Читайте также:
|
|
В рамках данной работы было необходимо разработать приложение для операционной системы Android, позволяющее выводить нильпотентные матрицы третьего и группировать их по степеням.
Также пользователь должен иметь возможность сохранять результаты вычислений в файл.
В качестве языка для разработки был выбран язык Java, как наиболее удобный для разработки под эту операционную систему. В качестве среды разработки была выбрана среда Eclipseс установленным AndroidSDK.
Тестирование приложения осуществлялось на планшетном компьютере AsusTransformerPadInfinity, интерфейс также разрабатывался для комфортной работы на этом устройстве.
3 Нильпотентные матрицы
Нильпотентные матрицы играют важную роль в моделировании управления большими системами. Нильпотентность означает синхронизируемость и помагает в решении классических задач поддержания безопасности сложных систем.
3.1 Нильпотентный оператор
Определение. Линейный оператор пространства
называется нильпотентным, если его минимальный многочлен имеет вид
,
- показатель нильпотентности.
Таким образом из определения следует, что если - показатель нильпотентности, то
, но
. Однако для некоторых
окажется, что
при
.
Все собственные значения нильпотентного оператора
. Действительно, если
- собственный вектор оператора
, то
.
Поэтому
Пусть - нильпотентный оператор и для вектора
и некоторого
выполнены условия
,тогда векторы
линейно независимы.
Определение. Подпространством циклическим относительно нильпотентного оператора называется линейная оболочка векторов
, если
. Говорят, что циклическое подпространство порождается вектором
. Векторы
линейно независимы и образуют базис в циклическом подпространстве, называемым циклическим базисом.
Лемма (О показателе нильпотентности). Показатель нильпотентности оператора
равен кратности корня
в минимальном многочлене.
Теорема. (О нильпотентном операторе) Если оператор нильпотентный, то найдется базис, в котором матрица оператора будет иметь блочно-диагональный вид
, где
имеет вид
. Такой вид оператора
единственен с точность до перестановки блоков
(клеток одного размера всегда постоянное количество). Такая форма оператора называется нормальной.
3.2 Нильпотентная матрица.
Нильпотентная матрица — матрица, являющаяся нильпотентным элементом относительно умножения, то есть матрица P, для которой существует целое число n такое, что выполняется условие =O, где O - нулевая матрица.
Если в поле комплексных чисел все собственные значения матрицы равны нулю, то матрица нильпотентна.
Свойство. det =1, E - единичная, N - нильпотентная (квадратная матрица со свойством
=O;
Примеры:
· матрица нильпотентна, так как
=O;
· матрица нильпотентна, так как
=O;
· матрица нильпотентна, так как
=O
4 Описание конечного продукта
Приложение устанавливается как обычное приложение Android, после чего появляется в списке приложений. При запуске появляется главное окно программы, из которого и производятся все необходимые действия с матрицами:
Рисунок 5. Главное окно программы
При нажатии на кнопку "Эксперимент" попадаем в другое окно, и, прежде чем произвести вычисление, нужно сначала задать размерность матрицы. Каждая из них выводится в одной из соответствующих групп. В первую очередь выводим матрицы, у которых квадрат равен нулю, затем те, у которых куб равен нулю, потом выводим матрицы, у которых куб не равен нулю.
Например получаем: =O, количество матриц: 22
=O, количество матриц: 42
≠O, количество матриц: 448
Рисунок 6. 22 нильпотентные матрицы =O, при размерности 3х3
Рисунок 7. 316 нильпотентных матриц =O, при размерности 4х4
Рисунок 8. 1260 нильпотентных матриц =O, при размерности 4х4
Рисунок 9. 448 нильпотентных матриц ≠O, при размерности 3х3
В случае, когда производится некорректная операция (например, перемножение матриц несовпадающих размерностей), программа показывает всплывающее сообщение с объяснением ошибки.
В случае, когда производится некорректная операция (например, некорректная степень), программа показывает всплывающее сообщение с объяснением ошибки.
Рисунок 10. всплывающее окно с ошибкой
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 108 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ВВЕДЕНИЕ | | | ПРИЛОЖЕНИЕ Алгоритм вывода нильпотентных матриц |