Расчет надежности

ЗАДАНИЕ

Исходные данные:

F_rr3 – радиальное биение зубчатого венца, мкм.

Результаты замеров биения зубчатого венца приведены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты замеров биения зубчатого венца, в мкм

№ колеса	Frr3

Геометрические параметры:

Z – число зубьев колеса; Z = 32;

m – модуль зацепления нормальный; m =6,3 мм;

b - угол наклона зуба; b=17°.

Степень точности колеса - 7.

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ

1. Определим среднеарифметическое или выборочное среднее:

(1)

где x_i – значение отдельных опытных данных; мкм;

n – число опытных данных.

2. Определим среднеквадратическое отклонение:

(2)

При n ≥ 25, принимаем (n-1)=n. Следовательно

3. Оценка и отсеивание грубых погрешностей

Грубые погрешности измерения и обработки нередко оказывают решающее влияние на оценку точности технологических процессов и приводят к тому, что отдельные результаты наблюдений по своей величине значительно от-

личаются от других. Если технолог убеждён, что такие наблюдения – результат ошибки, то эти наблюдения не следует учитывать при последующем анализе. Если же такой уверенности нет, то для определения того, является ли резко выделяющиеся измерения результатом грубой ошибки или случайного отклонения, необходимо использовать один из методов обнаружения грубых погрешностей эксперимента.

3.1. Оценка грубых погрешностей по методу Грэббса

Предварительно по опытным данным выборки вычисляют характеристики распределения: среднее арифметическое значение и средне квадратичное отклонение S. Затем определяют величину квантиля по формуле:

(3)

где - величина квантиля;

- среднее квадратическое отклонение, мкм;

- Резко выделяющееся(наибольшее или наименьшее)значение, мкм;

- среднее арифметическое случайной погрешности, мкм.

Задавшись процентом риска р, при котором грубая ошибка может быть принята за случайную (при технологических исследованиях чаще всего р =5%), по таблице 2 в зависимости от объёма выборки n находят критическое значение , которое сравнивают с ранее вычисленным значением по выше приведённой формуле (3).

Таблица 2

Критическое значение при р =5%

	2,62	2,717	2,792	2,839	2,904	2,956	3,102	3,187

Т.к. n=27, находим значение методом интерполяции:

Расчет:

Выберем из ряда два резко выделяющихся значения (максимальное F=50 мкм и минимальное F = 10 мкм). Подставим в формулу и получим:

;

Сравнив полученные значения квантиля с выбранным из таблицы, получим, что при n=27 и р=5% значение 50 вероятно, является погрешностью. Его необходимо отбросить и произвести перерасчет.

После исключения значения 50:

Среднее арифметическое по формуле (1):

Среднеквадратическое отклонение по формуле (2):

Т.к. n=26, находим значение методом интерполяции:

Выберем из ряда два резко выделяющихся значения (максимальное F=45 мкм и минимальное F = 10 мкм). Подставим в формулу и получим:

;

Сравнив полученные значения квантиля с выбранным из таблицы, получим, что при n=26 и р=5% значение 45 вероятно, является погрешностью. Его необходимо отбросить и произвести перерасчет.

После исключения значения 45:

Среднее арифметическое по формуле (1):

Среднеквадратическое отклонение по формуле (2):

Т.к. n=25, значение =2,717 [из таблицы 2]

Выберем из ряда два резко выделяющихся значения (максимальное F=30 мкм и минимальное F = 10 мкм). Подставим в формулу и получим:

;

Сравнив полученные значения квантиля с выбранным из таблицы, получим, что при n=25 и р=5% грубых погрешностей нет.

4. Построение графиков эмпирического и теоретического распределения, определение поля рассеяния, коэффициента смещения, процента брака

4.1. Построение эмпирической кривой

По результатам измерения определяется разность между наибольшим и наименьшим размерами, которая разбивается на несколько интервалов. Количество интервалов выбирается в зависимости от числа измерений. При числе измерений до 100 принимают до 6 интервалов. Определяется частота m – количество измерений, размеры которых попали в каждый интервал. Цена интервала должна быть несколько больше цены деления шкалы измерительного устройства. Этим компенсируются погрешности измерения.

На оси абсцисс откладываются отрезки, соответствующие размеру принятого значения интервала, и посередине каждого из них откладываются ординаты, пропорциональные частоте. В результате построения получается ступенчатая линия, называемая гистограммой распределения.

Вершины ординат соединяются ломанными кривыми. Эта эмпирическая кривая распределения называется полигоном.

Определим значение величины шага интервала по формуле:

(4)

где - максимальное значение контролируемого параметра из заданной выборки;

- минимальное значение контролируемого параметра из заданной выборки;

- количество интервалов принятых для заданной выборки (принимаем )

Тогда:

Из этого следует распределение значений контролируемого параметра по интервалам, приведенное в таблице 3.

Таблица 3

Определение частоты попадания значений измерений в заданные

интервалы

Величина интервала, мкм	Частота,
[10 ÷ 14)
[14 ÷ 18)
[18 ÷ 22)
[22 ÷ 26)
[26 ÷ 30]

Рис. 1. Полигон распределения результатов замера

По рис. 1 определяем, что значения результатов замера подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Допуск (Т_rr) на предельные отклонения биения зубчатого венца принимается из источника [1; табл. 6] в зависимости от делительного диаметра зубчатого колеса и его степени точности.

мм ст.т. 7

Т_rr =56 мкм.

Определение поля рассеяния.

Поле рассеяния w для нормального закона распределения определяется по формуле:

w = 6×S (5)

w = 6×5,42 = 32,52 мкм.

4.2. Построение кривой нормального распределения

Уравнение кривой нормального распределения имеет вид:

(6)

где е – основание натурального логарифма.

Кривая нормального распределения симметрична относительно оси ординат. Значениям и соответствует одинаковая величина у. При кривая имеет максимум:

(7)

На расстоянии ± от кривая имеет две точки перегиба (точки А и В). ордината точек перегиба определяется по формуле:

(8)

Начиная с расстояния ±3 от , ветви кривой нормального распределения асимптотически приближаются к оси абсцисс.

(9)

Найдем точки вершины и перегиба кривой.

мкм

мкм

мкм

4.3. Применение закона нормального распределения (закон Гаусса) размеров для анализа точности обработки

Рис. 2. Теоретическая кривая распределения результатов замера

Надёжность характеризуется запасом точности, который определяется по формуле:

(10)

где Т_rr – допуск на радиальное биение зубчатого венца, мкм;

σ – расчётное значение среднего квадратического отклонения, мкм;

∆ - погрешность, вызывающая смещение вершины кривой распределения относительно поля допуска, мкм.

(11)

где - значение соответствующие середине значения поля допуска.

Подставим полученную погрешность в формулу и находим:

.

При <1, брак деталей является весьма вероятным.

Расчетное значение больше 1, поэтому процесс обработки считается надежным.

Рассчитаем количество вероятного брака.

Брак заготовок является возможным, если не выполняется условие: - условие не выполнено, является возможным брак.

Для этого необходимо найти удвоенное значение интеграла, определяющего половину площади, ограниченной кривой Гаусса и абсциссой и [4].

(12)

Формулу можно записать в нормированном виде в форме известной функции Лапласа[4]:

(13)

Значения этой функции табулированы в зависимости от величины t и приведены в таблицах. В формуле величина t представляет собой нормированный параметр распределения или коэффициент риска и определяется выражением [4]:

(15)

где t – коэффициент риска.

C увеличением значения t возрастает количество измеренных поверхностей (заготовок), размеры которых находятся в пределах поля допуска Т, и уменьшается процент ожидаемого брака.

Найдём площадь, ограниченную кривой Гаусса и абсциссой Xa и Хb по формуле:

По табличным данным (приложение 1 [3]) получим:

По табличным данным (приложение 1 [3]) получим:

Сложим полученные значения: 49,99%+46,00% = 95,99%

Вывод:

С помощью закона нормального распределения мы определили на данной операции технологической системы вероятность брака равна 100%-95,99%= 4,01%. Технологическую операцию с 4% -ой вероятностью брака можно считать надежной.

Для уменьшения вероятности брака, необходимо снизить результирующую погрешность обработки, на данной операции она формируется в основном из погрешности установки детали, что можно исключить проверкой радиального биения заготовки при крепеже.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 1643-81. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. – М.: Изд-во стандартов, 1982. – 82 с.

2. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 39 с.

3. Некрасов Ю.И., Шаходанов Ю.И. Основы математического моделирования и анализ размерной точности обработки в технологических системах: Учебное пособие. – Тюмень: ТюмГНГУ, 1997.-158 с.

4. Силич А.А. Надежность в технологических системах. Методические указания для самостоятельной работы по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов специальности 151001 – Технология машиностроения заочной формы обучения – Тюмень.: ТюмГНГУ, 2008. – 12 с.

Дата добавления: 2015-09-05