Обзор аксиоматики Гильберта

Гильберт Д. «Основания геометрии», 1899 г.

Гильберт сформулировал систему аксиом, определяющую пространство Евклида.

Геометрическое пространство - множество, элементы которого (называются основными геометрическими образами) находятся в определенных основных отношениях, удовлетворяющих всем требованиям данной системы аксиом.

Существуют три системы вещей E₁, E₂, E₃, природа которых безразлична.

Вещи первой системы E₁ называются точками (A, B, …).

Вещи второй системы E₂ называются прямыми (a, b, …).

Вещи третьей системы E₃ называются плоскостями (a, b, …).

Между точками, прямыми и плоскостями существуют определенные отношения «лежать», «лежать между», «конгруэнтно», которые описываются пятью группами аксиом.

Двумерное пространство Евклида - множество E², состоящее из подмножеств E₁ и E₂.

I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ (ПРИНАДЛЕЖНОСТИ) определяют свойства отношения «лежать на».

Аксиома I.1: Для любых двух точек A и B существует прямая a, которой принадлежит каждая из данных точек.

Аксиома I.2: Для двух точек A и B может существовать не более одной прямой a, которой эти точки принадлежат.

Аксиома I.3: Если дана прямая a, то всегда существуют по крайней мере две точки A и B, которые принадлежат прямой a. Существуют по крайней мере три точки A, B, С, не принадлежащие одной прямой.

Аксиома I.4: Если A, B, С - любые три точки, не принадлежащие одной прямой, то существует плоскость a, которой эти точки принадлежат. Для любой плоскости a существует точка, принадлежащая плоскости a.

Аксиома I.5: Для любых трех точек A, B, С, не принадлежащих одной прямой, может существовать не более одной плоскости a, которой принадлежит каждая из этих точек.

Обозначения: Прямая a º (AB), плоскость a º (ABC).

Определение: Прямая a принадлежит плоскости a, если каждая точка прямой a принадлежит плоскости a.

Аксиома I.6: Если две точки A, B принадлежат как прямой a, так и плоскости a, то прямая a принадлежит плоскости a.

Аксиома I.7: Если существует точка A, принадлежащая двум плоскостям a и b, то существует и вторая точка B, принадлежащая плоскостям a и b.

Аксиома I.8: Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

II. АКСИОМЫ ПОРЯДКА определяют свойства отношения «лежать между».

Аксиома II.1: Если точка B лежит между точками A и C, то A, B, С - различные точки одной прямой и B лежит между точками C и A.

Обозначения: или .

Аксиома II.2: Для двух точек A и B на прямой AB существует по крайней мере одна точка С, такая, что B лежит между точками A и C.

Аксиома II.3: Если даны три различные точки A, B, С, лежащие на одной прямой, то из этих точек не более чем одна может лежать между двумя другими.

Замечание: Утверждается не существование такой точки, а ее единственность.

Аксиома II.4 (аксиома Паша): Пусть A, B, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и a - прямая, лежащая в плоскости (ABС), но не проходящая ни через одну из точек A, B, С. Если при этом прямая a проходит через внутреннюю точку отрезка [AB], то она пройдет через внутреннюю точку по крайней мере одного из двух отрезков [AС] и [BС].

Замечание: Тот факт, что второй отрезок не будет пересечен, доказывается позже в теореме.

III. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ определяют свойства отношения «конгруэнтен».

Определение: Двухвершинник AB состоит из двух различных точек A и B.

Определение: Одномерный угол Ð(h,k) - фигура, состоящая из двух лучей h и k, имеющих общую начальную точку.

Двухвершинники и одномерные углы, стороны которых не принадлежат одной прямой, находятся в определенном отношении «конгруэнтен» или «равен» (обозначение «=»)

Аксиома III.1: Если даны двухвершинники AB и A₁B₂, то существует точка B₁, лежащая по одну сторону с B₂ от A₁ и такая, что двухвершинник AB конгруэнтен (равен) двухвершиннику A₁B₁ (AB = A₁B₁). Для каждого двухвершинники AB справедливо соотношение AB = BA.

Аксиома III.2: Если двухвершинники A₁B₁ и A₂B₂ равны одному и тому же двухвершиннику AB, то A₁B₁ = A₂B₂.

Аксиома III.3: Если точка B лежит между точками A и C, точка B₁ лежит между точками A₁ и C₁, а также AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, то AC = A₁C₁.

Аксиома III.4: Пусть даны одномерный угол Ð(h,k), стороны которого не принадлежат одной прямой, и полуплоскость a₁, ребру которой принадлежит данный луч h₁ с вершиной O₁. Существует единственный луч k₁ с начальной точкой O₁, принадлежащий полуплоскости a₁, такой, что угол Ð(h,k) конгруэнтен (равен) углу Ð(h₁,k₁). Всякий угол равен самому себе.

Аксиома III.5: Если в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ стороны AB и AC соответственно равны сторонам A₁B₁ и A₁C₁, и ÐBAC = ÐB₁A₁C₁, то выполняется равенство ÐABC = ÐA₁B₁C₁.

Дата добавления: 2015-10-24