Ландау-Лифшица»! Ну, хорошо, давайте посмотрим, о чём идёт речь.
Ещё раз бегло пройдёмся по тексту И.И.Ольховского (М.: МГУ, 3-е изд. – 1978).
Сс. 66-70: «Понятие о потенциальных силах тесно связано с понятием о силовом поле… Силовое поле можно задать с помощью напряжённости поля или силы как функций точки пространства… Силу называют потенциальной, если она зависит только от координат… Работа на конечном перемещении точки из положения r0 в положение r1 равна определённому интегралу:
А=–∫dU=U(r0)–U(r1). (2.22)
Скалярную функцию U называют потенциальной энергией точки, т.е. энергией, зависящей от расположения точки в потенциальном поле… Потенциальную энергию можно найти по заданной потенциальной силе с помощью неопределённого интеграла:
U=–∫Fdr+С (2.23)
(здесь С – постоянная, определяющая «нулевой уровень» потенциальной энергии …).
…Сила, явно зависящая не только от положения, но и от времени, также может удовлетворять условию потенциальности (в этом случае она называется нестационарной потенциальной силой). Тогда … потенциальная энергия определяется по заданной силе интегралом (2.23), причём интегрирование производится при фиксированном времени… Так как свойство (2.22) в этом случае не выполняется, то для определения работы, совершённой на конечном пути, нужно знать закон движения точки, т.е. функцию r(t).
Рассмотрим в качестве примера заряд ℮ в переменном электрическом поле напряжённостью Εcosωt. Направляя ось Ох вдоль вектора Е, согласно (2.23) получим:
U=–℮Εхcosωt+С. (2.35)».
На первый взгляд, автор получает формулу (2.35) простым перемножением величин напряжённости Εcosωt, заряда ℮ и координаты х(t)=r(t). Но ведь автор утверждает, что он получил эту формулу путём интегрирования согласно (2.23), подчеркнув, что такое интегрирование выполнить можно лишь тогда, когда задача уже решена, и функция r(t) известна. И это – не пустые слова: автор показывает, как он эту задачу решает и как находит функцию r(t). Читаем на с.43:
«…На заряд действует сила
F=℮Εcosωt,
а уравнением движения является уравнение
md²r/dt²=℮Εcosωt.
…В результате интегрирования уравнения найдём
dх/dt=(℮Ε/mω)sinωt+С1, х=–(℮Ε/mω²)cosωt+С2 …
Подставляя в эти функции t=0 и используя начальные условия …, получим решение для v(t) и r(t) в виде
v(t)=(℮Ε/mω)sinωt, r(t)= –(℮Ε/mω²)cosωt».
В этих выкладках мы опустили (за ненадобностью и по причине равенства нулю в интересующем нас варианте задачи) выражения для проекций аналогичных функций на оси координат у и z, а начальные условия выбрали так, чтобы движение, в установившемся режиме, начиналось в момент времени t=0 из крайнего левого (отрицательного) значения координаты, и тогда среднее значение координаты будет в начале координат. Соответственно, в момент t=0 скорость будет равна нулю, а в начале координат достигнет максимума.
Теперь выполним интегрирование согласно формуле (2.23):
U=–∫Fdr+С=–∫Fv(t)dt+С=–∫(℮Εcosωt)(℮Ε/mω)sinωtdt+С=(℮²Ε²/mω²)sin²ωt+С=
=(℮²Ε²/mω²)cos²ωt=[(℮Ε/mω²)cosωt](℮Εcosωt)=–х(t)F(t).
Постоянная С в данном случае выбирается так, чтобы отсчёт выполняемой внешней силой работы начинался с нулевого уровня в начале координат, а максимальных значений величина работы внешней силой достигала при максимальных отклонениях заряда от начала координат. Напротив, скорость движения заряда (и, соответственно, его кинетическая энергия) на максимальных удалениях от начала координат равняется нулю, а в начале координат максимальна. Сумма величины работы внешней силы и кинетической энергии заряда остаётся постоянной.
Баланс мощности, развиваемой внешней силой, и мощности процесса (скорости изменения энергии заряда во времени) имеет вид тождества:
(md²r/dt²)v(t)≡F(t)v(t)=(℮²Ε²/2mω)sin2ωt.
Поскольку в начале координат и при максимальных отклонениях от начала координат одна из двух величин (ускорение или скорость) обращается в ноль, мощность в этих точках равняется нулю, а её изменение происходит с удвоенной частотой.
Итак, подозревать И.И.Ольховского в том, что он такой же научный жулик, как Ландау и Лифшиц, нет никаких оснований!

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
…Последовательным с Вашей стороны было бы причислить их к одной банде.
…За исключением простейших случаев типа пружинного или математического маятника, в уравнение для силового баланса будут входить обобщённые координаты и обобщённые силы, которые будут получаться опять же из лагранжевого подхода (я приводил пример, и Вы соглашались).
…Работу можно найти, когда задача решена, а не выражение для потенциальной энергии, которое определяется точно так же, как в ЛЛ – интегралом в фиксированный момент времени.
Во-первых, у Ольховского ясно сказано, и я это подчеркивал, что интегрирование ведется при фиксированном времени. Во-вторых, Вы неправильно проинтегрировали – потеряли двойку в знаменателе. Это принципиально. В данном частном примере движение есть просто гармонические колебания, поэтому ясно, что, как и для случая движения под действием квазиупругой силы будет сохраняться величина mv2/2+kx2/2, а не mv2/2+kx2.

Ну, вот опять всё ставится «с ног на голову».
Применение лагранжевого подхода я вовсе не считаю предосудительным, когда (как это делает Ольховский, в отличие от Ландау-Лифшица) пользуются им корректно, т.е. только в рамках анализа замкнутых систем. Другое дело, что и для замкнутых систем вполне можно обойтись прямым составлением ньютонова баланса сил, но тут уж каждый исследователь вправе выбирать тот аппарат, который считает для себя удобным.
В задаче о заряженной частице в переменном электрическом поле (в отличие от задачи об осцилляторе в режиме резонанса) нет внутреннего механизма, возвращающего колеблющийся объект в положение равновесия, следовательно, нет как таковой и потенциальной энергии частицы. Есть периодически повторяющийся процесс торможения-разгона частицы внешней силой то в одном, то в другом направлении, или работы внешней силы, затрачиваемой на преобразование кинетической энергии частицы с периодической сменой направления движения на противоположное. Решение задачи показывает, что развиваемая внешней силой мощность изменяется по периодическому закону с удвоенной частотой, по сравнению с частотой изменения внешней силы и колебаний частицы. Если измерять величину работы внешней силы, приняв за нулевой уровень положение частицы в средней точке (в начале координат), то в сумме с кинетической энергией частицы она будет составлять постоянную величину (в этом состоит смысл энергетического баланса для данного вида движения). Совпадение величины работы внешней силы с величиной –хF(t), которая у Ландау и Лифшица появляется в задаче об осцилляторе в результате их грубейшей методологической ошибки, здесь возникает чисто случайно и ни на какие другие задачи (или даже эту задачу, но с другими исходными данными) не распространяется.
А что касается откуда-то появившейся у оппонента величины «mv2/2+kx2/2» или «mv2/2+kx2», то в задаче о заряженной частице в переменном электрическом поле таковой просто нет и быть не может (к примеру, откуда эдесь может появиться коэффициент упругости k?!). Начинают оппоненты «мелочиться»!

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
А частица во внешнем переменном поле – замкнутая система?
Есть нестационарная потенциальная энергия по Ольховскому и ЛЛ -xF(t).
Нет совпадения работы с изменением величины –хF(t), взятым с обратным знаком. Работа в два раза меньше. Поэтому и нет тут сохранения энергии T+U(x,t). Ошиблись Вы в интегрировании (уж не знаю, умышленно или нет)…
См. Ольховского с. 72. Например, изменение полной энергии заряда в переменном электрическом поле (1.45) подчиняется уравнению (см.2.35)) dE/dt=eE0wx*Sin(wt).
Вы и после этого будете уверять, что по Ольховскому здесь выполняется сохранение энергии, складываемой из T и U(x,t)?
А обозначить mw2=k, коль скоро выбором СО свели движение к гармоническим колебаниям, трудно догадаться? (у Вас же при таком подборе начальных условий сила оказывается пропорциональна смещению и направлена против него).

Частица во внешнем переменном поле – объективно открытая система, из-за одного только утверждения, что она испытывает внешнее воздействие и реагирует на него. Но субъективно, по воле исследователя, она может быть представлена и замкнутой. Вопрос лишь, насколько это будет адекватно с точки зрения точности решения задачи. В задаче о заряженной частице в переменном электрическом поле (подчёркиваю: в отличие от задачи об осцилляторе в режиме резонанса!) входное воздействие совпадает с видом собственной функции дифференциального оператора, описывающего данный вид движения согласно второму закону механики, а собственным значением этого оператора является частота гармонических колебаний на входе и выходе системы. Поэтому уравнение движения открытой системы md²х/dt²=℮Εcosωt можно преобразовать в математически равноценное уравнение движения «замкнутой» системы md²х/dt²+mω²[(–℮Ε/mω²)cosωt]=0,
где функция х(t)=(–℮Ε/mω²)cosωt представляет «свободные» колебания системы, т.е. является решением задачи. Всё это у Ольховского есть, а я только повторил ход его рассуждений и получил тот же результат. Единственное, с чем не хотелось бы соглашаться в выкладках Ольховского, так это с его привязанностью к аппарату частных производных, который больше запутывает суть задачи, чем помогает найти её решение.
К примеру, почему в данной задаче работа внешней силы оказывается равной -xF(t), а процедуры обычного и частного дифференцирования этой величины по х дают один и тот же результат (или, при более строгом подходе, результаты, отличающиеся лишь на слагаемое-константу)? Потому что в этой задаче функции F(t) и x(t) пропорциональны друг другу (с коэффициентом пропорциональности –mω²). В задаче же об осцилляторе в режиме резонанса этого, конечно, нет, и оппонент напрасно пытается «обелить» Ландау и Лифшица, ставя их на одну доску с Ольховским: мол, «нестационарная потенциальная энергия по Ольховскому и ЛЛ -xF(t)». В задаче, решаемой Ольховским, эта величина получена честным путём, т.е. решением задачи на основе силового баланса и полноценным интегрированием внешней силы. А у Ландау-Лифшица эта величина никак не должна была появиться, так что теперь «наёмникам» приходится изо всех сил пытаться (впрочем, всё равно безуспешно и безнадёжно!) их «отмыть». Проще было бы уже давно исправить эту ошибку и закрыть вопрос. Но, как видно, что-то очень серьёзное мешает…
И последнее: каким это образом работа внешней силы могла бы вдруг оказаться в два раза меньше той энергии, для пополнения которой эта работа осуществлялась? Тут уж мне придётся встать на защиту закона сохранения энергии и с этим категорически не согласиться!

Анатолий Михайлович Петров:
О росте энергии осциллятора при резонансе говорить уже, пожалуй, нечего, да и, наверное, достаточно: закон сохранения энергии здесь состоит в том, что, сколько внешняя сила «наработала» энергии, столько этой энергии в системе и должно быть! Математически строгое и корректное решение задачи об осцилляторе в режиме резонанса (кстати, никем всерьёз и не оспариваемое!) показывает, что энергия сначала растёт квадратично во времени, а потом асимптотически (по экспоненте) приближается к постоянной величине, означающей равенство вновь поступающей извне энергии диссипативным потерям в системе.
Если кто-то получил линейный рост энергии, значит, выбрал неадекватный метод решения задачи. Так, в частности, получилось у Ландау и Лифшица с искусственно введённой ими (больше ни у кого такого нет!) величиной «дополнительной потенциальной энергии системы –хF(t)», которая возрастает не квадратично, а линейно во времени. Эту величину авторы «Механики» (для студентов вузов!) включили в лагранжиан и гамильтониан, выражающие в методологии «принципа наименьшего действия» энергетические характеристики системы. В частности, гамильтониан должен представлять полную энергию системы, но после того, как в него включён этот, совершенно изуродовавший его, «довесок», он уже не может представлять ничего разумного. Естественно, никакого энергетического баланса, в смысле соблюдения закона сохранения энергии, у Ландау и Лифшица уже не получается. А те, кто пытается допущенную ими ошибку не исправить честно и открыто, а «замазать», пока не придумали ничего лучше, как этот несуразный энергетический «довесок» –хF(t) из энергетического баланса убрать «молчком», признав эту энергию –хF(t) «правильной, но существующей только виртуально», а в анализ введённой для того, чтобы ещё какое-то время попользоваться математическим аппаратом частных производных. Уж очень им дóрог и этот аппарат, и дорогá эта методология лагранжианов-гамильтонианов в качестве «исторической памяти и традиции», уходящей корнями в ХVIII и ХIХ век! Ну, пусть сами ещё попользуются на досуге. Вот только студентам бы продолжать морочить головы не надо!

Анатолий Михайлович Петров:
aid:
Дополнительная потенциальная энергия не хF(t), а -хF(t). Они добавили это к энергии осциллятора (точно так же, как такое слагаемое добавил к кинетической энергии частицы Ольховский)
-хF(t)… растёт линейно. Но величина mv2/2+kx2/2 растёт квадратично (как должно быть при резонансе). (1)
При этом в полном согласии с Ольховским полная производная по времени от
mv2/2+kx2/2-xF(t) равна частной производной по времени от -xF(t). (2)
Вот когда докажете, что (1) или (2) у ЛЛ не выполняются, вот тогда все и признают, что ЛЛ неверно решили задачу.

Пожалуйста, доказываю (в который уж раз)!
По Ньютону и Ольховскому (которые в энергию осциллятора ничего лишнего не добавляют) эта энергия (mv2/2+kx2/2) растёт квадратично во времени (как и должно быть при резонансе).
А Ландау и Лифшиц добавляют к энергии осциллятора «дополнительную потенциальную энергию -хF(t)», в результате чего полная энергия системы (гамильтониан Н) становится равной величине Н=mv2/2+kx2/2–xF(t). Вот с этой величиной попытайтесь-ка построить свой (вместе с ЛЛ) энергетический баланс! Ничего не получится! Поскольку в момент времени t=0 энергия системы была равна нулю, то в любой другой момент времени энергия системы в точности должна соответствовать величине выполненной к этому времени работы внешней силы. Но ЛЛ, ещё не решая задачи, уже «прикинули» величину этой работы, у них получилось -хF(t), что ни к какому балансу (из-за линейного, а не квадратичного изменения во времени) привести невозможно (и вообще неизвестно, куда теперь спрятать с глаз долой этот «позор»: сочувствую взявшимся за эту невыполнимую, а, главное, неправедную и «грязную» работу!).
А с ньютоновым энергетическим балансом всё в порядке. Кстати, Ольховский (строго по Ньютону!) неизменно подчёркивает, что энергетический баланс можно рассчитать только после решения задачи, когда становится известной функция x(t), и тогда можно проинтегрировать внешнюю силу F(t) не по какой-то абстрактной независимой переменной, а по реальному пути движения системы. Ольховский так и поступает, как в задаче об осцилляторе, так и в задаче о заряженной частице в переменном электрическом поле, не пользуясь для открытых систем методологией лагранжианов-гамильтонианов и вычисляя работу внешней силы обычным интегрированием.
Конечно, ничего похожего на «величину энергии -хF(t)» в задаче об осцилляторе у Ольховского нет. Эта величина (совершенно естественно и логично) появляется в другой задаче, где функция F(t) на входе системы и функция x(t) на выходе системы оказываются связанными простейшей пропорциональной зависимостью (чего при резонансе, конечно, нет, и не наговаривайте на честного человека злонамеренной напраслины!).
Можете и дальше как угодно упражняться в частном дифференцировании чего угодно, в безуспешных попытках «отмыть добела этого чёрного кобеля» – «виртуальную энергию -хF(t)», но к задаче об осцилляторе в режиме резонанса это уже не будет иметь никакого отношения! Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-11-04