Развертка конуса

Если разрезать поверхность конуса вдоль его образующей и развернуть эту поверхность на плоскость, то получится развертка боковой поверхности в виде кругового сектора (рисунок 5). Его радиус равен длине образующей l, а длина дуги сектора - длине окружности основания. Угол α при вершине S может быть вычислен по формуле .

Содержание, объем и порядок выполнения задания.

2.1. Задача №1: Построить проекции прямого кругового конуса и проекции линии сечения его фронтально-проецирующей плоскостью.

Построим проекции прямого кругового конуса, стоящего основанием на горизонтальной плоскости. Высота конуса Н = 100 мм, радиус основания конуса r = 40 мм. По индивидуальному варианту определить положение фронтального следа секущей плоскости по данным координатам z₁, z₂ точек 1, 2 (Рисунок 6).

Рисунок 6

В сечении конуса данной плоскостью получается полный эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса и наклонена к его оси под углом большим, чем угол наклона образующих. Эллипс имеет большую ось (1-2) и меньшую ось (3-4). Оси в эллипсе взаимно перпендикулярны и проходят через середину друг друга. На фронтальной проекции эллипс, а значит его большая ось (1-2) и меньшая ось (3-4) совпадают со следом секущей плоскости, так как фронтально-проецирующая плоскость является плоскостью частного положения (перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂) и поэтому обладает собирательными свойствами: собирает на свой фронтальный след проекции прямых и точек лежащих в этой плоскости.

Большая ось эллипса (1-2) в системе плоскостей П₁, П₂, П₃ занимает частное положение: она параллельна плоскости П₂. На горизонтальной и профильной проекции конуса большую ось эллипса находим по принадлежности точек 1 и 2 соответствующим образующим конуса по линиям проекционной связи (рисунок 7).

Рисунок 7 – Построение осей эллипса

Меньшая ось эллипса (3-4) занимает тоже частное положение: она перпендикулярна плоскости П₂, поэтому на фронтальной проекции конуса она проецируется в точку, которая делит большую ось (1-2) пополам, так как оси в эллипсе взаимно перпендикулярны и проходят через середину друг друга. Чтобы получить горизонтальную проекцию меньшей оси эллипса (3-4) через середину отрезка 1' - 2' надо провести перпендикуляр, а через точки 3"- 4" фронтальной проекции меньшей оси эллипса - вспомогательную горизонтальную плоскость (на рисунке 7 показан ее фронтальный след f_0b), которая рассечет конус по окружности радиусом R. Строим на горизонтальной проекции окружность радиусом R, напересечении этой окружности и перпендикуляра получим точки 3' - 4' меньшей оси эллипса, лежащие во вспомогательной горизонтальной плоскости. Профильные проекции точек 3 – 4 находим по линиям проекционной связи (рисунок 7).

Рисунок 8

Кроме точек 1 – 2, 3 – 4, которые определяют большую и меньшую оси эллипса определяются точки 5 и 6, которые являются границей видимости на профильной проекции. Точки 5 и 6 определяются по фронтальной проекции конуса при пересечении оси конуса и фронтального следа секущей плоскости (рисунок 8). Затем находим профильные проекции точек 5, 6 на внешних образующих конуса по линиям проекционной связи. Горизонтальные проекции определяем по фронтальным и профильным проекциям, откладывая координаты Y точек 5,6, отмеренные на профильной проекции (см. рисунок 8).

Получив точки 1, 2, 3, 4, 5, 6 соединяем их на горизонтальной и профильной проекции под лекало. Полученные проекции эллипса обводим линией красного цвета толщиной S (рисунок 8).

2.2. Задача №2: Построить натуральную величину фигуры сечения конуса (эллипса) преобразованием чертежа (вращением).

При пересечении конуса фронтально-проецирующей плоскостью получаем эллипс, ни одна из проекций эллипса не является его натуральной величиной, чтобы получить натуральную величину необходимо воспользоваться способом преобразования чертежа. Наиболее рациональным в решении данной задачи будет способ вращения. При применении способа вращения должны быть определены следующие факторы:

1. Объект вращения.

2. Ось вращения.

3. Плоскость вращения.

4. Центр вращения.

5. Радиус вращения.

6. Угол поворота.

В данной задаче секущая фронтально-проецирующая плоскость и лежащий в ней эллипс должны быть повернуты до положения параллельного плоскости П₁ (рисунок 9).

Тогда на горизонтальной плоскости эллипс будет проецироваться в натуральную величину. При этом объектами вращения являются точки 1, 2, 3, 4. Осью вращения является прямая проходящая через точку 1 и перпендикулярная плоскости П₂. Плоскости вращения проходят через

Рисунок 9 – Построение натуральной величины фигуры сечения

точки 1, 2, 3, 4, параллельно плоскости П₂ и перпендикулярно оси вращения. Центром вращения являются точки на пересечении оси вращения и плоскостей вращения, на фронтальной проекции они совпадают с точкой 1. Радиус вращения – отрезок соединяющий центр вращения с объектом вращения. На фронтальной проекции радиусы вращения проецируются в натуральную величину, так как они параллельны плоскости П₂. Угол поворота определяем развернув секущую плоскость параллельно плоскости П₁, на горизонтальной плоскости находим новое положение точек 1, 2, 3, 4 и получаем натуральную величину эллипса так как он параллелен плоскости П₁. Полученные точки соединяем под лекало и обводим линией красного цвета толщиной S.

2.3. Задача№3: Построить боковую развертку усеченной части конуса.

Усеченная боковая развертка конуса строится на основании полной боковой развертки конуса. Основание конуса на горизонтальной проекции делим на 8 равных частей. Полученные точки A, B, C, D, E, F, G, H соединяем с вершиной конуса (рисунок 10).

Рисунок 10

Рисунок 10 – Развертка полного конуса

На свободном поле чертежа проводится вертикальная осевая линия и на ней откладывается натуральная величина образующей конуса (L). На фронтальной проекции в натуральную величину проецируются две образующие, которые параллельны плоскости П₂ - это SA и SE.. Из вершины S проводится дуга развертки радиусом равным натуральной величине образующей (L), т.е. длине отрезка S²A² или S²E². На этой дуге откладывается 8 частей, равных 1/8 длины окружности основания конуса. Для этого на горизонтальной проекции циркулем измеряется хорда любой дуги, например, АВ, затем от осевой линии развертки в обе стороны откладывается по 4 длины хорды АВ. Точки, полученные на дуге обозначаем A, B, C, D, E, F, G, H и соединяем с вершиной S. Получаем таким образом полную боковую развертку конуса в виде кругового сектора. Его радиус равен длине образующей, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса (рисунок 10).

Чтобы получить усеченную часть боковой развертки конуса, необходимо определить точки пересечения каждой образующей с секущей плоскостью на фронтальной проекции. Для этого полученные на горизонтальной проекции образующие SA…SH проецируем на фронтальную проекцию конуса, где они пересекаются с фронтальным следом секущей плоскости (рисунок 11). Далее необходимо определить натуральную величину отрезков образующих усеченного конуса.

Рисунок 11 – Построение развертки боковой поверхности усеченного конуса

На фронтальной проекции сразу можно определить натуральную величину только двух отрезков на образующих SA и SE, т.к. они параллельны П₂. Это отрезки А²1² и Е²2², которые откладываем на развертке на соответствующих образующих и получаем точки 1 и 2. На профильной проекции также можно определить натуральную величину двух отрезков на образующих SC и SG, т.к. они параллельны П₃.

Отрезки остальных образующих находим методом вращения конуса вокруг оси, проходящей через вершину конуса перпендикулярно П₁. При этом натуральную величину отрезка каждой из образующих определяем по фронтальной проекции после вращения данной образующей до положения параллельного П₂. Например, рассмотрим нахождение натуральной величины отрезка образующей SB – отрезка В7 усеченного конуса. Для получения натуральной величины отрезка В7 на фронтальной проекциинеобходимоповернуть конус так, чтобы образующая SB стала параллельной плоскости П₂. При этом вращении точка 7 движется по окружности, плоскость которой параллельна П₁, а радиус равен отрезку S¢7¢. На фронтальнойпроекции траектория движения точки 7 – это горизонтальный отрезок (на рисунке 11 это движение показано стрелкой). После мысленного поворота образующая SB на фронтальной проекции будет находится на месте образующей SА и будет параллельна П₂, значит натуральной величиной отрезка В7 будет являться отрезок длиной l₁. Эту величину откладываем на развертке от точки В на образующей SB. Так как развертка конуса симметрична, то этот же отрезок откладываем и вдоль образующей SН. Таким же образом находим натуральную величину отрезков образующих SF и SD (на рисунке 11 – это отрезок длиной l₃). Полученные после вращения натуральные величины отрезков образующих переносим на развертку, откладывая их на соответствующих образующих. Затем полученные точки соединяем плавной линией под лекало и обводим красной линией толщиной S. Усеченную часть боковой развертки конуса обводим черной линией толщиной S.

На рисунке 12 показан образец выполнения расчетно-графического задания «Эпюр 2».

Таблица вариантов.

	Для всех вариантов: радиус основания конуса r=40 мм, высота конуса Н=100 мм.   На рисунке показано построение фронтального следа плоскости по данным координатам z1, z2 точек 1 и 2.

Вариант	z1	z2
		45

Дата добавления: 2015-10-28