Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическое введение

Читайте также:
  1. I ВВЕДЕНИЕ.
  2. I. Введение
  3. I. ВВЕДЕНИЕ
  4. I. ВВЕДЕНИЕ
  5. I. Введение
  6. I. ВВЕДЕНИЕ
  7. I. Введение

Приложения двойных интегралов

Теоретическое введение

Рассмотрим приложения двойного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.

3.1.1 Вычисление площади и массы плоской пластины

Рассмотрим тонкую материальную пластину D, расположенную в плоскости Оху.
Площадь S этой пластины может быть найдена с помощью двойного интеграла по формуле:

­ ­ ­ (1)

Пусть в каждой точке пластины задана ее поверхностная плотность γ = γ (x, y) ≥ 0. Будем считать, что функция γ = γ (x, y) непрерывна в области D. Тогда масса m этой пластины равна двойному интегралу от функции плотности γ (x, y) по области D:

­ ­ ­ (2)


3.1.2 Статические моменты. Центр масс плоской пластины

Статическим моментом Mx относительно оси Ox материальной точки P (x; y), лежащей в плоскости Oxy и имеющей массу m, называется произведение массы точки на ее ординату, т.е. Mx= my. Аналогично определяется статический момент My относительно оси Oy: ­ ­ ­ My = mx.
Статические моменты плоской пластины с поверхностной плотностью γ = γ (x, y) вычисляются по формулам:

­ ­ ­ (3)

 

­ ­ ­ (4)

Как известно из механики, координаты xc, yc центра масс плоской материальной системы определяются равенствами:

­ ­ ­ (5)

где m – масса системы, а Mx и My – статические моменты системы. Масса плоской пластины m определяется формулой (1), статические моменты плоской пластины можно вычислить по формулам (3) и (4). Тогда, согласно формулам (5), получаем выражение для координат центра масс плоской пластины:

­ ­ ­ (6)

Содержание типового расчета

Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана плоская пластина D, ограниченная линиями, указанными в условии задачи. Г (x,y) – поверхностная плотность пластины D. Для этой пластины найти:
1. S – площадь;
2. m – массу;
3. My, Mx – статические моменты относительно осей Оy и Ох соответственно;
4. , – координаты центра масс.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 41 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обзор документа| Порядок выполнения типового расчета

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)