пребывания жидкости в аппаратах

На многие процессы, главным образом тепловые, массообменные и хими­ческие, большое влияние оказывает структура потоков в аппаратах. Даже при первоначальном равномерном распределении входящих потоков (что само по себе часто представляет трудную задачу) картина их движе­ния внутри промышленного аппарата довольно сложна. Как правило, скорости потока неодинаковы по сечению аппарата, поперечному к основ­ному направлению движения, причем распределение, или профиль, ско­ростей изменяется от сечения к сечению по длине (высоте) аппарата. Частицы потока движутся по криволинейным, часто довольно сложным траекториям, иногда и в направлении, противоположном основному напра­влению потока. Это приводит к тому, что некоторые частицы могут быстро «проскочить» через аппарат, например в случае каналообразования и «байпасирования» части потока. Время пребывания этих частиц меньше среднего, в то время как другие задерживаются в аппарате дольше; зачастую в нем образуются застойные зоны, в которых время пребывания частиц оказывается весьма значительным.

Для полого аппарата (рис. 3.1), например, время пребывания частиц, движущихся по траекториям, обозначенным стрелками 1, суще­ственно меньше времени пребывания частиц, которые циркулируют по стрелкам 2 или попадают в застойные зоны 3.

Рис. 3.1. Движение потока в полом аппарате.

Другим примером, иллюстрирующим различие времен пребывания, может служить рассмотрение профиля скоростей при движении жидкости по трубе (рис. 3.2). Различия в скоростях по сечению наи­более велики при ламинарном течении. Поэтому частицы, движущиеся вблизи оси трубы, обгоняют частицы, движущиеся ближе к ее стенкам, и находятся в трубё значительно меньшее время, чем последние.

Рис. 3.2. Распределение скоростей при различных режимах движения:

а – ламинарный поток; б – турбулентный поток.

При тур­булентном течении скорости распределены по сечению трубы более равно­мерно. Однако и в данном случае время пребывания разных частиц жид­кости неодинаково, что обусловлено турбулентными пульсациями, под действием которых происходит перемешивание частиц, или турбулентная диффузия: различные частицы движутся в разных направлениях по отношению к движению основной массы потока, в том числе и в поперечном (радиальная диффузия), и в продольном (осевая диффузия). Осевая диффузия может как совпадать по напра­влению с движением основной массы потока, так и быть направлена з обратную сторону, в результате чего возникают различия во времени пребывания частиц жидкости. Радиальная же диффузия, выравнивая профиль скоростей, наоборот, сближает время пребывания разных частиц.

Во многих промышленных аппаратах картина распределения скоро­стей (поле скоростей) значительно сложнее, чем в приведенных выше отно­сительно простых примерах. Поле скоростей, в свою очередь, в значительной степени определяет профиль температур и концентраций, от которых зависит скорость тепловых и массообменных процессов и, в частности, их движущая сила. Те же факторы сильно влияют на скорость химических (реакционных) процессов.

Для частиц потока, наиболее быстро проходящих аппарат, время пре­бывания в нем недостаточно для достижения требуемой полноты протека­ния процесса. В то же время для частиц, попавших в застойные зоны, время пребывания слишком велико, и эти участки аппарата используются неэффективно, а иногда в них могут возникать также нежелательные процессы (например, побоч­ные реакции).

Игнорирование действительных полей скоро­стей, температур и концентраций и применение упрощенных представлений о структуре потоков обычно приводит к существенным ошибкам при расчете производственных аппаратов. Без учета структуры потоков в большинстве случаев невоз­можно использовать экспериментальные данные, полученные на установках лабораторного или полузаводского масштаба, для проектирования промышленной аппаратуры. Масштаб установки и даже небольшие изменения конструкции обычно сильно сказываются на структуре потоков. Это вызывает, как правило, снижение эффективности процесса в более крупных аппаратах по сравне­нию с ожидаемой на основании лабораторных опытов. Поэтому при масштабном пере­ходе от лабораторных установок к полузаводским и затем к промышленным целесообразно проводить гидравли­ческое моделирование. Оно заключается в изучении движе­ния потоков на «холодных» моделях, имеющих основные размеры моделируемых аппаратов, но изготовленных из более дешевых материалов. Как правило, эксперименты на таких моделях осуществляют не при рабочих, а при более низких температурах, и не с рабочими, а с более удобными для испытаний веществами (воздух, вода и т. п.).

Наиболее точные данные о структуре потоков можно было бы получить путем непосредственного измерения скоростей во многих точках внутри аппарата или его модели. Однако выполнение таких измерений для аппа­ратов сложной конструкции представляет собой весьма трудную и дорого­стоящую, а часто и практически неосуществимую задачу. Кроме того, даже в случае установления полной картины распределения потока в аппа­рате не всегда удается на практике использовать эти данные для расчета проводимого в аппарате процесса. Вследствие того что скорость является функцией всех координат, уравнения, характеризующие поле скоростей, сложны, и часто их решение в совокупности с уравнениями для ско­ростей тепло- и массопередачи и химических реакций невозможно или сильно затруднено.

По этим причинам более удобно, а зачастую практически единственно возможно, получать не непосредственную, а косвенную информацию о поле скоростей путем изучения распределения отдельных частиц жидко­сти по временам их пребывания в аппарате, т, е. выявлять, какая доля потока находится в аппарате то или иное время. Для этого, например, вводят в поток, поступающий в аппарат, примесь какого-либо вещества — индикатора и, анализируя во времени содержание данного вещества в выходящей из аппарата «помеченной» жидкости, находят продолжи­тельность пребывания в аппарате отдельных ее частиц. В качестве инди­каторов применяют различные краски, растворы солей, изменяющих элек­тропроводность жидкости, радиоактивные препараты и другие вещества, концентрацию которых легко измерить. Отклик на возмущение, внесенное при этом на входе в аппарат вводом индикатора, представляют в виде кривых зависимости концентрации его в выходящей жидкости от вре­мени, которые называют выходными кривыми, или кри­выми отклика.

При таком методе исследования механизм явлений, происходящих внутри аппарата, вскрыть труднее, так как само поле скоростей остается неизвестным. Однако достоинства указанного метода часто компенсируют этот его недостаток.

Данные о распределении времени пребывания получить проще, чем выявить полную картину распределения скоростей. Для этого достаточно провести соответствующие измерения лишь на входе и выходе потока. Кроме того, легче оказывается количественная трактовка получаемых результатов для расчета технологического процесса и управления им, так как здесь приходится иметь дело с функцией уже не нескольких, а единственной переменной — времени. При этом знания распределения времени пребывания частиц жидкости во многих случаях вполне доста­точно для расчетных целей. Наконец, данные о распределении времени пребывания нередко позволяют приближенно судить и о самом механизме движения потока, т. е. о его структуре внутри аппарата.

Пометим, например, порцию поступающей в какой-то момент в аппа­рат жидкости путем мгновенного ввода во входящий поток по всему его поперечному сечению какой-либо краски (импульсный ввод). Через неко­торый промежуток времени, анализируя содержание краски в потоке на выходе, мы обнаружим, что вся краска так же мгновенно выйдет из аппа­рата. Этот результат однозначно будет свидетельствовать о такой струк­туре потока внутри аппарата, при которой все частицы жидкости движутся параллельно друг другу с одинаковыми скоростями, не обгоняя основную массу потока и не отставая от нее. Поток движется как бы аналогично твердому поршню и поэтому называется поршневым. Аппараты с поршневым движением жидкости называют аппаратами идеаль­ного вытеснения.

Времена пребывания t всех частиц потока в аппарате идеального вытес­нения одинаковы и равны среднему времени пребывания t₀ (сек), которое определяется частным от деления длины l их пути на линейную скорость w жидкости, или

(3.1)

где S – площадь поперечного сечения аппарата, м ²; V – объем аппарата (для двухфаз­ного потока – объем, занимаемый потоком рассматриваемой фазы), м ³; Q – объемный рас­ход жидкости (фазы), м ³ /сек.

Вид кривой отклика при идеальном вытеснении представлен на рис.3.3. Начиная с момента t = 0, когда индикатор был введен во входящий поток, и до момента t = t₀, индикатор не обнаруживается в выходящем из аппарата потоке. В момент же времени t = t₀ концентрация с индикатора на выходе мгновенно возрастает (теоретически — до беско­нечности), а затем сразу же вновь снижается до нуля. Индикатор про­ходит через аппарат неразмываемым тончайшим слоем (как бы поверх­ностью твердого поршня), и сигнал, фиксируемый на выходе в момент t₀, в точности соответствует сигналу на входе в момент t = 0.

Рис. 3.3. Кривые отклика при мгновенном вводе индикатора:

а – аппарат идеального вытеснения; б – аппарат идеального смешения; в – аппарат промежуточного типа.

Идеальное вытеснение жидкости в чистом виде никогда не реализуется на практике. Поэтому аппарат идеального вытеснения является идеа­лизированной моделью. Однако в ряде случаев поток в реальных аппаратах более или менее приближается к поршневому. Сравни­тельно близки к аппарату идеального вытеснения, например, аппараты, в которых жидкость (газ) движется по длинным трубкам, заполненным зернистыми материалами (катализатором, адсорбентом).

В большинстве случаев структура потоков в аппаратах более или менее значительно отличается от структуры, отвечающей идеальному вытесне­нию. Это может быть следствием различных причин, в том числе – пере­мешивания частиц жидкости вдоль оси аппарата, различия скоростей по поперечному сечению ламинарного потока, байпасирования части потока вследствие каналообразования, образования застойных зон и т. д.

Перемешивание вдоль оси аппарата при этом, в свою очередь, может вызываться самыми разнообразными причинами. Оно может происходить под действием механической мешалки или вследствие естественной конвекции, обусловленной разностью плотностей жидкости в различных точках (например, в выпарных аппаратах с естественной циркуляцией). Оно может быть также обусловлено турбулентной диффузией или увле­чением частиц потока одной из фаз потоком другой фазы при их противоточном взаимодей­ствии (например, при захвате некоторой доли движущейся вниз жидкости поднимающимися пузырями газа при барботаже) и другими причинами.

Однако какой бы ни была причина отклонений от идеального вытесне­ния, они проявляются в том, что времена пребывания т различных частиц уже неодинаковы и отличаются от среднего времени пребывания t₀, опре­деляемого по уравнению (3.1). Одни частицы обгоняют основную массу потока и появляются на выходе из аппарата раньше ее, другие задержи­ваются в аппарате.

Независимо от механизма любое отклонение от идеального вытеснения часто условно называют перемешиванием, или обратным перемешиванием. В этом смысле противоположной аппарату идеального вытеснения идеализированной моделью непрерывно действую­щих аппаратов считают аппарат идеального перемешива­ния, или идеального смешения.

Если в какую-то порцию непрерывно входящего в такой аппарат потока ввести определенное количество М ₀ краски, то она мгновенно равномерно окрасит всю жидкость (или фазу – при двухфазном потоке), содержа­щуюся в аппарате. Концентрация (с ₀) индикатора в любой точке аппарата в этот момент будет равна

(3.2)

После этого концентрация с краски в аппарате начнет убывать во вре­мени, так как краска непрерывно выносится потоком, а входящая жид­кость краски уже не содержит. Однако в любой момент концентрация краски остается одинаковой во всех точках аппарата.

Из соответствующей кривой отклика (рис. 3.3, б) видно, что большая часть индикатора выходит в этом случае из аппарата за время между моментом его ввода (t = 0) и моментом, соответствующим среднему времени пребывания t₀, определяемому по уравнению (3.1). Для вымыва­ния остальной части индикатора теоретически требуется бесконечное время.

Для описания закона изменения величины с во времени составим урав­нение материального баланса по индикатору. Пусть за произвольный про­межуток времени dx из аппарата выходит (вымывается) количество инди­катора dM. Это приводит к изменению (– dc) концентрации индикатора в объеме V, причем минус указывает на убывание концентрации. Тогда

dM = – V dc = cQ dx (3.3)

где Q – объемный расход потока через аппарат, м ³ /сек.

Отсюда с учетом выражения (3.1) и после интегрирования в пределах от с₀ (при t = 0) до с (в произвольный момент времени t) получим зависимость

(3.4)

или

(3.5)

Концентрацию индикатора и время можно выразить в виде относи­тельных (безразмерных) величин, приняв за масштаб концентрации зна­чение с ₀, определяемое уравнением (3.2), за масштаб времени – сред­нее время пребывания t₀, определяемое уравнением (3.1), Обозначив С = с/с₀ и q = t/t₀, получим

С = е ^-q (3.6)

Примером аппарата, условия в котором близки к идеальному смеше­нию, является сосуд с интенсивно работающей мешалкой, через который непрерывно движется маловязкая жидкость при небольшом ее расходе. Близко к идеальному смешению и движение твердой фазы в кипящем слое зернистого материала при однородном псевдоожижении.

Картина движения потоков в большинстве непрерывно действующих аппаратов не отвечает ни идеальному вытеснению, ни идеальному смеше­нию. По структуре потоков эти аппараты можно считать аппаратами про­межуточного типа. Примерный вид кривой отклика для таких аппаратов представлен на рис. 3.3, в. Введенный мгновенно (импульсом) во входящий поток индикатор появляется на выходе позднее, чем при идеальном смешении – через некоторое время t_н после момента ввода t=0. Его концентрация на выходе сначала увеличивается во времени до момента t_max и лишь затем начинает уменьшаться, стремясь к нулю при t ® ¥. Кривая отклика на рис. 3.3, в тем ближе по форме к кривым на рис. 3.3, а или 3.3, б, чем ближе движение потока в аппарате к условиям идеального вытеснения или идеального смешения соответ­ственно.

Для математического описания распределения времени пребывания жидкости в общем случае снова составим уравнение материального баланса по индикатору. Пусть за бесконечно малый промежуток d t между произвольным моментом времени t и (t + d t) из аппарата выйдет коли­чество индикатора dM. Если концентрация индикатора в выходящем потоке равна с, то за время d t поток уносит из аппарата с Qd t индикатора. Следовательно

dM = cQ d t

Для определения всего количества М ₀ индикатора, введенного в аппа­рат и полностью удаляемого из него за время t ® ¥, проинтегрируем это выражение в соответствующих пределах.

Переходя к безразмерным концентрации С = с / с ₀, времени q = t/t₀ и с учетом уравнения (3.2) имеем

(3.7)

Кривые отклика чаще всего строят не в координатах с – t (рис. 3.3), а в безразмерных координатах С – q. При этом площадь под кривой отклика (рис.3.4) выражает, в соответствии с уравнением (3.7), общее относительное количество индикатора (или всей «помеченной» жидкости), принимаемое за единицу. В то же время величина Cd q (заштрихо­ванная накрест площадка на рис. 3.4) характеризует долю общего количества индикатора, удаляемую из аппарата за время d q, или долю жидкости, пребыва­ние которой в аппарате соответ­ствует промежутку времени от q до (q + d q).

Рис.3.4. Функция распределения времени пребывания (кривая отклика) в безразмерных координатах для аппарата промежуточного типа.

Зависимость безразмерной концентрации С от безразмерного времени q называется дифференциальной функ­цией распределения времени пребывания жидкости в аппарате. Частный вид этой функции для аппарата идеаль­ного смешения выражен уравнением (3.6).

Зависимость от qвеличины , характеризующей долю индикатора, вышедшего из аппарата за время от 0 до произвольного момента q, назы­вают интегральной функцией распределения. В частности, заштрихованная параллельными линиями площадь на рис.4 характеризует долю индикатора, вышедшего из аппарата к моменту времени, равному среднему времени пребывания t₀, т. е. долю жидкости, время пребывания которой в аппарате не больше t₀.

Функция распределения времени пребывания потока в аппарате является типичной функцией распределения случайной величины. Для нахождения среднего значения времени пребывания, как и для любой случайной величины, используется зависимость

(3.8)

Вместе с тем, согласно выражению (3.1), среднее время пребывания т₀ = V / Q, откуда

(3.8а)

Уравнение (3.8а) применяют для определения объема V, занимаемого в двухфаз­ном потоке внутри аппарата одной из фаз, расход которой составляет Q, например общего объема капель (дисперсной фазы) и сплошной фазы для системы жидкость – жидкость в экстракционных аппаратах и т. п.

Пользуясь данными о распределении времени пребывания, можно решать и другие прикладные задачи. Так, с помощью уравнений (3.8а) можно найти расход жидкости через трубопровод, если обычные методы нельзя применить.

При проведении химических, массообменных или тепловых процессов в аппаратах идеального вытеснения концентрации рабочих веществ (или температуры) непрерывно меняются от входа к выходу по длине (высоте) аппарата. В аппаратах идеального смешения происходит полное выравни­вание концентраций (или температур) по всему аппарату, причем в любой точке они равны значениям соответствующих величин на выходе потока.

Для обоих этих случаев методы расчета скоростей процессов и размеров соответствующих аппаратов при известных кинетических коэффициентах хорошо разработаны. Значительно труднее описать и учесть реальное поле концентраций или температур при расчете аппаратов промежуточного типа.

Для описания действительной картины изменения концентраций (или температур) в этих аппаратах необходимо иметь какую-то количественную меру степени перемешивания, т. е. степени отклонения реальной гидро­динамической структуры потока от структуры, отвечающей идеальному вытеснению или идеальному смешению. Чтобы найти такую меру, выра­женную численными значениями какого-либо одного или нескольких пара­метров, обычно прибегают к описанию структуры потока при помощи той или иной упрощенной модели, или физической схемы, более или менее точно отражающей действительную физическую картину движения потока. Этой идеализированной физической модели отвечает математическая модель – уравнение или система уравнений, посредством которых расче­том определяется вид функции распределения времени пребывания. Далее сопоставляют реально полученный опытным путем (из кривых отклика) вид функции распределения с результатом расчета на основании выбран­ной идеальной модели при различных значениях ее параметра (или пара­метров). В результате сравнения устанавливают, соответствует ли с доста­точной степенью точности выбранная модель реальной гидродинамической структуре потока в аппарате данного типа, т. е. адекватна ли модель объекту. Затем находят те численные значения параметров модели, при которых совпадение опытной и расчетной функций распределения наи­лучшее. Указанные значения в дальнейшем применяют при расчете про­цесса в конкретном аппарате. Обобщая эти данные, получают уравнения для расчета значений параметров модели при разных гидродинамических условиях работы и размерах аппаратов данного типа.

В настоящее время для описания структуры потоков в аппаратах про­межуточного типа наиболее широко используют ячеечную и диффузион­ную модели.

В соответствии с ячеечной моделью аппарат рассматривается как бы состоящим из ряда последовательно соединенных по ходу потока одинаковых ячеек, или каскада ячеек, в каждой из которых поток идеально перемешан.

Наиболее близко этой модели от­вечает поток в реальном каскаде аппа­ратов с мешалками (рис. 3.5, а).Применение ячеечной модели дает хоро­шие результаты также для массооб­менных аппаратов ступенчатого типа, например для тарельчатых колонн и для других аппаратов, секционированных по ходу потока.

Рис.3.5. К ячеечной модели структуры потока:

а – к определению модели; б – виды функции распределения времени пребывания для различных значений параметра модели.

Единственным параметром ячеечной модели является число п таких ячеек, на которые нужно мысленно разбить аппарат, чтобы полу­чить реально достигаемую в нем сте­пень перемешивания потока. Если число ячеек оказывается близким еди­нице, то движение потока в аппарате приближается к идеальному смеше­нию.

Функция распределения времени пребывания для ячеечной модели в частном случае п = 1 описывается уравнением (3.6). Используя ме­тод, аналогичный примененному при выводе этого уравнения, для любого значения п находят функцию распределения общего вида:

(3.9)

Вид кривых отклика, соответствующих этой функции распределения при различных значениях п, показан на рис. 3.5, б. С увеличением числа ячеек структура потока в аппарате все более отклоняется от идеального смешения и приближается к идеальному вытеснению. Идеальное вытесне­ние достигается при п ® ¥. Таким образом, аппарат идеального вытесне­ния можно представить как бесконечную последовательность ячеек иде­ального смешения.

В основу диффузионной модели положено допущение о том, что для математического описания процесса перемешивания потока может быть использовано уравнение, аналогичное уравнению диффузии в дви­жущейся гомогенной среде. Значит, эта модель исходит из приближенной аналогии между перемешиванием и диффузией. Согласно диффузионной модели, всякое отклонение распределения времени пребывания частиц потока от распределения при идеальном вытеснении, независимо от при­чины, вызвавшей это отклонение, считают следствием продольного перемешивания (вдоль оси потока), условно описываемого уравнением диф­фузии с некоторым фиктивным коэффициентом диффузии.

В соответствии с принятой аналогией, если в движущемся (например, по трубе) потоке окрасить тонкий поперечный слой жидкости, то краска будет размываться в обе стороны от движущегося окрашенного сечения. Как и в случае обычной молекулярной диффузии, размывание краски в этих направлениях обусловлено наличием градиента ее концентрации. Однако скорость такого размывания больше, чем в случае молекулярной диффузии. Поэтому для количественной характеристики скорости про­дольного перемешивания вместо коэффициента диффузии D, используе­мого в известных законах Фика, вводят некоторый фиктивный коэффициент диффузии Е, называемый также коэффи­циентом продольного перемешивания.

Диффузия в движущемся потоке описывается уравнением

Записывая это уравнение в прило­жении к рассматриваемому случаю однонаправленной диффузии инди­катора (лишь вдоль оси х потока) и заменяя в нем коэффициент молеку­лярной диффузии D коэффициентом продольного перемешивания Е,получим дифференциальное уравнение, решением которого, для случая мгновенного ввода индикатора во входящий в аппарат поток, приводит к следующему выражению функ­ции распределения времени пребывания:

(3.10)

Здесь – безразмерный комплекс величин, выражаемый соотно­шением

(3.11)

где l – длина или высота аппарата.

Этот комплекс называют критерием Пекле для про­дольного перемешивания.

Такое название, комплекс wl/E получил потому, что его выражение аналогично диф­фузионному критерию Пекле Ре' = wl/D, применяемому при расчете процессов массопередачи, в котором величина D заменена на Е. Нередко во избежание путаницы комплекс wl/E называют также критерием Боденштейна и обозначают сим­волом Во.

Критерий является единственным параметром диффузионной модели. По его численному значению можно судить о структуре потока, определяя количественно ее отклонения от идеального вытеснения, при котором = ¥, или от идеального смешения, кото­рому отвечает = 0. Построив, пользуясь уравнением (3.10), диффе­ренциальные функции распределения при различных значениях , можно убедиться, что вид соответствующих кривых меняется с изменением приблизительно так же, как при изменении п в случае применения ячеечной модели (рис. 3.5, б).

Значение , как и п для ячеечной модели, зависит от конструкции и размеров аппарата и от гидродинамических условий в нем. Оно опреде­ляется также путем сопоставления опытных кривых отклика с рассчитан­ными по уравнению (3.10) для различных значений .

Диффузионную модель используют преимущественно для описания структуры потоков в аппаратах, не разделенных на ступени, например в массообменных аппаратах с непрерывным контактом фаз.

Когда значения , или п достаточно велики (равны или больше десяти), расчеты на основе диффузионной и ячеечной моделей обычно дают близкие результаты; поэтому в таких условиях оказывается безраз­личным, какую из этих моделей применять.

Ячеечная и диффузионная модели, хотя и широко используются на практике, но не могут точно описать структуры потоков во всех реальных аппаратах. Поэтому кроме них разработаны другие модели; некоторые из них характеризуются не одним, а большим числом параметров. Такова, например, двухпараметрическая диффузионная модель, параметрами которой являются коэффициенты перемешивания в осевом и радиальном направлениях.

Более подробно вопросы, касающиеся структуры потоков, в частности другие методы вычисления распределения времени пребывания, более точные методы анализа кривых отклика для расчета параметров моделей, а также влияние структуры потоков на скорость процессов в промышленной аппаратуре, рассматриваются в специальной литературе.

Дата добавления: 2015-10-28