Теорема о полиноминальном сканировании

Пусть f(t)- бесконечно дифференципуемая на всей числовой оси функция и существует такое что

(1.28)

где

Тогда при любом для любого фиксированного значения t справедливо

(1.29)

где

(1.29a)

(1.29б)

Г(x)- гамма функция от аргумента х, для которой, как известно, справедливы Г(1) и формула приведения (см., например, ):

Г(x)=(x-1)(x-2)…(x-d)Г(х-d) (d<x). (1.29в)

Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство базаруються на интерполяционной формуле Лагранжа, которая позволяет построить многочлен степени m, интерполирующий заданную функцию узлах интерполяции

(1.30)

где функция ошибки равна нулю при всех Выбрав в качестве узлов интерполяции точки некоторая конечная величина, формулу (1.30) после несложных преобразований (с использованием формулы (1.29в) можна представить как

(1.31)

Здесь интерполирующий многочлен Лагранжа мы специально выразили через функции чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что при конечных значениях n и t/T имеют место

. (1.32)

(1.33)

(см., например, т.е. для любого фиксированного значения t при когда формула (1.31) принимает вид

(1.31a)

слагаемые в сумме, соответствующие конечным значениям оказываются равными

(1.34)

Сопоставив это выражение с формулой (1.20б) легко обнаружить, что оно совпадает со слагаемыми, фигурующими в этой формуле (если конечно положить )

Проследим за доказательством теоремы о полиноминальном сканировании, привиденним в

Выше уже говорили о том, что во всех узлах интерполяции функция ошибки равна нулю.Нас же будут интерисовать значения этой функции для призвольных (не обезательно равных узлам интерполяции) значения t из некоторого интервала (a,b), включающего все узлы интерполяции. Известно (см., например, ) что при существовании у функции всех производных до -й включительно имеет место

(1.35)

где

В случае, когда в качестве узлов интерполяции выбраны точек отсчета имеет место формула (1.31) с функцией ошибки равной

(1.36)

где

Отсюда следует неравенство

(1.37)

Для любого фиксированного значения t всегда можно найти достаточно большое значение k, такое, чтобы значение t оказалось в интервале И тогда среди индексов можно найти индекс n=n(t) такой, чтобы имело место

При этом будет иметь место

(1.38)

где через Г(+) и Г(-) обозначены соответственно

(138a)

(1.38б)

Отсюда пользуясь свойствами гамма-функции (см., например, )

Г(х) Г(1-х)= (1.39)

получим

(1.40)

Пусть при некотором фиксированном значении t значение k стремится к бесконечности. Очевидно, из конечности t следует конечность также n(t). И тогда, пользуясь формулами Стрилинга асимптотического разложения Г(х) и х! (см., получим

(1.41)

где при

Из (1.41) непосредственно следует справедливость теоремы о полиноминальном сканировании. Заметим,что в ряде случаев вместо формулы (1.29) можно пользоваться эквивалентной стандартной формулой

(1.42)

Рис. 1.3 Графический метод определения

найбольшего допустимого шага сканирования

В в качестве примера рассмотрена приведенная в (1.27) функция которую как уже говорилось выше, при

и/или нельзя сканировать с помощью теоремы отсчетов.Подставляя в формулу (1.28) выражение для р-й производной этой функции и переходя к пределу можно найти уровнение для найбольших допустимых значений шага сканирования при заданных значениях независимо от значения

(1.43)

где

На рис. 1.3 приведена симметричная относительно мнимой и вещественной осей координат коиплексной плоскости замкнутая кривая(лист)

(1.44)

Из сопоставления (1.43) с (1.44) легко обнаружить весьма простой способ определения при заданных найбольшего допустимого значения шага сканирования

а именно, построить точку провести луч, проходящий через начало координат и точку s, определить точку L пересечения этого луча с листом. Значение при этом определяется как отношение длин двух отрезков:

Следует особо отметить, что хотя в общем случае, когда и/или применительно к фунции (1.27) теорема отсчетов “не работает”, в том единственном случае, когда т.е. когда речь идет о функции с ограниченным спектором частот и пременение теоремы отсчетов становится возможным, именно ею и следует пользоваться. Дело в том, что теорема отсчетов при этом устанавливает лимит сверху на шаг сканирования, равный тогда как значение лимита при полиноминальном сканировании оказывается равным т.е. в раза меньше.

Дата добавления: 2015-10-02