Результат.

ostatok - количество денег, которое останется у человек (вещественный тип).

2 этап. Построение математической модели (метод решения)

ostatok = dengi - a - b - d

3 этап. Алгоритмизация.

5 этап. Написание программы.

Program pokupka; Uses crt; Var a, b, d, den: real; ostatok: real; begin clrscr; write ('введите стоимость перчаток, портфеля и галстука '); readln (a, b, d); write ('введите количество имеющихся у вас денег '); readln (den); oststok:= den - a - b - c; writeln ('после покупки у вас останется ', ostatok:5:2, 'руб. '); readln; end.

19.Постановка задач интерполирования и экстраполирования функций. Многочлен Лагранжа.

Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией j (x) так, чтобы отклонение функции j (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция j (х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.)

Постановка задачи интерполяции

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [ a, b ] заданы n + 1 точки x_i = х ₀, х ₁ ,..., х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках

f (x 0) = y 0, f (x 1) = y 1 ,..., f (xn) = yn.

(1)

Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т. е. такую, что

F(x 0) = y 0, F(x 1) = y 1 ,..., F(xn) = yn.

(2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i, y_i) (i = 0, 1 ,..., n) (Рисунок 1).

Рисунок 1

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F (х) искать полином j (х) (интерполяционныйполином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что

j (x 0) = y 0, j (x 1) = y 1 ,..., j(xn) = yn.

(3)

Полученную интерполяционную формулу

(4)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ¦ (х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

1. глобальная - соединение всех точек ¦ (х) единым интерполяционным полиномом;

2. локальная - соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам).

ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ

экстраполяция, функции - продолжение функции за пределы ее области определения, при к-ром продолженная функция (как правило, аналитическая) принадлежит заданному классу. Э. функций обычно производится с помощью формул, в к-рых использована информация о поведении функции в нек-ром конечном наборе точек (узлах интерполяции), принадлежащих ее облает определения.
Понятие интерполирования функций употребляртся в качестве противопоставления понятию Э. функций (в узком смысле понимания этого термина), когда конструктивно восстанавливаются (быть может, приближенно) значения функций в областях их определений.
Пример. Если заданы значения функции в узлах то интерполяционныймногочлен Лагранжа L_n (x)(см. Лагранжа интерполяционная формула), будучи определен на всей числовой оси является, в частности, Э. функции f вне отрезка [ а, b ]в классе многочленов степени не выше п.
Иногда при Э. функций используется не вся ее область определения, а только ее часть, т. е. фактически производится Э. значений сужения заданной функции на указанной части. В этом случае экстраполяционные формулы дают, в частности, значения (вообще говоря, приближенные) функции в соответствующих точках ее области определения. Именно таким образом часто поступают при решении практич. задач, когда вне рассматриваемой части области определения нек-рой функции отсутствует достаточная информация, необходимая для вычисления ее значений.

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все x_i различны, существует единственный многочлен L (x) степени не более n, для которого L (x_i) = y_i.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

20.Интерполяционные многочлены Ньютона. Конечные разности

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

(31.13)

В котором I - разделенные разности различных порядков.

Этот многочлен удовлетворяет условиям

Интерполяционной формулой Ньютона называется формула

(31.14)

Замечание 1. Поскольку любой Член многочлена Ньютона зависит только от Первых узлов интерполяции и от значений функции в этих узлах, добавление новых узлов вызывает в формуле (31.13) лишь добавление новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным преимуществом многочлена Ньютона по сравнению с многочленом Лагранжа.

Замечание 2. В силу единственности интерполяционного многочлена Степени интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и обратно.

В случае равноотстоящих узлов интерполяции

| из формулы (31.14) с учетом (31.12) получается интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования вперед»:

(31.15)

Формула (31.15) удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наименьшему узлу

Интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования назад»:

(31.16)

Формула (31.16) удобна при интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу

Замечание 3. В формуле (31.15) в коэффициенты многочлена входят конечные разности различных порядков, принадлежащие верхней (нисходящей) строке таблицы разностей (см. табл. 31.1). В формуле (31.16) в коэффициенты многочлена входят разности различных порядков, принадлежащие нижней (восходящей) строке таблицы разностей.

Пример 31.4. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функции , если известны ее значения:

В данном случае Отметим, что

Узлы не являются равноотстоящими (так как ). Интерполяционный

Многочлен (31.13) при С учетом равенств (31.11) принимает вид

Вычисляем разделенные разности

Подставляя в выражение для Соответствующие значения, находим интерпо

Ляционный многочлен Ньютона

Замечание 4. Раскрывая скобки и группируя члены, получаем

Пример 31.5. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функции По ее значениям в точках И вычислить И

Вычислим сначала значения функции в данных равноотстоящих узлах:

Составим таблицу разностей различных порядков (табл. 31.3).

Числа, подчеркнутые одной чертой входят в интерполяционную формулу Ньютона для «интерполирования вперед». Многочлен в правой части формулы (31.15) в данном случае Принимает вид

С помощью этого многочлена вычислим значение функции При

(значение аргумента ближе к Подставляя значение

В формулу (I), находим

Числа табл. 31.3, подчеркнутые двумя чертами (и число 0,5 в столбце I, входят в интерполяционную формулу Ньютона для «интерполирования назад». Многочлен в правой части формулы (31.16) в данном случае принимает ввд

С помощью многочлена (II) вычислим значение данной функции При

(это значение аргумента ближе к ). Подставляя значение В

Формулу (II), получаем

Следовательно,

Замечание 5. Многочлены (I) и (II) различаются лишь формой записи. Действительно, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

Дата добавления: 2015-10-02