Пример 5

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2.

Решение: 1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике 3(3-3)/2=0 диагоналей;

2) Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике имеется А _k =k(k-3)/2 диагоналей.

Докажем, что тогда в выпуклом (k+1)-угольнике число диагоналей А _k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Пусть А ₁ А ₂ А ₃ …A _k A _k+1 -выпуклый (k+1)-уголь-ник. Проведём в нём диагональ A ₁ A _k. Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A ₁ A ₂ …A _k, прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А _k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А ₁А _k.

Таким образом,

А _k+1 = А _k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Итак, мы доказали, что если утверждение верно для n-угольника, то оно же верно и для n+1-угольника. Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

Упражнение:

5. Докажите следующее утверждение: сумма внутренних углов произвольного n- угольника равна

Дата добавления: 2015-07-25