Сила и масса

Физические основы реализации единицы массы

Сила и масса

Вес; гравитационная и инертная массы

ГЭТ 3-2008. ГПЭ единицы массы (килограмма)

Сила и масса

Понятие массы впервые появляется в том разделе механики, который называют динамикой. Масса определяет количественную взаимосвязь между силой и ускорением (в более общем случае -между силой и количеством движения, однако здесь нам не по­требуется углубляться в вопрос о релятивистском изменении массы при увеличении скорости). Согласно второму закону Нью­тона, сила F связана с ускорением а соотношением

F = ma, или F= (mv), (1)

в которое входит коэффициент m — «масса». Это соотношение указывает, с одной стороны, на тот факт, что при выключении силы (F =0) тело движется с ускорением, равным нулю, т. е, равномерно и прямолинейно (v =const). С другой стороны, ско­рость изменяется под действием силы не мгновенно, но ее изме­нение с течением времени подчиняется строгому закону: dv /dt= = F/m, причем масса является свойством, присущим телу. С помо­щью уравнения (1) можно либо получать определение единицы силы при заданном определении единицы массы, либо обратно — из единицы силы получать единицу массы. Исторически исполь­зовались оба пути.

Если использовать терминологию гл. 3, то в первом случае получается система единиц в механике с базисом {длина, масса, время}, а во втором случае — с базисом {lFt}_t где через F обозначена сила. Базису {Imt} был бы вполне экви­валентен базис {IWt} (W — энергия), как легко видеть из рас­суждений гл. 3, если отождествить W с т1² t^-2. В системе СИ еди­ницей массы служит 1 килограмм. Соответственно эту систему единиц в механике обозначают также МКС. В теоретической фи­зике и теперь часто используют систему СГС (сантиметр— грамм — секунда),

Масса — это единственная основная единица, связанная с су­ществованием искусственно созданного материального прототи­па, который может быть выбран свободно и который не требует произведения опытов для обеспечения «неизменности» прототипа. Однако существенно, чтобы этот прототип был легко воспроиз­водим.

Прототип 1 кг массы представляет собой находящийся в Международном бюро мер и весов в Севре под Парижем цилиндр из сплава платины (90%) и иридия (-10%) диаметром около39 мм и такой же высоты. Выбор этого сплава обеспечивает стойкость, однородность и высокую полируемость поверхности (так что его легко очищать), однако ввиду большой плотности (21,5 г-см-³) он обладает тем недостатком, что отделение от него уже малых частей приводит к большому изменению массы.

Первоначально прототип массы должен был совпадать по своей массе с 1 дм³ воды при ее наибольшей плотности (3,98°С) и давлении 1 физ. атм (=101325 Па=760 торр). Однако затем максимальная плотность воды была найдена равной 0,999972 г-см~³, т. е. прототип массой оказался н,а 28 мкг больше, чем был задуман. Это сказалось также на определении единицы объ­ема, если таковая вводится в качестве независимой. В системе СИ единица объема является производной: 1 м³= (1 м)³. Однако возможно также, если взят прототип массы, определить в качестве единицы объема 1 мл (1 миллилитр) — новую единицу объема, а именно объем, который занимает 1000 г воды при ее наибольшей плотности и давлении 1 физ. атм.

Такая единица объема является некогерентной, так как коэффициент пере­счета не равен 1. Официальной когерентной единицей в данном случае яв­ляется 1 литр= 1 дм³.

В ходе установления прототипа массы было изготовлено мно­го его экземпляров. При сложной процедуре сравнения должно обеспечиваться постоянство определения 1 кг с относительной точностью 10^-8 на протяжении многих тысяч лет. Россия распола­гает прототипом № 58. Его сравнение с прототипом в Севре в 1953 г. дало значение 1 кг+152 мкг, в 1974 — значение 1 кг ± 1,187 мкг. Следовательно, необходимо учитывать возможность колебаний, составляющих 25 мкг, что соответствует относитель­ной точности 2,5-10~⁸.

Принятому определению единицы массы соответствует коге­рентное определение единицы силы — ньютон: 1 Н = 1 кг×1 м-с^-2=1 кг-м×с ^-2.

С этой единицей непосредственно связана когерентная единица энергии: 1 джоуль=1 Дж=1 Н*м.

Определенная в технической системе единица силы 1 кг вы­брана в соответствии с силой тяжести в гравитационном поле Земли. Вне объема Земли сила тяжести равна

F=mgm_E /R² =mg (2)

где т_Е — масса Земли, R — расстояние от центра Земли, т — величина «пробной массы», g(=F/m) — напряженность гравита­ционного поля (в единицах м-с^-2, размерность: длина-время-²).

Вторичные стандарты изготовляются из стали или латуни

Так как Земля не является шаром, а сплюснута к экватору, на­пряженность гравитационного поля на поверхности Земли по­всюду возрастает от экватора к полюсу, так что имеет место зави­симость от географической широты (см. ниже). Поэтому определе­ние единицы силы должно быть связано с некоторым определен­ным местом. Соответственно этому вводится нормальное ускоре­ние силы тяжести

g_n=9,80665 м-с-²,

так что единица силы 1 кгс определяется как сила, действующая на хранящийся в Севре прототип массы при нормальном ускоре­нии силы тяжести. Эта единица силы является базисной в тех­нической системе.

Постепенное изменение величины напряженности гравитационного поля на поверхности Земли при переходе от экватора к полюсу обусловлено формой Земли и ее вращением (центробежной силой). Земля является в хорошем при­ближении эллипсоидом вращения. Большая полуось(экваториальный радиус) для нее составляет а=6378,388 км, а малая полуось (расстояние от
центра Земли до полюса) — 6=6356,912 км (оба значения определены с точностью до50м).

Таким образом, получена формула, связывающая напряженность гравитационного поля с географиче­ской широтой:
go = 9,78049 (1+0,0052884 sin b—0,0000059 sin² b)m/c² (3)

Здесь g₀ — так называемое ускорение силы тяжести на уровне моря, т. с. величина, полученная в предположении, что Земля представляет собой иде­альный однородный эллипсоид вращения с равной поверхностью. Тогда при Р=45° следует g₀—9,80629 м-с~², что слегка отличается от нормального уско­рения силы тяжести. Истинные значения напряженности гравитационного поля получают, учитывая высоту точки наблюдения над уровнем моря и плотность пород на этом участке. Расчет ведется следующим образом.
Земля моделируется шаром, и тогда изменение напряженности гравитацион­ного поля с высотой

Умножение на h дает «исправленное значение g на поверхности». Поправка на плотность пород представляет собой еще один аддитивный член.

Наряду с радиальным, согласно формуле (3), существует и горизонталь­ный градиент g

Эта величина обращается в нуль на полюсе и на экваторе, но при b=45^Q она получена от 0 до 1×10^-8 м-с^-2/м. Эти оценки показывают, насколько хорошо могут учитываться вариации g. Тем самым обосновано введение нормального ускорения си­лы тяжести.

Остается еще указать на влияние вращения Земли, которое, как известно, обусловило сплюс­нутую форму земного шара. Угловая скорость вращения равна

w=2p/86400 c^-1

Центробежная сила F_г направлена параллельно плоскости экватора (рис. 37). Здесь представляет интерес лишь составляющая Fj_, перпендику­лярная поверхности Земли (принятой за шаро­образную). Центробежная сила Р_г, которая дей­ствует на массу т, вращающуюся с угловой ско­ростью w на расстоянии г от оси вращения и об­ладающую линейной скоростью v=гw, равна

F₂ = mv²

7.2 Вес. Гравитационная и инертная массы

В обыденной жизни термин «вес» употребляется в двух значениях: массы и силы. Однако вес определяется главным образом путем сравнения грузов с помощью весов. Это сводится лишь к сравнению масс, так как грузы обладают массой. Когда рычажные весы находятся в равновесии, имеет место равенство;

(сила • плечо) |_слева '= (сила • плечо)_справа.

Появление силы вызывается гравитационным полем

Отношение между длинами плеч весов может быть разным для

разных типов весов, так что в действительности производится

сравнение масс. Поэтому в системе СИ под весом, грузом, нагруз-кой (например, для кранов) понимается масса. При прецизионных измерениях веса необходимо учитывать поправку на подъемную силу. Как грузы, так и детали весов обладают определенным объемом, так что на каждое плечо в воздухе действует подъемная сила, и силы, действующие на разные плечи, вообще говоря, различны. Подъемная сила= объем-(плотность воздуха). На обычных гирях указывается их истинная масса, что требует еще поправки нэ подъемную силу всех участвующих во взвешивании предметов. Поэтому было предложено производить взвешивания, требующие особой точности, в вакууме. Однако в таком случае возникает трудность, вызываемая выделением из материалов поглощенных ими газов, что может приводить к не поддающемуся учету изменению веса. Поэтому взве­шивания производятся в основном в воздухе.

В поле тяжести можно, однако, определять силу веса и с помощью пружинных весов. Эта сила равна F_g=mg. Как уже было отмечено выше, она зависит от места наблюдения на поверхности Земли, тогда как масса т в рамках применимости нерелятивистской механики является неизменным свойством тел и, в частности, любой атомной частицы. Напряженность гравитационного поля g на поверхности Земли многократно являлась

предметом измерений, так как она очень важна для определения динамических постоянных, характеризующих Солнечную систему. Наше внимание здесь привлечет в особенности разница между гравитационной и инертной массами. Единица массы (инертной) определялась в тесной связи с ускорением. Однако ниоткуда не следует, что это свойство тела одновременно должно быть тем самым, которое фигурирует в законе тяготения, описываю- щем гравитационное взаимодействие между двумя телами. Необходимо выяснить, совпадает ли фигурирующая в законе тяго­тения гравитационная масса с инертной массой. Для этого мож­но привлечь опыты с' падением тел.

т. е. отношение инертной и гравитационной масс остается посто­янным. Однако уже давно было обнаружено другими, что (если принять во внимание малое сопротив­ление воздуха) все тела при падении проходят равные отрезки за равные вре­мена; с помощью же маятника такое равенство времен может быть обнаружено с великой точностью... по этим экспериментам с телами одного и того же веса можно было обнаружить
разницу в количестве вещества менее одной тысячной части от целого».

Для всех экспериментов, посвященных выяснению тождест­венности гравитационной и инертной масс, характерно сравнение «силы ускорения» m_ta и силы тяжести m_sg. Особые заслуги в этом направлении принадлежат Р. Этвёшу. Он выполнил ряд измерений градиентов гравитационного поля, а с помощью одних из своих наиболее точных весов измерил также отношение m_tlm_s. Пусть на поверхности Земли (например, на широте 45°) установ­лены крутильные весы с точной ориентацией с запада на восток (рис. 39).

Пусть массы на концах коромысла строго уравновеше­ны, хотя и состоят из разных веществ. На каждую из этих масс действует одинаковая сила тяжести (направленная к центру Зем­ли). На каждую из соответствующих инертных масс горизонталь­но (параллельно экваториальной плоскости) действует центро­бежная сила, так что имеются составляющие сил, параллельные поверхности Земли. Лишь в том случае, когда эти силы одина­ковы, т. е. когда равны друг другу не только гравитационные, но и инертные массы, крутильные весы не будут поворачиваться. Закручивание нити весов' наблюдается при помощи зеркала и светового зайчика, и точность повышается, коромысло переориен­тируется с линии запад — восток на линию восток—запад (источ­ник света и зеркало поворачиваются вместе с весами). Этвёш про­извел сравнение восьми различных веществ с одним — платиной. Он нашел, что отношение m_tlm_s для них одинаково с точностью 10^-8. Новые измерения дают совпадение с точностью 10^-10.

Дата добавления: 2015-07-19