Вычисление площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Определение квадрируемой фигуры. Сформулировать необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры. Площадь криволинейной трапеции. Различные случаи вычисления площади плоской фигуры. Формула вычисления объёма тела по площади параллельных сечений. Вычисление объёмов тел вращения. Записать формулы и сделать чертежи.

Определение квадрируемой фигуры.

Многоугольником будем называть конечную плоскую фигуру, ограниченную одной или несколькими замкнутыми линиями.

Возьмем произвольную фигуру (Р) на плоскости, которая представляет собой ограниченную замкнутую область.

(Р) ограничена замкнутой кривой (К).

Рассмотрим многоугольник (А), целиком содержащийся в (Р), и многоугольник (В), целиком содержащий в себе фигуру (Р).

А – площадь (А), В – площадь (В), то .

{A} – множество чисел, ограничено сверху любым В, значит имеет точную верхнюю границу

{B} – множество чисел, ограничено снизу любым A, значит имеет точную нижнюю границу

Опр.: Если обе границы совпадают, то их общее значение Р называем площадью фигуры . А сама фигура (Р) называется квадрируемой.

Для квадрируемости фигуры (Р) необходимо и достаточно, чтобы нашлись бы такие многоугольники (А) и (В), чтобы

Теорема о существовании граней: Всякое непустое множество, ограниченное сверху (снизу) имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Вспомним определение и свойства граней:

– самое маленькое и уменьшить его нельзя.

– самое большое и увеличить его нельзя.

Дано: фигура квадрируема.

Д-ть:

Н. У.:

Д. У.:

Дано:

Замечание 1. Для того, чтобы фигура (Р) была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы её контур (К) имел площадь, равную нулю.

Замечание 2. Для того, чтобы фигура (Р) была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы последовательность вписанных многоугольников и описанных многоугольников имели бы один общий предел.

Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , сбоку – прямыми и , называется криволинейной трапецией.

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс: ; «ниже» оси абцисс:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми и ()

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной кривой , то её площадь находится по формуле:

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми и и осью , то площадь её находится по формуле где и определяются из равенств и

Пример:

Полярные координаты.

Площадь криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией и двумя лучами и , где и – полярные координаты:

Вычисление объёмов тел вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси некоторой криволинейной трапеции.

Основная формула для вычисления объемов тел вращения:

, где – площадь сечения тела оси Ох.

, где – площадь сечения тела оси Оу.

Дата добавления: 2015-10-24